高三数学一轮复习-3.1-数列的概念课件-理-大纲版人教版

一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知数列{an}满足an+2=an+1+an(n∈N*).若a1=1，a5=8,则a3=（）（A）3（B）2（C）1（D）-1【解析】选A.易知a3=a1+a2=1+a2,a5=a4+a3=(a3+a2)+a3=2a3+a2=2+3a2=8,∴a2=2,∴a3=1+2=3.2.数列{an}中，a1=1,n≥2时，都有a1·a2·a3…an=n2,则a3+a5=（）（A）（B）（C）（D）【解析】选A.方法一：当n=2时，a1·a2=22,∴a2=4.当n=3时，a1·a2·a3=32,∴a3=.当n=4时，a1·a2·a3·a4=42,∴a4=.当n=5时，a1·a2·a3·a4·a5=52,∴a5=.∴a3+a5=,故选A.方法二：an=∴a3+a5=故选A.3.在数列a1,a2,a3,…,an,…的每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第49项（）（A）不是原数列的项（B）是原数列的第12项（C）是原数列的第13项（D）是原数列的第14项【解析】选C.易知an前面插入(n-1)×3个数，∴an是数列的第(3n-3)+n=4n-3项.∴4n-3=49,则n=13.∴是原数列的第13项.4.（2010·重庆模拟）已知数列{an}的通项为an=logn+1(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·…·an为整数的n叫做“优数”，则在（1，2010］内的所有“优数”的和为（）(A)1024(B)2003(C)2026(D)2048【解题提示】应用换底公式求出{a1·a2·…·an}的通项公式是关键.【解析】选C.∵a1·a2·…·an=log2(n+2)∈Z,∴n+2=2k(k∈N),∴n=2k-2∈（1，2010］,3<2k≤2012,∴2≤k≤10,∴在（1，2010］内的所有“优数”之和为（22-2)+(23-2)+…+(210-2)=-9×2=211-22=2026.5.数列{an}满足an+1=，若a1=,则a2009等于()(A)(B)(C)(D)【解题提示】通过求出{an}的前若干项，观察数列{an}是否具有周期性.【解析】选B.本小题考查了数列的基本性质.由已知得数列{an}的周期为4且前四项分别为，，，，易得a2009=a1=.2an(0≤an<)2an-1(≤an<1)

二、填空题（每小题3分，共9分）6.已知数列{an}的通项公式为an=n2-λn，如果an≥a3恒成立，则实数λ的取值范围是____.【解析】∵f(x)=x2-λx为二次函数，∴由图象易知，an≥a3等价于,即，∴5≤λ≤7.答案：5≤λ≤7a2≥a34-2λ≥9-3λa4≥a316-4λ≥9-3λ

7.（2010·安庆模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2（an-1)，则a2等于____.【解析】n≥2时，∵Sn=2(an-1),∴Sn-1=2(an-1-1),∴Sn-Sn-1=2(an-an-1),∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴=2.又∵S1=2(a1-1),∴a1=2(a1-1),∴a1=2,∴a2=2a1=4.答案：48.设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n，都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+…+a100的值是____.【解析】将递推式中的n替换为n+1,得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,两式相减得an+1an+2an+3(an+4-an)=an+4-an,由an+1an+2an+3≠1得an+4-an=0,即an+4=an,∴数列{an}是周期数列，其周期为4k(k∈Z),由已知易得a4=4,故a1+a2+…+a100=25(a1+a2+a3+a4)=25(1+1+2+4)=200.答案：200三、解答题（共16分）9.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an=a1+(n＞1).（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an=2010,求n.【解析】（1）∵an=a1+(n＞1),∴an+1=a1+两式相减得an+1-an=an(n＞1),∴an+1=an.又a1=1≠0,∴an≠0.

又a2=a1=1,∴当n＞1时，an=.又a1=1不适合上式，∴an=

.(2)由an=2010，得n=4020.1(n=1)(n≥2)

10.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=xan+y,且a2=3,a4=15.(1)求常数x,y的值；（2）求数列{an}的通项公式.【解析】（1）依题意知a2=x+y=3①a3=x(x+y)+y=3x+y,a4=x(3x+y)+y=15②联立①②可解得或.(2)当x=2，y=1时,an+1=2an+1.∴an+1+1=2(an+1).∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.x=2x=-3y=1y=6

∴an+1=2×2n-1=2n.∴an=2n-1;当x=-3,y=6时，an+1=-3an+6.∴an+1-=-3(an-).∴数列{an-}是首项为a1-=-,公比为-3的等比数列.∴an-=-(-3)n-1.∴an=-(-3)n-1.综上，当x=2,y=1时，an=2n-1;当x=-3，y=6时，an=-(-3)n-1.（10分）已知数列{an}满足an+2=5an+1-6an(n∈N*),a1=1,a2=5.(1)是否存在实数x使{an+1-xan}为等比数列，如果有，求出x的值，如果没有，请说明理由.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】（1）假设存在x,设公比为y，则an+2-xan+1=y(an+1-xan),∴an+2=(x+y)an+1-xyan,∴,∴x,y为方程x2-5x+6=0的两根.x+y=5xy=6

∴或.即x=2或3.(2)由（1）可知{an+1-xan}为等比数列，∴an+1-2an=(a2-2a1)·3n-1=3·3n-1=3n,也有an+1-3an=(a2-3a1)·2n-1=2·2n-1=2n,以上两式相减得an=3n-2n即所求数列的通项公式.x=2x=3y=3y=2

一、选择题（每小题3分，共15分）1.已知数列{an}满足an+2=an+1+an(n∈N*).若a1=1，a5=8,则a3=（）（A）3（B）2（C）1（D）-1【解析】选A.易知a3=a1+a2=1+a2,a5=a4+a3=(a3+a2)+a3=2a3+a2=2+3a2=8,∴a2=2,∴a3=1+2=3.2.数列{an}中，a1=1,n≥2时，都有a1·a2·a3…an=n2,则a3+a5=（）【解析】 3.在数列a1,a2,a3,…,an,…的每相邻两项间插入3个数，使它们与原数列构成一个新数列，则新数列的第49项（）（A）不是原数列的项（B）是原数列的第12项（C）是原数列的第13项（D）是原数列的第14项【解析】选C.易知an前面插入(n-1)×3个数，∴an是数列的第(3n-3)+n=4n-3项.∴4n-3=49,则n=13.∴是原数列的第13项.4.（2010·重庆模拟）已知数列{an}的通项为an=logn+1(n+2)(n∈N*),我们把使乘积a1·a2·…·an为整数的n叫做“优数”，则在（1，2010］内的所有“优数”的和为（）(A)1024(B)2003(C)2026(D)2048【解题提示】应用换底公式求出{a1·a2·…·an}的通项公式是关键.【解析】选C.∵a1·a2·…·an=log2(n+2)∈Z,∴n+2=2k(k∈N),∴n=2k-2∈（1，2010］,3<2k≤2012,∴2≤k≤10,∴在（1，2010］内的所有“优数”之和为（22-2)+(23-2)+…+(210-2)==211-22=2026.【解题提示】通过求出{an}的前若干项，观察数列{an}是否具有周期性.【解析】选B.本小题考查了数列的基本性质.由已知得数列{an}的周期为4且前四项分别为，，，，易得a2009=a1=.二、填空题（每小题3分，共9分）6.已知数列{an}的通项公式为an=n2-λn，如果an≥a3恒成立，则实数λ的取值范围是____.【解析】∵f(x)=x2-λx为二次函数，∴由图象易知，an≥a3等价于a2≥a3即4-2λ≥9-3λa4≥a3,16-4λ≥9-3λ，∴5≤λ≤7.答案：5≤λ≤77.（2010·安庆模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2（an-1)，则a2等于____.【解析】n≥2时，∵Sn=2(an-1),∴Sn-1=2(an-1-1),∴Sn-Sn-1=2(an-an-1),∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1,∴=2.又∵S1=2(a1-1),∴a1=2(a1-1),∴a1=2,∴a2=2a1=4.答案：48.设数列a1,a2,…,an,…满足a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数n，都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+…+a100的值是_____.【解析】将递推式中的n替换为n+1,得an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,两式相减得an+1an+2an+3(an+4-an)=an+4-an,由an+1an+2an+3≠1得an+4-an=0,即an+4=an,∴数列{an}是周期数列，其周期为4k(k∈Z),由已知易得a4=4,故a1+a2+…+a100=25(a1+a2+a3+a4)=25(1+1+2+4)=200.答案：200三、解答题（共16分）9.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an=a1+a2+a3+…+an-1(n＞1).（1）求数列{an}的通项公式；（2）若an=2010,求n.【解析】 【误区警示】10.（8分）已知数列{an}满足a1=1,an+1=xan+y,且a2=3,a4=15.(1)求常数x,y的值；（2）求数列