2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一（下）期中数学试卷（Word含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知，其中为虚数单位，则在复平面内的共轭复数对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列化简不正确的是()

A.

B.

C.

D.

3.已知，，则的值为()

A.B.C.D.

4.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为()

A.B.C.D.

5.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是()

A.B.

C.D.

6.若平面向量，的夹角为，且，则()

A.B.C.D.

7.一艘海轮从处出发，以每小时海里的速度沿南偏东的方向直线航行，小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么，两点间的距离是()

A.海里B.海里C.海里D.海里

8.已知，，且，，则()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是()

A.

B.

C.的共轭复数为

D.是关于的方程的一个根

10.下列说法不正确的是()

A.若，则、的长度相等且方向相同或相反

B.若向量，满足，且同向，则

C.若，则与可能是共线向量

D.若非零向量与平行，则、、、四点共线

11.已知的内角，，的对边分别为，，，若，且，延长至则下面结论正确的是()

A.

B.

C.若，则周长的最大值为

D.若，则面积的最大值为

12.在平行四边形中，是上一点，，是的中点，且，，，则下列说法正确的是()

A.B.在上的投影向量是

C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知复数，则的虚部为______．

14.若，则______．

15.已知向量，满足，，，则______．

16.的内角，，所对的边分别为，，，满足，且，；则的面积为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知复数，，其中是实数．

若，求实数的值；

若是纯虚数，求．

18.本小题分

已知，，是同一平面内的三个向量，其中

若，且，求的坐标；

若，且与垂直，求与的夹角的余弦值．

19.本小题分

已知．

Ⅰ求的值；

Ⅱ求的值．

20.本小题分

如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，求塔高．

21.本小题分

设函数．

当时，求函数的值域；

的内角，，所对的边分别为，，，且，，，求的面积．

22.本小题分

如图，某小区有一块空地，其中，，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上不与，重合，且在，之间，且．

若，求的值；

为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，

，

在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．

故选：．

先求得复数的共轭复数，写出在复平面内对应的点的坐标，从而得出结论．

本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：：，正确；

：，正确；

：，正确．

：，错误．

故选：．

逆用差角正弦公式求值；诱导公式、倍角正弦公式化简求值；倍角余弦公式化简；和角正切公式化简求值．

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．

3.【答案】

【解析】解：因为，，

所以，

所以．

故选：．

由，，可得，再由及两角和的正切公式求解即可．

本题考查了两角和的正切公式及整体思想，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：，

外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，

如图：

又，为等边三角形，

，，

向量在向量上的投影为：，

故向量在向量上的投影向量为．

故选：．

根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可．

本题主要考查投影向量的定义，属于中档题．

5.【答案】

【解析】解：对，，显然由图可得与为相反向量，故A错误；

对，由图易得，直线平分角，且为正三角形，

与共线且同方向，易知，均为含的直角三角形，

故，，则，

，，，故B错误；

对，，，，则，

又，，，，

，，与所成角为，

，故C错误；

对，由图知，，，，故D正确．

故选：．

根据正六边形的特点，在图中作出相关向量，对利用向量减法运算结合图形即可判断，对借助图形和共线向量的定义即可判断，对利用向量数量积公式和相关模长的关系即可判断，对结合图形即可判断．

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．

6.【答案】

【解析】解：由题意可得，

，

，

故选：．

由题意可得，再根据，可得，从而得到答案．

本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的条件，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：由题意作出图形：，，则，

由图知：，则，又，

所以，则海里．

故选：．

由题意作出示意图，应用正弦定理求出，两点间的距离即可．

本题考查正弦定理的实际应用，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：由，则，又，

故，

所以，而，则，，

又，则．

故选：．

根据已知得、，再由及角的范围即可求角的大小．

本题主要考查了同角平方关系，和差角公式的应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：因为，所以，故A正确；

因为，故B正确；

因为的共轭复数为，故C错误；

因为方程，

所以方程的根为，故D正确．

故选：．

利用复数的相关概念以及复数的运算进行计算求解．

本题主要考查复数的相关概念以及复数的运算，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：对于项，只能说明、的长度相等，不能判断它们的方向，因而选项A错误；

对于项，向量不能比较大小，因而选项B错误；

对于项，只能说明、的长度不相等，它们的方向可能相同或相反，故选项C正确；

对于项，与平行，可能，即、、、四点不一定共线，因而选项D错误．

故选：．

因为向量是矢量，具有大小和方向，是不能比较大小的，即可判断选项A、；再利用共线向量的含义可判断选项C、．

本题考查向量的概念，主要是向量的模和共线向量的特点，考查判断能力，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：，

，解得：，

由得：，，

，解得：舍或，

，，A正确；

，，，即，

为等边三角形，，B错误；

，，

在中，由余弦定理得：，

当且仅当时取等号，

解得：，周长的最大值为，C正确；

设，则，，

则当时，取得最大值，D正确．

故选：．

利用两角和差余弦公式可化简已知等式求得，利用正弦定理边化角，结合同角三角函数平方关系可构造方程求得，进而知A正确；将的值代入已知等式可求得，知为等比三角形，得B错误；在中，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，进而知C正确；设，代入三角形面积公式中，根据二次函数最值的求法可知D正确．

本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】解：对于选项，由平面向量数量积的定义可得，错；

对于选项，因为，即，可得，

又因为，即，

可得，

又可得，故，对；

对于选项，在上的投影向量，对；

对于选项，由可得，故，错．

故选：．

利用平面向量数量积的定义可判断选项；利用投影向量的定义可判断选项；利用平面向量的线性运算可判断选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断选项．

本题考查平面向量数量积相关知识，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：由题意得，

则，所以的虚部为．

故答案为：．

先化简复数，再求得其共轭复数，然后利用复数的概念求解．

本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：由，

故答案为：．

利用诱导公式将转化，再由二倍角的余弦公式求解即可．

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：由可知，即，

又，，解得，

故．

故答案为：．

两边平方，求出，从而利用求出答案．

本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：因为，

所以由正弦定理可得，

又，

由正弦定理可得，整理可得，

所以，

又，

所以，

又，

所以由，可得，

解得，，

所以的面积．

故答案为：．

由正弦定理化简已知等式可得，可得，利用余弦定理可求，结合，可求，进而利用余弦定理可求的值，可求的值，利用三角形的面积公式即可求解．

本题考查了正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17.【答案】解：，

，解得；

，且是纯虚数，

且，，

，，，

，，

．

【解析】可求出，从而得出，然后解出的值即可；

根据为纯虚数可得出，从而得出，然后可得出函数，的周期为，且，，从而得出．

本题考查了复数的乘法和除法运算，周期函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．

18.【答案】解：设，

则，解得：或，

所以或；

，

，

，

整理为，

解得：．

【解析】首先设，根据条件，建立方程组，求的坐标；利用，以及向量数量积的公式求的值．

本题考查平面向量坐标法的应用，属于中档题．

19.【答案】解：Ⅰ．

，

解得．

Ⅱ

．

【解析】Ⅰ由，能求出．

Ⅱ由，能求出结果．

本题考查三角函数值的求法，考查正切加法定理、考查诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

20.【答案】解：因为，，，

所以，

中，由正弦定理得，

即，

所以，

中，，

所以．

【解析】由已知结合正弦定理先求出，然后结合锐角三角函数定义可求．

本题主要考查了正弦定理及三角函数定义的应用，属于基础题．

21.【答案】解：，

，，，

函数的值域为．

由知，，

，，，即，

，，，

又，，

，

又，，．

【解析】先将函数利用和差角、降幂公式、辅助角公式进行化简得，再根据的取值，求得值域；

根据第一问求得角，再根据正弦定理求得角，然后再求得角的正弦值和边，利用面积公式求得面积．

本题考查了三角函数的图象与性质，三角恒等变换和解三角形，考查了转化思想和整体思想，属中档题．

22.【答案】解：由题意可得，

设，则，，

在中，由余弦定