2022-2023学年山东省烟台市开发区八年级（下）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如果，那么下列比例式中正确的是()

A.B.C.D.

2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是()

A.B.C.D.

3.若，则化简后的结果是()

A.B.C.D.

4.以为根的一元二次方程可能是()

A.B.C.D.

5.三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是()

A.B.C.D.或

6.如图，在正方形网格中有个格点三角形，分别是：，，，，，其中与相似的三角形是()

A.B.C.D.

7.根据方程可列表如下()

则的取值范围是()

A.或B.或

C.或D.或

8.已知，在中，点为上一点，过点作，分别交、于点、，点是延长线上一点，连接交与点，则下列结论中错误的是()

A.B.C.D.

9.已知、是方程的两个实数根，则的值为()

A.B.C.D.

10.今年为庆祝共青团成立周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制每两支球队之间都进行一场比赛，据统计，比赛共进行了场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是()

A.B.C.D.

11.已知等腰三角形的边长分别是，，，且，是关于的方程的两根，则的值为()

A.B.C.D.或

12.如图，，与交于点，交于点，，，，则的值是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.若式子有意义，则实数的取值范围是．

14.实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：______．

15.如图，已知，：：，，则的长为______．

16.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．

17.刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数：，例如把放入其中，就会得到现将实数对放入其中，得到实数，则______．

18.已知一元二次方程中，若，则；若方程两根为和，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根其中真命题有______填写序号．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧吉赛尔在市内的城市剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙墙米的空旷场地为提前到场的观众设立面积为平方米的封闭型长方形等候区如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为米的出入口，共用去隔栏绳米请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.本小题分

解方程：；

．

21.本小题分

计算：；

．

22.本小题分

已知关于的一元二次方程．

求证：方程总有两个实数根；

若方程两个根的绝对值相等，求此时的值．

23.本小题分

已知：，求下列各式的值．

；

．

24.本小题分

如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．

求证：∽．

25.本小题分

为了吸引游客，某旅游景点推出团体票，收费标准如下：如果团队人数不超过人，每张票元；如果超过人，每增加人每张票降低元，但每张票不得低于元．某旅行社共支付团体票价元，则该旅行社购买了多少张票？

26.本小题分

观察下列各式：

，，；

请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：

猜想______；

归纳：根据猜想写出一个用表示正整数表示的等式；

应用计算：；

拓展应用：化简下列式子；

．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

或或．

故选：．

由，根据比例的性质，即可求得答案．

此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．

2.【答案】

【解析】解：、，与不是同类二次根式；

B、，与不是同类二次根式；

C、，与是同类二次根式；

D、，与不是同类二次根式；

故选：．

根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．

本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了二次根式的性质和化简，是基础知识要熟练掌握．

根据二次根式有意义可得出，再由，得出，，从而化简即可．

【解答】

解：，

，

，

，，

．

故选D．

4.【答案】

【解析】解：此方程的根为，符合题意；

B.此方程的根为，不符合题意；

C.此方程的根为，不符合题意；

D.此方程的根为，不符合题意；

故选：．

根据求根公式逐一判断即可．

本题主要考查解一元二次方程公式法，解题的关键是掌握求根公式．

5.【答案】

【解析】解：解方程得第三边的边长为或．

第三边的边长，

第三边的边长为，

这个三角形的周长是．

故选：．

易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．

已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．

6.【答案】

【解析】解：由图形知，中，

而中，只有和，

再根据两边成比例可判断，与相似的三角形是，

故选：．

根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．

本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．

7.【答案】

【解析】解：根据表格可知，时，对应的的值在与之间．

故选D．

观察表格可知，的值在之间由正到负，在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在与之间．

本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由正到负和由负到正时，对应的自变量取值范围．

8.【答案】

【解析】解：，，

四边形是平行四边形，

，，

，

，故选项A正确，不符合题意；

，

，故C正确，不符合题意；

，

，故D正确，不符合题意．

由已知条件不能得出，故B符合题意．

故选：．

首先证明四边形是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．

本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9.【答案】

【解析】解：根据题意得，，

所以原式

．

故选：．

根据根与系数的关系得到得，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可．

本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是利用整体法代值计算，此题难度一般．

10.【答案】

【解析】解：设一共邀请了支球队参加比赛，由题意得，

．

故选：．

设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式每两支球队之间都进行一场比赛，则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程．

本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数队数队数，进而得出方程是解题关键．

11.【答案】

【解析】解：当时，

且，是关于的方程的两根，

，

解得，，

关于的方程为，

解得：，

，

分别是，，为边能组成三角形；

或时，

是关于的方程的根，

，

解得：，

关于的方程为，

解得：，，

，

分别是，，为边能组成三角形；

综上所述：的值为或．

故选：．

当时，或时，根据根的判别式和三角形的三边关系即可得到结论．

本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．

12.【答案】

【解析】解：设，则，

且，

，

，

，

解得：，

经检验是分式方程的解，

，

∽，

．

故选：．

设，，根据平行线分线段成比例定理，由且得得到，解得：；由根据相似三角形的判定定理可得∽；根据相似三角形的性质可得，由此可得出解答．

本题考查了平行线段成比例、相似三角形的判定和性质，解决此题的关键是学会掌握并运用以上性质．

13.【答案】且

【解析】解：由题意知：，，

解得：且，

故答案为：且．

要使代数式有意义，令被开方数，分母，得，，即可得答案．

本题考查了二次根式有意义的条件，关键是令被开方数，分母．

14.【答案】

【解析】解：由数轴可知：，，

，，

．

故答案为：．

由数轴可知，，根据二次根式的性质得出，去掉绝对值符号求出即可．

本题考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，绝对值等知识点，注意：当时，，当时，．

15.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，

故答案为：．

由，推出，推出，可得结论．

本题考查平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．

16.【答案】且

【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，

，

即：，

解得：，

关于的一元二次方程中，

故答案为：且．

根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．

本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．

17.【答案】或

【解析】

【分析】

根据题意，把实数对代入中，得到一个一元二次方程，利用因式分解法可求出的值．

本题考查了一元二次方程的应用及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程．

【解答】

解：把实数对代入中得，

移项得，

因式分解得，

解得或．

故答案为或．

18.【答案】

【解析】解：若，方程有一根为，又，则，正确；

由两根关系可知，，整理得：，正确；

若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确．

正确命题有，

故答案为：．

，即系数和为，说明原方程有一根是，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，就有两个，；

已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；

判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了．

本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式与方程系数的关系是解题的关键．

19.【答案】解：设封闭型长方形等候区的边为米，

由题意得：，

整理，得，

解得，，

当时，；

当时，，

不合题意，应舍去．

答：封闭型长方形等候区的边为米，为米．

【解析】设封闭型长方形等候区的边为米，根据面积为平方米的封闭型长方形等候区可得，再解一元二次方程即可．

此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽．

20.【答案】解：，

，

则或，

解得，；

，

或，

解得，．

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；

两边直接开平方求解即可．

本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

21.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；

直接利用乘法公式化简，进而得出答案．

此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．

22.【答案】证明：，

方程总有两个实数根；

解：，

，

，．

方程两个根的绝对值相等，

．

或．

【解析】先根据题意求出的值，再根据一元二次方程根的情况与根的判别式的关系即可得出结论；

利用因式分解法求得方程的解，然后根据题意列出关于的方程，解方程即可得到结论．

本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式与的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．

23.【答案】解：，，

，，

，

；

．

【解析】根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；

根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可．

本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式和平方差公式是解题的关键．

24.【答案】证明：，，

，

，

．

【解析】根据题意可得，，根据内角和定理，可知，且，所以．

本题主要考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．

25.【答案】解：设该旅行社购买了张票，则每张票的票价为元，

依题意得：，

整理得：，

解得：，．

当时，，符合题意；

当时，，不符合题意，舍去．

答：该旅行社购买了张票．

【解析】设该旅行社购买了张票，则每张票的