2022-2023学年上海市长宁区八年级（下）期末数学试卷(含解析)

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列函数中，一次函数是()

A.B.C.D.

2.下列说法中，正确的是()

A.是二项方程B.是分式方程

C.是无理方程D.是二元二次方程组

3.下列关于向量的等式中，正确的是()

A.B.

C.D.

4.下列描述的事件中，随机事件的是()

A.方程，在实数范围内有解

B.从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形

C.掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上

D.将个球放入个袋子中，至少有一个袋子里的球超过个

5.顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形一定是()

A.等腰梯形B.菱形C.矩形D.正方形

6.下列命题中，假命题的是()

A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形

B.一组对边相等，一个内角为直角的四边形是矩形

C.一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形

D.对角线相等的菱形是正方形

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

7.方程的根是______．

8.如果将直线向下平移个单位，那么平移后所得直线的表达式为______．

9.已知方程，如果设，那么原方程转化为关于的整式方程为______．

10.如果一个多边形的内角和为，那么它的边数是______．

11.如果一次函数、为常数，的图象过点且经过第一、二、三象限，那么当时，的取值范围是______．

12.如图，正方形的对角线、交于点，图中与相等的向量除了是______．

13.如果从、、、、、这个数中任意选一个数，那么选到的数恰好是的倍数的概率是______．

14.矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线的长为，那么矩形的周长为______．

15.已知某汽车装满油后油箱中的剩余油量升与汽车的行驶路程千米之间具有一次函数关系如图所示，为了行驶安全考虑，油箱中剩余油量不能低于升，那么这辆汽车装满油后至多行驶______千米，就应该停车加油．

16.已知等腰梯形的中位线长为，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是______．

17.已知函数满足当时，对应的函数值的范围是，我们称该函数为关于和的方块函数如果一次函数、为常数，是关于和的方块函数，且它的图象不经过原点，那么该一次函数的解析式为______．

18.如图，菱形的边长为，，联结，将菱形绕点旋转，使点的对应点落在对角线上，联结，那么的面积是______．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分

解方程：

20.本小题分

解方程组：．

21.本小题分

如图，点在平行四边形的对角线的延长线上．

填空：______．______；

求作：不写作法，保留作图痕迹，写出结果

22.本小题分

小明和小智从学校出发，到距学校路程千米的自然博物馆，小明骑自行车先走，过了分钟，小智乘汽车按相同路线追赶小明，结果他们同时到达目的地，已知汽车的速度是小明骑车速度的倍多千米小时，求小明骑车的速度是每小时多少千米．

23.本小题分

如图，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，四边形的对角线分别交、于点、，且，平分．

求证：四边形是菱形；

如果，，求证：四边形为矩形．

24.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，的面积为．

求与的值；

点在线段上，过点作轴，垂足为点，以为对角线作正方形，如果点恰好落在上述双曲线上，求点的坐标．

25.本小题分

已知在四边形中，，，平分，交边于点．

如图，如果点与点重合，，求证：四边形是正方形；

如果，，

如图，当时，求的度数；

当是直角三角形时，求的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意；

B、此函数是二次函数，故此选项不符合题意；

C、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意；

D、此函数是一次函数，故此选项符合题意．

故选：．

根据一次函数的定义判断即可．

本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为．

2.【答案】

【解析】解：方程的左边是二次二项式，不能说方程是二项方程，故本选项不符合题意；

B.方程是整式方程，不是分式方程，故本选项不符合题意；

C.方程是有理方程，不是无理方程，故本选项不符合题意；

D.方程组是二元二次方程组，故本选项符合题意；

故选：．

分别根据一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义逐个判断即可．

本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，能熟记定义是解此题的关键，分母中含有未知数的方程叫分式方程，根号内含有未知数的方程叫无理方程．

3.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

选项A、、D错误，选项B正确，

故选：．

根据平面向量的运算法则逐一判断即可求解．

本题考查了平面向量的运算法则，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．

4.【答案】

【解析】解：、方程，在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意；

B、从矩形、菱形、等腰梯形中任取一个图形，它是轴对称图形，是必然事件，不符合题意；

C、掷一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上，是随机事件，符合题意；

D、将个球放入个袋子中，至少有一个袋子里的球超过个，是必然事件，不符合题意；

故选：．

根据事件发生的可能性大小判断．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

5.【答案】

【解析】

【分析】

根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线定理，所得四边形的各边都相等，所以判定为菱形．

此题考查了菱形的判定方法、等腰梯形的性质、三角形中位线定理等知识点，掌握菱形的判定

【解答】

解：如图所示，

根据三角形中位线定理，，，

为等腰梯形，

，

，

为菱形．

故选：．

6.【答案】

【解析】解：、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；

B、一组对边相等，一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故本选项说法是假命题，符合题意；

C、一组对边平行，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；

D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题，不符合题意；

故选：．

根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、正方形的判定定理判断即可．

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7.【答案】

【解析】解：，

，

，

故答案为：．

先移项，再开立方即可．

本题考查了解高次方程，能把高次方程转化成低次方程是解此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：将直线向下平移个单位，那么平移后所得直线的表达式为，即，

故答案为．

根据“上加下减”的规律写出函数解析式即可．

本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考常考题型．

9.【答案】

【解析】解：设，则，

原方程化为：，

去分母得：，

即，

故答案为：．

结合已知条件换元后再去分母即可．

本题考查换元法解分式方程，换元法是解分式方程的常用方法，必须熟练掌握．

10.【答案】

【解析】解：设它的边数是，根据题意得，

，

解得．

故答案为：．

根据多边形的内角和公式列出方程求解即可．

本题考查了多边形的内角和，熟记公式是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：一次函数、为常数，的图象过点且经过第一、二、三象限，

随的增大而增大，

当时，的取值范围是．

故答案为：．

根据题意得出随的增大而增大，然后根据图象过点即可得到结论．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的性质是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：四边形是正方形，

，

又与方向相同，

，

故答案为：．

根据正方形的性质得出，即可求解．

本题考查了正方形的性质，平面向量，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：、、、、、这个数中，的倍数是和，共个，

任意选一个数，那么选到的数恰好是的倍数的概率是．

故答案为：．

、、、、、这个数中，的倍数是和，共个，利用概率公式计算可得．

本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】

【解析】解：矩形的两条对角线的夹角为，

且矩形对角线相等且互相平分，

为等边三角形，

，

在直角中，，，

，

故矩形的周长为．

故答案为：．

根据矩形的两条对角线的夹角为，可以判定为等边三角形，即可求得，在直角中，已知，，根据勾股定理即可计算的长，进而计算矩形的周长即可解题．

本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，等边三角形的判定，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键．

15.【答案】

【解析】解：设该一次函数解析式为，

将、代入中，

，解得：，

该一次函数解析式为．

当时，．

故答案为：

根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为升时行驶的路程，此题得解．

本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：如图，等腰梯形中，，，为等腰梯形的高，

过点作，交的延长线于点，

根据梯形的中位线定理，得

．

梯形是等腰梯形，且对角线，

，，

为等腰直角三角形，

，

故答案为：．

能够根据梯形的中位线定理，求得梯形的两底和；再根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

本题考查了梯形中位线定理、等腰梯形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键．

17.【答案】

【解析】解：当时，；当时，，

当时，解得，

，不合题意，舍去；

当时，解得，

；

一次函数的解析式为，

故答案为：．

根据定义得出或，分别求解即可．

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解定义是解题的关键．

18.【答案】

【解析】解：连接交于点，

四边形是菱形，

，，，平分，

，

，

在中，，，

，

由旋转得：，

，

的面积

，

故答案为：．

连接交于点，根据菱形的性质可得，，，平分，从而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，再根据旋转的性质可得：，从而可得，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．

本题考查了旋转的性质，菱形的性质，含度角的直角三角形，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

19.【答案】解：

【解析】将方程化为，然后两边平方即可求出答案．

本题考查无理方程的解法，解题的关键是将无理方程化为整式方程来解答，本题属于基础题型．

20.【答案】解：，

，

，

，

，

，

，

或，

或，

解得或．

【解析】先求出的值，根据完全平方公式得出的值，再利用完全平方公式得出的两个值，则可得到两组关于，的方程组，即可得解．

此题主要是考查了高次方程的解法，能够熟练运用完全平方公式得出关于，的二元一次方程组是解答此题的关键．

21.【答案】；；

如图，即为所求．

【解析】

解：，

，

；

故答案为：；．

见答案．

【分析】

根据向量的平行四边形法则写出即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后根据向量的三角形法则求解即可；

根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后根据向量的平行四边形法则作出以、为邻边的平行四边形，其对角线即为所求．

本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．

22.【答案】解：设小明骑车的速度是千米小时，则汽车的速度是千米小时，

根据题意得：，

整理得：，

解得：，，

经检验，，均为所列方程的解，

符合题意，不符合题意，舍去．

答：小明骑车的速度是千米小时．

【解析】设小明骑车的速度是千米小时，则汽车的速度是千米小时，利用时间路程速度，结合小明比小智多用了分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

23.【答案】证明：，

，

平分，

，

，

，

在与中，

，

≌，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是菱形；

，，，

，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，，

，

，

四边形为矩形．

【解析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，等量代换得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；

根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到四边形为矩形．

本题考查了菱形的判定，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键

24.【答案】解：直线与轴正半轴、轴分别交于点、，

，，

的面积为，

，即，

，

，

把、的坐标代入得，

解得，

一次函数为，

一次函数与双曲线交于点，

，

，

；

设，由正方形的性质可知，

点恰好落在上述双曲线上，

，

解得，舍去，

．

【解析】利用三角形面积求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，利用一次函数解析式求得点的坐标，代入即可求得的值；

设，由题意可知，代入得到关于的方程，解方程求得的值，从而求得点的坐标．

本题是反比例函