安徽省合肥市福山中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析

安徽省合肥市福山中学2021-2022学年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为，那么从高三学生中抽取的人数应为（

）． A． B． C． D．参考答案：A设高三抽取人，由此例可，．故选．2.为圆内异于圆心的点，则直线与该圆的位置关系为(

)

A．相切

B．相交

C．相离

D．相切或相交参考答案：C3.函数是定义在[0,+∞)上的可导函数，且，则对任意正实数a，下列式子恒成立的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A由题得：构造函数且定义在上的可导函数，即)->，，故在上单调递减，因为正实数，故，故选A.

4.已知0<<b，且f(x)＝，则下列大小关系式成立的是(

).A、f(b)<f()<f()

B、f()<f(b)<f()C、f()<f()<f()

D、f()<f()<f()参考答案：A5.已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则()A．a2＝

B．a2＝13

C．b2＝

D．b2＝2参考答案：B双曲线－＝1的渐近线为y＝±x，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－＝－2，即p＝4.又∵＋a＝4，∴a＝2，将(－2，－1)代入y＝x得b＝1，∴c＝＝＝，∴2c＝2.6.如果执行下边的程序框图，输入x＝－12，那么其输出的结果是()A．9

B．3C．

D．参考答案：C7.如果直线平面，直线平面，，则

(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：A8.直线x﹣y﹣1=0不通过(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B【考点】确定直线位置的几何要素．【专题】直线与圆．【分析】把直线的方程化为斜截式，可得直线的倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0即y=x﹣1，它的斜率等于1，倾斜角为90°，在y轴上的截距等于﹣1，故直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选B．【点评】本题主要考查直线的斜截式方程，确定直线位置的几何要素，属于基础题．9.椭圆C：的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．【分析】由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），代入椭圆方程可得．利用斜率计算公式可得，再利用已知给出的的范围即可解出．【解答】解：由椭圆C：可知其左顶点A1（﹣2，0），右顶点A2（2，0）．设P（x0，y0）（x0≠±2），则，得．∵=，=，∴==，∵，∴，解得．故选B．10.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，，则的实轴长为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某四面体的三视图如图所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于．参考答案：

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知画出几何体的直观图，分析出四个面中的最大值，求出面积可得答案．【解答】解：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；几何体的直观图如下所示：四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为．故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12.棱长为的正四面体内有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，则的值为

参考答案：

解析：作等积变换：而13.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差；参考答案：解析：可以先把这组数都减去6再求方差，；14.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．参考答案：15.设公比为q（）的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则q=

.参考答案：

16.已知实数x、y满足,则目标函数z=x-2y的最小值是

▲

.参考答案：-9

略17.已知函数，则___________参考答案：_1/4_略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆，，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，离心率，上顶点.（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F2且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，且满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由.参考答案：(1).(2)见解析.【分析】（1）由题可得：，解得：，问题得解。（2）设直线为，点，联立直线与椭圆方程可得：，利用可得：，即可整理得：，此方程无解，问题得解。【详解】（1）由题可得：，解得：，所以椭圆方程为：（2）设直线为，点由化简得：即，化简得，此方程无解所以不存在满足题意的直线.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了方程思想及韦达定理，还考查了向量的坐标运算、向量的数乘运算及转化能力，考查计算能力，属于难题。19.设，其中a为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求a的取值范围。参考答案：【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后让导函数为零，求出的值，通过列表，判断出函数的极值点。（Ⅱ）根据导函数与单调性的关系，可通过在R上恒成立，求出的取值范围。【详解】(Ⅰ)时，

解得

x＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗

综合①，可知所以，是极小值点，是极大值点．(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数，则在R上不变号，结合①与条件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1.【点睛】本题一方面考查了用列表法求函数的极值点；另一方面考查了已知函数的单调性求参数取值的问题，其实也就是不等式恒成立问题，主要方法是结合导函数的类型进行求解。20.已知点，直线，动点P到点F的距离与到直线的距离相等．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线与曲线C交于A，B两点，若曲线C上存在点D使得四边形FABD为平行四边形，求b的值.参考答案：（1）依题意，动点P的轨迹C是以为焦点，为准线的抛物线,

所以动点P的轨迹C的方程为（2）解法一：因为，故直线FD的方程为,联立方程组消元得：，解得点的横坐标为或,由抛物线定义知：或又由消元得：。设，，则且,

所以因为FABD为平行四边形，所以

所以或，解得或，代入成立。（2）解法二：因为，故直线FD的方程为联立方程组消元得：，解得或

故点或.当时，设联立方程组消元得：（*）根据韦达定理有①，②

又因为四边形是平行四边形，所以，

将坐标代入有

③

代入①有，

代入②有

整理得此时（*）的判别式,符合题意.

当时，同理可解得.21.已知直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得到直线l的普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+），展开可得：ρ=（cosθ﹣sinθ）．利用互化公式可得直角坐标方程，与直线方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y+1=0，利用互化公式可得极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ+1=0．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+），展开可得：ρ=（cosθ﹣sinθ）．即ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y．联立方程∴解得l与C交点的直角坐标为：（0，﹣1），极坐标为（1，）．22.如图，DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P在圆x2+y2=1上运动时．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质．【分析】（I）设出M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），由题意DP⊥x轴，点M在DP的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出x0与x的关系及y0与y的关系，记作①，根据P在圆上，将P的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T（0，t）作圆x2+y2=1的切线l交曲线C于A，B两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i）当t=1时，确定出切线l为x=1，将x=1代入M得轨迹方程中，求出A和B的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=﹣1时，同理得到|AB|的长；（ii）当|t|大于1时，设切线l方程为y=kx+t，将切线l的方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，设A和B的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k与t的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k与t的关系式代入，得到关于t的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t的取值，而三角形AOB的面积等于AB与半径r乘积的一半来求，表示出三角形AOB的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB面积的最大值，以及此时T的坐标即可．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则x=x0，y=2y0，所以x0=x，y0=，①因为P（x0，y0）在圆x2+y2=1上，所以x02+y02=1②，将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为x2+=1；…（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i）当t=1时，切线l的方程为y=1，点A、B的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii）当|t|＞1时，