高考数学二轮复习平面向量与复数课件

平面向量与复数知识体系第一节平面向量的概念及其线性运算基础梳理名称定义表示法向量既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)向量AB模|AB|零向量长度为0的向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量常用e表示1.向量的有关概念及表示平行向量方向相同或相反的非零向量a与b共线可记为a∥b;0与任一向量共线共线向量平行向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量a=b相反向量长度相等，方向相反的向量(1)a的相反向量记作-a;(2)0的相反向量为0.平行四边形法则向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)a+0=a;(2)a+(-a)=0;(3)交换律:a+b=b+a;(4)结合律:(a+b)+c=a+(b+c).2.向量的线性运算三角形法则减法求两个向量差的运算a-b=a+(-b)数乘实数λ与向量a相乘(1)|λa|=|λ||a|.(2)当λ>0时,λa与a的方向相同;当λ<0时,λa与a的方向相反;当a=0时，λa=0;当λ=0时,λa=0.λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb.三角形法则3.向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数λ,使b=λa.(a≠0)典例分析题型一平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|=|b|,则a=b;③在□ABCD中,一定有AB=DC;④若m=n,n=p,则m=p;⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.其中正确的序号是______.分析在正确理解有关概念的基础上,注意特殊的情况,是解决本题的关键.解两个向量起点相同,终点相同,则两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以①不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故②不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故⑤不正确.③④正确.学后反思(1)着重理解向量以下几个方面:①向量的模;②向量的方向;③向量的几何表示;④向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况:①零向量与任何向量共线；②单位向量的长度为1，方向不固定.举一反三1.（原创题）中国象棋中，兵走一步表示一个向量a（走前位置为起点，走后位置为终点），则a最多有______个.解析：本题考查平面向量的有关概念，过河之前兵每次只能向前走一步，过河以后又可向左或向右各走一步，故a最多有3个.答案：3题型二平面向量的线性运算【例2】如图,D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.分析在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即用AB,BC,AC来分别表示待求的向量.证明∵AD=AC+CD,AD=AB+BD,∴2AD=AC+AB+CD+BD,即2AD=AC+AB.同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB.所以2(AD+BE+CF)=AC+AB+BA+BC+CA+CB=0.故AD+BE+CF=0.学后反思平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系.(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有(其中O为任一点).举一反三2.（2009·山东）设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP，则PA+PC=_______解析：如图，由向量加法的平行四边形法则易知，BA与BC的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故PA+PC=0.答案：0题型三向量的共线问题【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.分析用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,得到BD=λAB(或AD=λAB等),BD∥AB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线.证明∵BC=2a+8b,∴CB=-2a-8b,∴BD=CD-CB=3a-3b+2a+8b=5(a+b),∴BD=5AB.由向量共线定理得BD∥AB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.学后反思(1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B”这一步骤.举一反三3.设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值.解析：BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.若A、B、D三点共线,则AB∥BD;从而存在唯一实数λ,使AB=λBD,即k的值为-8时,A、B、D三点共线.即2e1+ke2=λ(e1-4e2),整理得(2-λ)e1=-(k+4λ)e2,∵e1、e2不共线,题型四向量知识的综合应用【例4】（14分)已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中e1,e2为两个非零不共线向量.问:是否存在这样的实数λ,μ,使向量d=λa+μb与c共线?分析运用向量共线的条件,确定是否存在实数k,使得d=kc.解d=λa+μb=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2…………4′要使c∥d,则应存在实数k,使d=kc,…………………6′即(2λ+2μ)e1+(3μ-3λ)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2,……………8′∵e1,e2不共线,故存在这样的实数λ,μ,只要满足λ=-2μ,就能使d与c共线……14′学后反思设e1,e2不共线,若λ1e1+λ2e2=k1e1+k2e2,则有λ1=k1,λ2=k2.本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.举一反三4.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足PA+PB+PC=0,若实数λ满足AB+AC=λAP,求λ的值.解析：∵AB+AC=λAP,∴PB-PA+PC-PA=λAP,即PB+PC-2PA=λAP.又∵PA+PB+PC=0,∴PB+PC=-PA,∴-3PA=λAP=-λPA,∴-3=-λ,即λ=3.考点演练10.（2010·海门模拟）如图，在△ABC中，,记AB=a,AC=b,求DE.（用a与b表示）解析:11.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.解析：设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2e1+e2.∵A、P、M和B、P、N分别共线,∴存在λ、μ∈R,使AP=λAM=-λe1-3λe2,BP=μBN=2μe1+μe2.故BA=BP-AP=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.而BA=BC+CA=2e1+3e2,∴由平面向量基本定理得∴AP=45AM,即AP∶PM=4∶1.12.设OA、OB不共线，点P在AB上，求证：OP=λOA+μOB且λ+μ=1,λ、μ∈R.证明:∵P在AB上，∴AP与AB共线,∴AP=tAB，∴OP-OA=t(OB-OA)，∴OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+tOB.设1-t=λ,t=μ,则OP=λOA+μOB且λ+μ=1,λ、μ∈R.第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础梳理1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我们把不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线互相垂直时,这种分解也称为向量a的正交分解.(3)平面向量的坐标表示①一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y).②若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=xi+yj.2.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量bba+ba-bλa坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)平面向量平行(共线)的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,则a与b共线a=λbx1y2-x2y1=0.典例分析题型一平面向量基本定理【例1】如图,在△OAB中,,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,以a、b为基底表示OM.分析本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,n∈R),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.解设OM=ma+nb(m,n∈R),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb,因为A,M,D三点共线,所以,即m+2n=1.又因为C,M,B三点共线,所以,即4m+n=1.所以学后反思(1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便.(2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用.举一反三1.如图，P是△ABC内一点，且满足AP+2BP+3CP=0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP=p,试用p表示CQ.解析：∵AP=AQ+QP,BP=BQ+QP,∴(AQ+QP)+2(BQ+QP)+3CP=0.∴AQ+3QP+2BQ+3CP=0.又∵A,B,Q三点共线，C，P，Q三点共线，∴AQ=λBQ,CP=μQP,∴λBQ+3QP+2BQ+3μQP=0,∴(λ+2)BQ+(3+3μ)QP=0.而BQ,QP为不共线向量,∴∴CP=-QP=PQ.则CQ=CP+PQ=2CP=2p.题型二平面向量的坐标运算【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及,求点C、D的坐标和CD的坐标.分析根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式,列方程组,求出坐标.解设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为所以有所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).学后反思向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握.举一反三2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN坐标.解析：∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),∴CA=(1,8),CB=(6,3),∴CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6).设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24),同理可求N(9,2),因此MN=(9,-18).题型三平面向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,求d.分析(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.解(1)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,学后反思(1)与平行有关的问题,一般地可考虑运用向量平行的充要条件,用待定系数法求解.(2)向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法,也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法.解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征,应学会利用这一点来构造函数和方程,以便用函数与方程的思想解题.举一反三3.(2010·南通模拟)已知向量p=(3,3),q=(-1,2),r=(4,1).（1）求满足条件p=xq+yr的实数x,y；（2）若（2p+tr）∥q,求实数t的值.解析：（1）由p=xq+yr,得(3,3)=x(-1,2)+y(4,1)=(-x+4y,2x+y),即(2)2p+tr=(6+4t,6+t).∵(2p+tr)∥q，∴存在实数λ使2p+tr=λq,即（6+4t,6+t）=(-λ,2λ),∴,解得t=-2.题型四向量的综合应用【例4】(14分)已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试问:(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.分析利用向量相等,建立点P(x,y)与已知向量之间的关系,表示出P点的坐标,然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征,从而解决问题.解(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),∴OA=(1,2),AB=(3,3),∴OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若P在x轴上,则2+3t=0,解得若P在y轴上,则1+3t=0,解得若P在第二象限,则(2)∵OA=(1,2),PB=PO+OB=(3-3t,3-3t),若四边形OABP为平行四边形,则OA=PB,而无解,故四边形OABP不能成为平行四边形.学后反思(1)向量的坐标表示,实际上是把向量的运算代数化,从而实现了数与形的有机结合.这样很多的几何问题都可以转化为代数的运算,体现了向量的优越性.(2)利用设出参数求参数是解决向量坐标运算问题的常用方法,而方程(组)是求解的重要工具,这一方法需灵活应用.举一反三4.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解析：方法一:设P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4).∵OP,OB共线,∴4x-4y=0.①又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6),且向量CP、CA共线,∴-6(x-2)+2(6-y)=0.②解由①②组成的方程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3).方法二:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6).由AP,AC共线的充要条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得，∴OP=(4t,4t)=(3,3)，∴点P的坐标为(3,3).易错警示【例】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为.错解由A(1,2),B(3,6)知AB=(2,4),∴错解分析与AB共线有两种情况一是同向共线,一是反向共线,错解中忽略了反向共线这一情况.正解与AB同向时为与AB反向时为考点演练10.（2009·北京海淀改编）已知向量a=(2,1),b=(1,2),求|a+λb|(λ∈R)的最小值.解析：∵a+λb=(2+λ,1+2λ),∴∴|a+λb|的最小值为11.若对几个向量a1,a2,a3,…,an存在n个不全为零的实数k1,k2,k3,…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,则称这几个向量为“线性相关”.依此规定,求a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”的实数k1,k2,k3(写出一组数值即可,不必考虑所有情况).解析：由“线性相关”定义可知k1a1+k2a2+k3a3=0,即(k1+k2+2k3,-k2+2k3)=(0,0),所以k1+k2+2k3=0,-k2+2k3=0,取k3=1,则k2=2,k1=-4.12.在□ABCD中，A(1,1),AB=(6,0),点M是线段AB的中点，线段CM交BD于点P.（1）若AD=(3,5),求点C的坐标;(2)当|AB|=|AD|时，求点P的轨迹.解析:(1)设点C的坐标为(x0,y0),又AC=AD+AB=(3,5)+(6,0)=(9,5),即(x0-1,y0-1)=(9,5),∴x0=10,y0=6,即点C（10，6）.（2）设P(x,y),则BP=AP-AB=(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,x-1),=3AP-AB=(3(x-1),3(y-1))-(6,0)=(3x-9,3y-3).∵|AB|=|AD|,∴□ABCD为菱形，∴BP⊥AC,∴(x-7,y-1)·(3x-9,3y-3)=0,即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0,∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1).故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y=1的两个交点.第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例基础梳理1.两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角.(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°,a与b同向时,夹角θ=0°;a与b反向时,夹角θ=180°.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角θ=90°,则a与b垂直,记作a⊥b.2.平面向量的数量积(1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|·cosθ叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|·cosθ,并规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)一向量在另一向量方向上的投影①定义:设θ是非零向量a和b的夹角,则|a|cosθ叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做b在a方向上的投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当0°≤θ<90°时,它是正数,当90°<θ≤180°时,它是负数,当θ=90°时,它是0.②a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.3.向量的数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)a⊥ba·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|.当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地:a·a=a2=|a|2或|a|=a·a.(4)|a·b|≤|a||b|.(5)(α是a与b的夹角).4.向量数量积的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.平面向量数量积的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2).(3).(4)若a与b夹角为θ,则.(5)若c的起点坐标和终点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则6.平面向量在平面几何中的应用用向量方法解决几何问题一般分四步:(1)选好基向量；(2)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；(3)通过向量运算研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(4)把运算结果“翻译”成几何关系.典例分析题型一数量积的运算【例1】(2009·广东联考)已知向量,且.求a·b及|a+b|.分析利用数量积的坐标运算及性质,注意x的取值范围.学后反思与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换的相关知识，分析求模类型.举一反三1.已知(1)若a⊥b,求x的取值集合;(2)求f(x)=a·b的周期.解析:(1)∵a⊥b,∴a·b=0,即题型二模与垂直问题【例2】（2009·江苏改编）设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ).（1）若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值；（2）求|b+c|的最大值.分析（1）利用a·(b-2c)=0找到问题的突破口，熟练应用公式求解.(2)利用向量模的坐标运算将问题转化成函数问题求解.解因为a与b-2c垂直，所以a·(b-2c)=4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin(α+β)-8cos（α+β）=0,因此tan(α+β)=2.（2）由b+c=(sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ）,得又当(k∈Z)时，等号成立，所以|b+c|的最大值为学后反思（1）本类题型主要利用向量的基本概念进行求解.（2）向量常常与三角函数知识相结合命题，是近年来高考的热点，熟练掌握三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角的三角函数公式等是解决问题的关键.举一反三2.已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1.(1)求向量n;(2)设向量a=(1,0),向量,若n·a=0,试求|n+b|的取值范围.解析：(1)设n=(x,y),由已知得解得∴n=(-1,0)或(0,-1).题型三夹角问题【例3】(14分)已知a、b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a与a+b的夹角.分析由公式可知,求两个向量的夹角关键是求数量积及模的积.本题中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求数量积的关键,考虑怎样对条件进行转化.解方法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2a·b+b2,所以而|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=2|a|2+2×|a|2=|a|2,所以|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为θ,由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°方法二:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|a-b|2=a2-2a·b+b2,所以即所以故.设a与a+b的夹角为θ,则由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.学后反思(1)求两个向量的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系,注意夹角的取值范围是[0°,180°].(2)向量有两种表示形式,即坐标法和几何法,解题时要灵活选择.本题通过比较两种方法发现,利用向量的几何形式解答此类题目显得更加简捷和直观.举一反三3.(2010·惠州市调研)已知点A（2，0）、B（0，2）、C（cosα,sinα）,O为坐标原点，且0＜α＜π.（1）若AC⊥BC,求sin2α的值；（2）若,求OA与OC的夹角.解析：（1）AC=(cosα-2,sinα),BC=(cosα,sinα-2).∵AC⊥BC,∴AC·BC=0，∴cosα+sinα=∴(cosα+sinα)2=,即2sinαcosα=,∴sin2α=（2）∵|OA+OC|=∴(2+cosα)2+sin2α=7,解得cosα=∵α∈(0,π),∴α=又∵0＜α＜π,∴OA与OC的夹角∠AOC=α=题型四综合应用问题【例4】已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).若函数f(x)=a·b在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围.分析先求出f(x)的表达式,然后利用导数与函数单调性的关系及本函数的性质求解，注意x的取值范围.解因为f(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,所以f′(x)=-3x2+2x+t.若f(x)在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上f′(x)≥0.所以而当t≥5时,f′(x)在(-1,1)上满足f′(x)>0,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为[5,+∞).学后反思新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x3+x2+tx+t,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.举一反三4.（改编题）已知a=(λ,2λ)，b=（-3λ,2）,如果a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是____.解析显然λ≠0则设a与b的夹角为θ,由已知可得cosθ＜0,答案：易错警示【例】设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,求|a+b|的值.错解∵a+b=e1+2e2+2e1+e2=3e1+3e2,∴a+b=(3,3).则.错解分析上面的解法错误地认为e1和e2是分别与x轴、y轴方向相同的单位向量.正解∵a+b=3(e1+e2),∴考点演练10.（2010·长春模拟）已知A(-1,0),B(1,0),点P满足PA·PB=1,求|PA+PB|.解析:设点P的坐标为（x,y），则PA·PB=(-x-1,-y)·(1-x,-y)=x2-1+y2=1，整理得x2+y2=2,即点P的轨迹是以原点O为圆心，半径为2的圆,∴|PA+PB|=2|PO|=11.（2010·广州综测）已知点A(1,0),B(0,1),C（2sinθ,cosθ）.（1）若|AC|=|BC|,求tanθ的值；（2）若（OA+2OB）·OC=1,其中O为坐标原点，求sin2θ的值.解析：（1）∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)，∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1).∵|AC|=|BC|,∴化简得2sinθ=cosθ.又∵cosθ≠0(若cosθ=0,则sinθ=±1,上式不成立),∴tanθ=(2)∵OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ,cosθ),∴OA+2OB=(1,2).∵(OA+2OB)·OC=1,∴2sinθ+2cosθ=1，∴sinθ+cosθ=，∴(sinθ+cosθ)2=,∴sin2θ=12.（2009·上海）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).（1）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；（2）若m⊥p，边长c=2,角C=,求△ABC的面积.解析：（1）证明：∵m∥n，∴asinA=bsinB,即,其中R是三角形ABC外接圆半径,∴a=b，∴△ABC为等腰三角形.(2)由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴第四节数系的扩充与复数的引入基础梳理1.复数的概念及分类(1)概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别为它的实部和虚部.①实数:若a+bi为实数,则b=0(2)分类②虚数:若a+bi为虚数,则b≠0③纯虚数:若a+bi为纯虚数,则a=0且b≠0(3)相等复数:a+bi=c+dia=c,b=d(a,b,c,d∈R).2.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)乘方:zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=zn1·zn2;(5)除法3.复平面的概念建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C和复平面内有序实数对(a,b)组成的集合是一一对应的,复数集C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的4.共轭复数把实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数,复数z=a+bi(a、b∈R)的共轭复数记作z,即z=a-bi(a,b∈R).5.复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作|z|或|a+bi|,即6.复平面内两点间距离公式两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.设复数z1,z2在复平面内的对应点分别为Z1,Z2,d为点Z1和Z2的距离,则d=|Z2Z1|.典例分析题型一复数的概念【例1】已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时，复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.解z=(m2-3m)+(m2-m-6)i=m(m-3)+(m+2)·(m-3)i.(1)当m=-2或m=3时,z为实数;(2)当m≠-2且m≠3时,z为虚数;(3)当m=0时,z为纯虚数;(4)当m=3时,z=0;∴当m∈(0,3)时,z对应的点在第三象限.学后反思利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，也