2021年江苏省泰州市扬子江高级中学高三数学文测试题含解析

2021年江苏省泰州市扬子江高级中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则(

)A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．然后在判断定义域对称性后，把函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x代入验证．即可得到答案．【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）．对函数f（x）=3x+3﹣x有f（﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x）所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g（﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．所以答案应选择D．【点评】此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．2.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C3.已知是R上的奇函数，且当时，，则关于直线对称的图象大致是()参考答案：A4.两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（

）

A．5海里

B．10海里

C．5海里

D．5海里

参考答案：D略5.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值＝

A.1B.C.D.参考答案：D

【知识点】茎叶图．I2解析：根据茎叶图，得乙的中位数是33，∴甲的中位数也是33，即m=3；甲的平均数是=（27+39+33）=33，乙的平均数是=（20+n+32+34+38）=33，∴n=8；∴=．故选：D．【思路点拨】根据茎叶图，利用中位数相等，求出m的值，再利用平均数相等，求出n的值即可.6.函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化．分析：根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．解答： 解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=elnx﹣x+1=1，故选D．点评：本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．7.设集合

（

）

A．（1，+）

B．

C．（0，+）

D．参考答案：答案：B8.设，那么“”是“”的A、充分不必要条件

B、必要不充分条件C、充要条件

D、既不充分也不必要条件参考答案：答案:A解析:∵∴

∴

∴“”是“”的充分不必要条件9.函数为增函数的区间是

参考答案：10.设函数对任意满足，且，则的值为（

）

A． B． C． D．

参考答案：B令则由条件可知，所以，所以。令，得，所以。令，得，即，选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足，则的最小值为___________.参考答案：1略12.直线被圆截得的弦长等于

．参考答案：【知识点】直线与圆的位置关系.

H4【答案解析】5．

解析：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣3）2+（y﹣1）2=25，∴圆心坐标为（3，1），半径r=5，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=，则|AB|=2=5．故答案为：5．【思路点拨】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，由求出的d与半径r，根据垂径定理与勾股定理求出|AB|的一半，即可得到|AB|的长．13.

已知点P落在的内部，且，则实数的取值范围是

参考答案：14.的重心，则”,设分别为的内角的对边，点M为的重心.如果,则内角的大小为

参考答案：15.已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：4【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S=×2×3=3，高h=4，故体积V==4；故答案为：4【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．16.的展开式中的常数项为

．参考答案：2略17.线性方程组的增广矩阵是

．参考答案：【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得．【解答】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（为常数）．（Ⅰ）若函数在处的切线方程为，求；（Ⅱ）当时，，求实数的取值范围．参考答案：(Ⅰ)；（Ⅱ）.试题分析：(Ⅰ)运用导数的几何意义建立方程求解；（Ⅱ）借助题设条件,运用导数的知识与分类整合的数学思想求解.试题解析:（Ⅰ），，得，由已知得切点，所以，得，所以．（Ⅱ）当时，，令，，（1）当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，（2）当时，令，得或．①当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，由，得；②当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，因为成立，由，得；所以；③当，即时，函数在上为增函数，所以函数在上的最大值为成立；④当，即时，在上为增函数，在上为减函数，所以函数在上的最大值为，因为成立，由，得，而，所以；⑤当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，所以在上的最大值为，因为成立，所以；综上所述，实数的取值范围为．考点：导数的知识与分类整合思想的运用．【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数,然后通过运用导数对函数最值的分类研究,最后求出参数的取值范围.19.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若为曲线上两点，

求证：.参考答案：解：（Ⅰ）；.....2分当时，，在上单调递增；

当时，令，得，令，得；所以，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为

............5分（Ⅱ）要证即证

即证；即证；

............7分

令，构造函数，则,所以在上单调递增;

............9分，即成立，所以成立，........11分所以成立.

............12分20.设数列

（1）求；（2）求的表达式．参考答案：解：（1）当时，由已知得 同理，可解得

（2）解法一：由题设当 代入上式，得

（*） 由（1）可得由（*）式可得 由此猜想：

证明：①当时，结论成立．②假设当时结论成立， 即那么，由（*）得 所以当时结论也成立，根据①和②可知， 对所有正整数n都成立．因

解法二：由题设当 代入上式，得 -1的等差数列，

略21.(本小题12分，(I)小问6分，(II)小问6分）已知函数(I)当时，求函数的单调区间：(Ⅱ)若函数的图象过点(1，1)且极小值点在区间(1,2)内，求实数b的取值范围．参考答案：(1)

则或的单增区间是单减区间是由题知有两不等实根且大根在区间(1，2)内又对称转

即

略22.如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．参考答案：【考点】圆的切线的性质定理的证明．【分析】（I）如图所示，连接DE．由于DB垂直BE交圆于点D，可得∠DBE=90°．即DE为圆的直径．由于∠ABC的角平分线BE交圆于点E，利用同圆中的弧圆周角弦之间的关系可得∠DCB=∠DBC，DB=DC．（II）由（I）利用垂径定理及其推论可得：DE⊥BC，且平分BC，设中点为M，外接圆的圆心为点O．连接OB，OC，可得OB⊥AB．在Rt△BOM中，可得∠OBM=30°，∠BOE=60°．进而得到∠CBA=60°．∠BCE=30°，∠BFC=90°．即可得到△BC