泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理(Hahn-BanachTheorem)研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。1、 Hahn-Banach延拓定理定理：设G为线性赋范空间X的线性子空间，f是G上的任一线性有界泛函，则存在X上的线性有界泛函F，满足：当xeG时，F(x)=f(x)；Fx=||f|lG；其中IIfII表示F作为X上的线性泛函时的范数；||f||表示G上的线性泛函的范数.X G延拓定理被应用于Riesz定理、Liouville定理的证明及二次共轭空间等的研究中.2、 逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间.定义1逆算子(广义上)：设X和y是同一数域K上的线性赋范空间，GuX，算子T:G—Y，T的定义域为D(T)=G；值域为R(T)-用T1表示从R(T—D(T)的逆映射(蕴含t是单射)，则称T1为T的逆算子(invertiableoperator).定义2正则算子：设x和Y是同一数域K上的线性赋范空间，若算子T:G(uX)—Y满足(1)T是可逆算子；(2)T是满射，即R(T)=Y； (3)T-1是线性有界算子，则称t为正则算子(normaloperator).注：①若T是线性算子，T-1是线性算子吗？②若T是线性有界算子，T-1是线性有界算子吗？性质1若T:G(uX)rY是线性算子，则T-1是线性算子.证明：七七eY，a,PeK，由T线性性知：T(T-1(ay+Py)—aT-\y-PT-1y)=TT-1(ay+Py)-aTT-1y-PTT-1yTOC\o"1-5"\h\z12 1 2 1 2 1 2=(ay+Py)—ay—Py=012 12由于T可逆，即T不是零算子，于是T-1(ay+Py)=aT-1y+PT-1y，故T-1是线性算12 1 2子.口定理2逆算子定理：设t是Banach空间x到Banach空间y上的双射(既单又满)、线性有界算子，则t-1是线性有界算子.

例1设线性赋范空间X上有两个范数||.||和||.||，如果(X,||.||)和(X,||.||)均是1 2 1 2Banach空间，而且||.||比||.||强，那么范数||.||和||.||等价.(等价范数定理)2 1 1 2证明：设I是从由(X』』)到(X』』)上的恒等映射，由于范数||.||比||.||强，所以存在M>0，使得VxeX有于是I是线性有界算子，是线性有界算子，即存在M'lllxl「I虬于是I是线性有界算子，是线性有界算子，即存在M'加之；既是单射又满射，因此根据逆算子定理知J>0，使得VxeX有||I-ix|[=|lx.<M，||叫・故范数IHI和IHI等价。3、一致有界原理定义1一致有界：设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间，FuB(XrY)，如果｛|T||\TgF｝是有界集，则称算子族F为一致有界.定理1共鸣定理：设X是Banach空间，Y是线性赋范空间，算子族FuB(XrY)，那么：｛ITIITGF｝是有界集(F一致有界)dVxeX，｛|叫|\tgF｝为有界集.证明:(1)必要性n因为｛||t||TgF｝是有界集，所以存在M>0,VTgF,有|T||<M,于是VxeX，不妨设||x||=妇那么ITxll<||t||||x||<MIWI<M.a因此｛Tx||TeF｝为有界集.（2）充分性uVxeX，定义||x||/||+sup|低||，显然IHI是X上的范数且比||・||强，F TeF F下面证明（x,IHIf）完备.如果||x-x||=||x-x||+sup|T（x-x）||r0（m,nr。，由X是Banach空间知存在mnfmn mnTeFxeX，使得||x-x||r0（nr。）.又因为Vs>0，3NeN，使得只要m,n>N，便有sup||Tx-Tx||<s.TeF mn从而VTeF有||tx-Tx||=||tx-Tx+Tx-Tx||<||tx-Tx||+|T||||x-x||r0（nr。）.因此得||x-x||+sup||t（x.-x）||r0（nr。），即||x-x||r0，可见（X,||」|）完备.n TeF n nF F根据等价范数定理知范数||・||和||・||等价，从而存在M>0，使得VxeX有Fsup||Tx||<||x||+sup|Tx||=||x||<M||x||FTeF TeF于是可得VTeF有||T||<M.口注：共鸣定理也称为一致有界定理（或原理），由共鸣定理知，当F不一致有TOC\o"1-5"\h\z界时，即sup{|『|||"尸}=3，则存在XGX，使得sup{||TxII|TgF}=00?称工为算子0 0 0族W的共鸣点。例2设无穷矩阵(a a ••- a11 12 lja a ••- a21 22 2jA=: :…：aaa/I 12 jj满足£|qF<8,j=1,2,3,…，并对任何x=(x,x，…,x，…)e史有ij 1 2zi=l/aa...a..Aii12ijaa•..a.••21222jTx=xA=(x,x,,,,,x,,,,)•・...：・・.1 2 zaa•••a•・./i/2jj••・・・=(>,>=yeh其中y=Z,/=1,2,…，证明算子T是线性连续算子.jiij例3(Fourier级数的发散问题)存在一个周期为2兀的实值连续函数，它的Fourier级数在—0点发散.证明：记周期是2兀的实值连续函数全体为C,对于feC,f导出的Fourier级数2兀 2兀为：—a+£(qcosnt+bsinnt)?其中20 n nn=la=—f71f(t)cosntdt(〃=0,1,2,•••);b=—f71f(t)sinntdt(〃=1,2,3,77丸一兀 〃兀一兀当—0时，级数为匕+乙,前〃+1项部分和为TOC\o"1-5"\h\z20 «n=lS(/)=-«+La=—pfQ)[l+2Ecosm]出

n 20 n271_兀n=l n=l./1、▽ sm(n+—)t记K什)=l+2Zcosm,计算可得K(r)= ，于是n n .177=1 sm—r2S(f)==卜W)K(z)dr•

« 2兀—兀«下面证明存在/gC,使得｛S(/)｝发散.显然S:CtR是线性泛函.又因为TOC\o"1-5"\h\z2兀〃 n27115(/)l<max"h」jHK(血-11/11

n 「 /7T _n nte[-兀，兀] 匕几一兀其中M=—P\K(r)ldr,所以S是C上的线性连续泛函.可证明S的范数为n2兀—兀« n 2兀 nIls||=M=—p\k⑺|由。nn271—兀n

由于=是Banach空间，为了证明存在fe£兀，使得｛S(f)｝无界，根据共鸣定理，只需证｛|S||｝无界.因为 "nsinusin(2n+1)ssins兀 —sk=02(2n+1)2无jTt+rwl兀岳k=02du (u=(2n+1)s)uds