高三数学二轮文专题复习三角与平面向量

2013届高三数学二轮文专题复习：三角与平面向量一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1．函数f(x)=2sinxcosx是（）A．最小正周期为2π的奇函数 B．最小正周期为2π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数2．点P是函数f(x)＝cosωx(其中ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值是π，则函数f(x)的最小正周期是()A．πB．2πC．3πD．4π3．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6,则|a×b|等于()A．8B．－8C．8或－84．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－2x))，x∈[0，π]的增区间是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\f(7π,12)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))5．为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图象，只需把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的图象()A．向左平移eq\f(π,4)个长度单位B．向右平移eq\f(π,4)个长度单位C．向左平移eq\f(π,2)个长度单位D．向右平移eq\f(π,2)个长度单位6．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°7．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是()8．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（）（A）（B）（C）（D）二、填空题（每小题5分，7小题，共35分）9．已知函数f(x)＝2sinx，g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))，直线x＝m与f(x)，g(x)的图象分别交M、N两点，则|MN|的最大值为________．10．曲线y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))与直线y＝eq\f(1,2)在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于________.11．若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为________12．已知为第三象限的角，,则.13．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若=,=,则=___.14．若，，，，则______.15．有下列命题：①函数y＝4cos2x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10π，10π))不是周期函数；②函数y＝4cos2x的图象可由y＝4sin2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位得到；③函数y＝4cos(2x＋θ)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))对称的一个必要不充分条件是θ＝eq\f(k,2)π＋eq\f(π,6)(k∈Z)；④函数y＝eq\f(6＋sin2x,2－sinx)的最小值为2eq\r(10)－4其中正确命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．1．(本题满分14分)2．(本题满分14分)已设的内角所对的边长分别为，且．（1）求的值；（2）求的最大值．3．（本题满分14分）设函数，其中向量，．（1）若，试求的值；（2）求函数的最小正周期和单调递增区间；（3）当时，的最大值为4，求实数的值．4．(本题满分14分)已知函数f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝eq\f(6,5)，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cos2x0的值．5．(本题满分14分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．6．(本题满分14分)已知函数（，且均为常数），（1）求函数的最小正周期；（2）是否存在常数使得在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2就是在R上的最值，若存在，试求的值，若不存在请说明理由．2013届高三数学理二轮专题复习：三角与平面向量答案选择题：CDAC，BADC填空题：9.;10..;11.;12.;13.;14.;15.①③解答题：2、解：（Ⅰ）在中，由正弦定理及可得即，则；（Ⅱ）由得当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.3、解：(1)===（2）函数的最小正周期.由（Z）得，即（3）时，， ∴，，取最大值 由=1的.4、解：(1)由f(x)＝2eq\r(3)sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝eq\r(3)(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上为增函数，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上为减函数，又f(0)＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－1，所以函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))).又因为f(x0)＝eq\f(6,5)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).由x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))从而coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq\f(4,5).所以cos2x0＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(3－4\r(3),10).5、解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故当t＝eq\f(1,3)时，Smin＝10eq\r(3)，此时v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2).∵0<v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)时，v＝30.故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10eq\r(3)，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt，此时，轮船航行时间t＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即艇以30eq\(2)猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝eq\f(2,3).据此可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下：如图，由(1)得OC＝10eq\r(3)，AC＝10，故OC>AC.且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A、C之间(包含C)的任意位置相遇．设∠COD＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt△COD中，CD＝10eq\r(3)tanθ，OD＝eq\f(10\r(3),cosθ).由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)和t＝eq\f(10\r(3),vcosθ)，所以，eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)＝eq\f(10\r(3),vcosθ).由此可得，v＝eq\f(15\r(3),sinθ＋30°).又v≤30，故sin(θ＋30°)≥eq\f(\r(3),2).从而，30°≤θ≤90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为eq\f(\r(3),3).于是，当θ＝30°时，t＝eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)取得最小值，且最小值为eq\f(2,3).解法三：(1)同解法一或解法二．(2)设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，(v2－900)t2＋600t－400＝0.①若0<v<30，则由Δ＝360000＋1600(v2－900)＝1600(v2－675)≥0得v≥15eq\r(3).从而，t＝eq\f(－300±20\r(v2－675),v2－900)，v∈[15eq\r(3)，30]．(ⅰ)当t＝eq\f(－300－20\r(v2－675),v2－900)时，令x＝eq\r(v2－675)，则x∈[0,15)，t＝eq\f(－300－20x,x2－225)＝eq\f(－20,x－15)≥eq\f(4,3)，当且仅当x＝0即v＝15eq\r(3)时等号成立．(ⅱ)当t＝eq\f(－300＋20\r(v2－675),v2－900)时，