第2课时-利用二次函数解决距离和利润等最值问题

1．4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决距离和利润等最值问题[必练篇]A组基础练1.烟花厂为扬州“烟花三月经贸旅游节”特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)关于飞行时间t(s)的表达式是h＝－eq\f(5,2)t2＋20t＋1.若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(B)A.3sB.4sC.5sD.6s2.[2018·贺州]某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30－x)件．若使利润最大，则每件商品的售价应为__25__元．3.[2018·杭州市西湖区月考]旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅游团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是__55__人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．解：设一个旅行团的人数是x人，营业额为y元，则根据题意可得：y＝x[800－10(x－30)]＝－10x2＋1100x＝－10(x2－110x)＝－10(x－55)2＋30250，故当一个旅行团的人数是55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．B组提升练第4题4.[2018·北京]跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(m)与水平距离x(m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)A．10mB．15mC．20mD．22.5m分析：根据模型，可知(0，54)和(20，57.9)不是对称点．(0，54)和(40，46.2)也不是对称点，所以对称轴不是10和20，故排除A和C选项；根据模型，可知(40，46.2)的对称点(x1，46.2)的横坐标绝对是负的，(0，54)的对称点(x2，54)的x2＞20；根据对称点横坐标的取值范围和对称轴的公式，可知道对称轴10＜x＜20，故排除D选项．5.[2019·温州市瓯海区一模]如图，将球从点O正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h，边界距点O的水平距离为18m.若球发出后不出边界，则h的取值范围是__h≥eq\f(8,3)__．解：∵抛物线y＝a(x－6)2＋h过点(0，2)，由题意可知a<0，∴h>2，∴36a＋h＝2，∴a＝eq\f(2－h,36)，∴y＝eq\f(2－h,36)(x－6)2＋h，当y＝0时，有eq\f(2－h,36)(x－6)2＋h＝0，而h>2，∴(x－6)2＝eq\f(36h,h－2)>0，∵球发出后不出边界，∴6<x≤18，∴0<x－6≤12，∴0<(x－6)2≤144，∴eq\f(36h,h－2)≤144，解得：h≥eq\f(8,3)，综上：h≥eq\f(8,3).6.[2017·成都]随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x(km)，乘坐地铁的时间y1(min)是关于x的一次函数，其关系如下表：地铁站ABCDEx(km)891011.513y1(min)1820222528(1)求y1关于x的函数表达式；(2)李华骑单车的时间y2(min)也受x的影响，其关系可以用y2＝eq\f(1,2)x2－11x＋78来描述．请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．解：(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)，代入得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8k＋b＝18，,9k＋b＝20))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝2))故y1关于x的函数表达式为：y1＝2x＋2；(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则y＝y1＋y2＝2x＋2＋eq\f(1,2)x2－11x＋78＝eq\f(1,2)x2－9x＋80，∴当x＝9时，y有最小值，ymin＝eq\f(4×\f(1,2)×80－92,4×\f(1,2))＝39.5，答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．C组挑战练7.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出；若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方式变化下去．(1)设每间包房收费提高x(元)，则每间包房的收入为y1(元)，但会减少y2间包房租出，请直接写出y1，y2与x之间的函数表达式；(2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数表达式，求出每间包房每天晚餐营业时间应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．解：(1)y1＝100＋x，y2＝eq\f(1,2)x.(2)y＝(100＋x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100－\f(1,2)x))，