泰-勒展开式中余项的应用正文-本科毕业设计

天津师范大学本科毕业论文（设计）题目：泰勒展开式中余项的应用学 院：数学科学学院专 业：数学与应用数学I泰勒展开式中余项的应用摘要:泰勒展开式是数学分析及复变函数中的重要内容,它将某些函数近似地表示为形式简单的多项式函数.泰勒展开式的余项可分为佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,彼此之间可以相互转换.本文主要讨论两个方面的内容:一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或不等式、根的存在性、近似计算与误差分析方面的应用.从而对泰勒展开式的余项有一个总体认识,这有助于我们对泰勒展开式中的各类余项实施进一步推广和应用.关键词：泰勒展开式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余项;泰勒级数.II目 录112预备知识.............................................................................................................................12.1泰勒多项式..............................................................................................................12.2泰勒展开式的余项..................................................................................................22.2.1佩亚诺型余项...............................................................................................22.2.2拉格朗日型余项...........................................................................................22.2.3积分型余项与柯西型余项...........................................................................32.3泰勒级数..................................................................................................................33泰勒展开式余项的应用.....................................................................................................43.1佩亚诺型余项的应用..............................................................................................43.1.1极限运算的应用...........................................................................................43.1.2判断函数凹凸性及拐点...............................................................................63.1.3判别广义积分收敛性...................................................................................73.1.4判别级数敛散性...........................................................................................93.2拉格朗日型余项的应用........................................................................................103.2.1一些等式或不等式的应用.........................................................................103.2.3证明根的唯一存在性.................................................................................133.2.4近似计算与误差估计.................................................................................144参考文献：.......................................................................................................................15III天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用引言泰勒展开式是 18世纪早期英国数学家泰勒在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下,泰勒展开式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.此外泰勒展开式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.在高等数学中,泰勒展开式占有重要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,集中体现了微积分和逼近法的精髓.在微积分及相关领域的各个方面都有重要的应用,在数学计算和在信息科学的研究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础.事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,而且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒展开式展开函数,对泰勒展开式的应用方法并未作深入讨论.初学者在解题时总是不善于将题目和泰勒展开式的应用联系在一起,在没有理解泰勒展开式的前提下,写出常见函数的泰勒展开式只是一种机械的行为.那么如何学好和应用好泰勒展开式呢?这并不是一件简单的事情，本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项的泰勒展开式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、专门化地呈现出来.通过总结,希望能为初学者提供有益的帮助.预备知识2.1 泰勒多项式我们在学习导数和微分概念时已经知道 ,如果函数f在点x0可导则有f(x) f(x0) f(x0)(x x0) o(x x0).即在点x0附近,用一次多项式f(x)f(x0)f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时,其误差为(xx0)的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为o((xx0)n),其中n为多项式的次数.为此我们考察任意n次多项式pn(x)a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n.逐次求它在点x0处的各阶导数,得到pn(x0)a0,pn(x0)a1,pn(x0)2!a2,,pn(n)(x0)n!an,1天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用即a0pn(x0),a1pn(x0),a2pn(x0),anpn(n)(x0).1!,n!2!由此可见,多项式pn(x)的各项系数由其在点x0的各阶导数值所唯一确定.对于一般函数f(x),设它在点x0存在直到n阶的导数,由这些导数构造一个n次多项式f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2(n)Tn(x)f(x0)f(x0)(xx0)n,1!2!n!称为函数f在点x0处的泰勒（Taylor）多项式,Tn(x)的各项系数f(k)(x0)(k1,2,n)称为k!泰勒系数.2.2 泰勒展开式的余项2.2.1 佩亚诺型余项若函数f在点x0存在直到n阶的导数,则f(x)Tn(x)o((xx0)n),即f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)no((xx0)n).2!n!上式称为函数f在点x0处的泰勒公式,Rn(x)f(x)Tn(x)称为泰勒公式的余项,形如o((xx0)n)的余项称为佩亚诺（Peano）型余项.特别的,当x00时,称泰勒公式的特殊形式f(x)f(0)f(0)xf(0)2f(n)(0)xnn).xn!o(x2!为带有佩亚诺型余项的麦克劳林（ Maclaurin）公式.2.2.2 拉格朗日型余项若函数f在a,b上存在直到n阶的连续导函数,在(a,b)内存在(n1)阶导函数,则对任意给定的x,x0a,b,至少存在一点(a,b),使得f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)nf(n1)()(xx0)n1.2!n!(n1)!上式同样称为泰勒公式,它的余项为Rn(x)f(x)Tn(x)f(n1)()0)n1,x0(xx0)(01).(n(xx1)!称为拉格朗日（Largrange）型余项.当x0 0时,得到泰勒公式2天津师范大学数学科学学院泰勒展开式中余项的应用f(x)f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xnf(n1)(x)xn1,01.2!n!(n1)!为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式 .2.2.3 积分型余项与柯西型余项若函数f在点x0的邻域U(x0)内有连续的n1阶导数,则xU(x0),有f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2fn(x0)(xx0)nRn(x).2!n!其中Rn(x)1xf(n1)(t)(xt)ndt称为积分型余项.n!x0由于f(n1)(t)连续,(xt)n0（或x,x0）上保持同号,因此由推广的积分第一中在x,x值定理,可将积分型余项写成Rn(x)1xn1f(n1)()(xx0)n1,其中f(n1)()(xt)dtn!x0(n1)!介于x与x0之间,这就将积分型余项转化成拉格朗日余项.如果直接对积分型余项用积分第一中值定理,则得到Rn(x)1f(n1)()(x)n(xx0),x0(xx0),0x1.n!由于(x)n(xx0)xx0(xx0)n(xx0)(1)n(xx0)n1,因此又可进一步把Rn(x)改写为Rn(x)1f(n1)(x0(xx0))(1)n(xx0)n1,01.n!上式称为泰勒公式的柯西（Cauchy）型余项.2.3 泰勒级数函数f在x0处的泰勒公式为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)nRn(x).2!n!在上式中抹去余项Rn(x),那么在x0附近f可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数f在xx0处存在任意阶导数,这时称形式为f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)2f(n)(x0)(xx0)n2!n!的级数为函数f在x0的泰勒级数.当x0 0时,称f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xn2!n!为函数f的麦克劳林级数.3天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用如果f在x0某邻域内等于其泰勒级数的和函数,则称该级数为f在点x0处的泰勒展开式.显然f(x)在x0处的泰勒级数收敛的充要条件是f(x)在x0处泰勒公式中的余项极限为0,即limRn(x) 0.n泰勒展开式余项的应用不同余项的泰勒公式之间是可相互转换的,但是不同的余项在解决不同类型的问题时有各自的优点.接下来将通过一些典型例题展开对泰勒公式中不同类型余项应用的讨论,加深对泰勒公式余项及其应用的认识.3.1 佩亚诺型余项的应用带佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算,判断函数凹凸性,判别广义积分和级数敛散性等方面都有很巧妙的用处.3.1.1 极限运算的应用在函数极限运算中,不定式极限的计算是重要内容 ,因为这是比较困难的一类问题 .在计算不定式极限时,我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小相结合 .但对于有些未定式极限问题如果应用泰勒公式求解 ,会更加简单明了.例1求极限limtan(tanx)sin(sinx).x0tanxsinx分析:此为0型极限,若用洛必达法则求解至少要用三次,求导过程也会很繁琐.0,则可简化此比式,进这时可将原极限中每一项分别用带佩亚诺型余项的泰勒公式代替而求得极限结果.解:由函数f(x)在x0处的带佩亚诺型余项的泰勒公式可以得到tanxx1x3o(x3),sinxx1x3o(x3),36x31x332tan(tanx)xo(x3)xo(x3)o(tanx3)xx3o(x3),3333sin(sinx)x1333xo(x).将以上结果代入极限式中,有limtan(tanx)sin(sinx)x3o(x3)2.tanxsinxlimx0x01x33)2o(x4天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用例2求极限limtanxarctanxx2x6.x0分析:由lim(tanxarctanxx2)0和limx60可知这是0型的极限问题.若用洛必达法x0x00则求解,计算过程将十分繁琐,可以考虑借用带佩亚诺型的泰勒公式求极限.这里需要注意的是计算过程中无穷小的计算和泰勒公式展开的项数,由于本题分子中只需要展开到x5就已足够,这是因为分母是x6,所以要求分子的佩亚诺型余项是比x6高阶的无穷小.解:由函数f(x)在x0处的带佩亚诺型余项的泰勒公式可以得到tanxx325o(x6),arctanxxx3x56).x15x35o(x3将以上结果带入极限式中,有tanarctanxx2xx32x5o(x6)xx3x5o(x6)x2lim31535lim66x0xx0x2x6o(x6)2.lim96x0x91例3求极限lim(x3x2x)ex1x6.x2分析:这是型的极限问题.要取得有限极限值,则必须要求两个无穷大是同1x11阶的.由于ex的极限是1,故32x是x的三阶无穷大,并且1x6x31也是x(xx2)ex6的三阶无穷大.显然,此题的解答用带佩亚诺型余项的泰勒公式去替换116较ex和1x1161,不妨令u1做为变量进行替换.为方便.另一方面,由于ex和1两项都出现了xxx116解:令u1,将ex和1在x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,并代入xx原极限式中,可以得到11121x11111u2u(1u6)2lim(x3x2x1x6lim(u2limu)e32)e(1u6)u3e3x2u0uu2uu0u(1u1u2)(1u1u2u3o(u3))(11u6o(u6))lim2262u0u31u23uu21u31u21u31o(u3)1uulim26222u0u35天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用u33)o(u1.lim63u0u6例4求极限limxx2ln(11).xx分析:考虑到极限式中含有x2,在应用泰勒公式时应取n2.解:将函数ln(11)在x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得到xln(11)112o(12).xx2xx将上式代入极限式中,有2121111o(12)1limxln(1limxlimx.x)x(2x2o(2))22xxxxxx1x2带有佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算中是个有力的工具 ,熟练掌握会使函数极限运算变得简单.3.1.2 判断函数凹凸性及拐点泰勒展开式在各个领域有着广泛的应用 ,不少书中利用它来判断函数的单调性和极值.同样可以尝试利用泰勒展开式来研究函数的凹凸性及拐点 .例5设f(x)在a,b上连续,且在(a,b)上具有一阶和二阶导数.若在(a,b)内f(x)0,则f(x)为a,b的凸函数.证明:设cd为a,b内任意两点,且c,d足够小.x1x2为c,d中的任意两点,令x0x1x2,将f(x)在x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有2f(x0)(xx0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)o((xx0)2).（1）2!将x1,x2分别代入（1）式中,得到f(x1)f(x0)f(x0)(x1x0)f(x0)(x1x0)2o((x1x0)2),（2）2!f(x2)f(x0)f(x0)(x2x0)f(x0)(x2x0)2o((x2x0)2).（3）（2）加（3）,得到2!f(x1)f(x2)2f(x0)f(x0)(x1x0)f(x0)(x2x0)f(x0)(x1x0)2o((x1x0)2)f(x0)(x2x0)2o((x2x0)2).2!2!因为函数f(x)泰勒公式中的佩亚诺型余项为(xx0)2的高阶无穷小量,而x1,x2又足够小,因此可以得到f(x0)(xx0)2o((xx0)2)的符号与f(x0)相同.另一方面,又因为x0x1x2,2!2所以f(x0)(x1x0)f(x0)(x2x0)0,从而有6天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用f(x1)f(x2)2f(x0)f(x0)(x1x0)2(x2x0)2o((x1x0)2)o((x2x0)2)0.2!即f(x1)f(x2)2f(x0)0,故f(x0)f(x1x2)f(x1)f(x2).由x1,x2的任意性可得,22上是凸函数.再由c,d的任意性可f(x)在足够小的区间c,d得f(x)在a,b内任意一个足够小的区间内部都是凸函数,从而f(x)在a,b内是凸函数.本题的关键在于利用泰勒展开式的余项建立了三个等式，进而进行推理证明。例6如果f(x)在某Ux0,内n阶可导,满足fx0fx0...fn1x00,并且n0n2.证明:若n为奇数,则x0,fx0为拐点;若n为偶数,则x0,fx0不是拐fx0点.证明:将导函数fx在点x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有f(n)(x)(xx)n2n2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)00o((xx0))(n2)!由于f(x0)f(x0)f(n1)(x0)0,代入上式中有f(x)f(n)(x0)(xx0)n2o((xx0)n2).(n2)!又因为泰勒展开式的余项为(xx0)n2的高阶无穷小,所以在Ux0,内有f(x)与f(n)(x0)(xx0)n2的两边,fnx0xx0n2同号.从而可以得到当n为奇数时,在点x0异号(n2)!n2!所以fx的符号相异,从而00为拐点.当n为偶数时,在点x0的两边fx的符x,fx号相同,所以x0,f x0 不是拐点.3.1.3 判别广义积分收敛性在判定广义积分的收敛性时通常用dx作为比较对象,从而利用比较判别法的极1xp限形式判别无穷积分f(x)dx的收敛性.于是判定广义积分的收敛性问题也就变成如0何选取恰当的p以便更好地应用比较判别法.我们可以通过带佩亚诺型余项的泰勒公式来研究f(x)的阶,从而找到恰当的p顺利解决问题.例6研究广义积分(x1x12x)dx的敛散性.5解:x1x12xx(11112),分别将11,11在x0处按带佩xxxx亚诺型余项的泰勒公式展开 ,可以得到7天津师范大学数学科学学院泰勒展开式中余项的应用1111(11)11,11111(11)1112x22x2o(2)x2x22x2o(x2),x2!x2!代入被积函数中,有1111x1x12xx112(21)1o(1)112(21)11)211)2x2!222x2!x2o(23o(3xxx4x2x2x1x12x13o(13)1因此lim4x2x21.又因为积分53dx收敛,由比较判别法知x114x2334x24x2原广义积分也收敛.例7讨论无穷积分111)dx的敛散性.(exxa解:110处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得将被积函数f(x)ex1在xx1111111111xf(x)ex11x2x2o(x2)x12x2o(x2).111)11f(x)2o(21,因为limlim2xx而p21,所以由无穷积分敛散性判别定选取px2xp12xxx2x11理得知 (ex 1)dx收敛.x例8判断广义积分 1 xsinx dx是否收敛？arctanxx解:由函数f(x)在x0处的带佩亚诺型余项的泰勒公式,有f(x)f(0)f(0)xf(0)2f(n)(0)xnn).xn!o(x2!于是可以得到sinxx1x3o(x4),arctanxx1x31x5o(x6).3!35代入积分表达式中并整理,有xsinxx(x1x3o(x4))1x23)(13o(x2).f(x)13!(1o(x2))(o(x2))arctanxx3156))x3!xx(xxxo(x35由于limf(x)1,所以f(x)是的1(x0)一阶无穷大量,而11dx发散,故由比较判别法x03x0xxxsinx知原积分1dx也发散.0arctanxx8天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用3.1.4 判别级数敛散性泰勒展开式能将某些函数近似地表示为简单的多项式函数 ,这种化繁为简的功能使得在级数的通项表达式是由不同类型函数构成的繁琐形式时,可以进行简化或转换成统一形式,以便于利用判别准则判断级数敛散性.例9讨论级数(1lnn1)的敛散性.n1nn分析:首先需要判断级数是否为正项级数,但直接根据级数的通项去判断存在一定的困难,也就难以选择恰当的判别方法.而对于lnn1ln(11),若令x1,不妨考虑nnn将ln(1 x)进行泰勒展开,就得到1n过程.

的方幂形式.开二次方之后与 1 相呼应,会简化判别n解:不妨设f(x)ln(1x),将f(x)在x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,有ln(1x)xx2x3(1)n1xno(xn).23n令x1,代入上式,nlnn1ln(11)1121314<1.nnn2n3n4nn在不等式两边同时开二次方,得到lnn11,从而有un1lnn10.故该级数是nnnnn1111o(1)11111211正项级数.因为lnnn2n23n3n3nn23(2n32)n2n32,所4nn以un1n1111)1.由于级数1lnn(n2n322n32n12n32nn

收敛,由正项级数比较判别法知原级数收敛.例10判断级数(1ln(11))的敛散性.n14nn解:将函数ln(1x),(1x)分别在x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得到ln(1x)xx2o(x2),(1x)1xo(x).2代入原级数中并整理,有1111111)212anln(1)(o(()2)4nn4nn2!nn11(111o(1)21)11o(1)4n4n2!nn4nnliman1an114,由比较原则的极限形式知,级数和级数因此有nn1同敛散性.又因为nn1n正项级数1发散,所以原级数(1ln(11))发散.n1n4nnn19天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用例11设偶函数f(x)二阶导数f(x)在点x0邻域内连续,且满足f(0)1,f(0)2,则级数f(1)1绝对收敛.n1n分析:题中已知条件“f(x)二阶导数f(x)在点x0邻域内连续”这一信息提示可使用泰勒公式,而f(0)1,f(0)2可以使f(x)在x0点的展开式变得简单,便于用比较判别法判别收敛.但是泰勒公式中缺少f(0)的值,不妨考虑剩余的条件“偶函数f(x)”.证明:因为f(x)是偶函数,由偶函数的性质有f(x)f(x),在等式两边同时对x求导,得(1)f(x)f(x).令x0,则有(1)f(0)f(0),故而f(0)0.将f(x)在x0处按带佩亚诺型余项的泰勒公式展开,得f(x)f(0)f(0)xf(0)22222xo(x)1xo(x).令x1111o(1时取极限,有n,代入上式中,得到f()n2n2).等式两边同时在nn1)11f(o(n2))1.limnlim(1n1n1n2n2由比较原则的极限形式知,级数12与级数f(1)1同敛散.又因为级数12收敛,n1nn1nn1n所以级数f(1)1收敛,从而级数f(1)1绝对收敛.n1nn1n3.2拉格朗日型余项的应用佩亚诺型余项只是对余项的定性估计,而拉格朗日型余项则是对余项的定量表达,因此它在证明等式和不等式,精确估计方面有重要作用.3.2.1 一些等式或不等式的应用泰勒公式在等式或不等式证明中有着重要的应用 ,应用的关键在于根据题设条件如何选取需要展开的函数、在哪一点的邻域展开以及展开的阶数等 .例12设函数f(x)在a,b上连续,且在(a,b)内二阶连续可导,试证明必(a,b)使得f(b)2f(ab)f(a)(ba)2f().24分析:题中已知条件告知f(x)二阶连续可导而且等式中出现二阶导数f(),高阶导数的存在提示我们使用展开到二阶导数的泰勒公式是一种可行途径,问题在于如何选取适当的展开点并建立等式.而待证的等式中出现了f(x)在点a,b,ab的函数值,2不妨考虑将f(x)在点x0ab处进行泰勒展开,再分别令xaxb进而找出f(ab)与2210天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用f(a)f(b)的关系.解:把f(b),f(a)在点x0ab按带泰勒公式展开到二阶导数项,得2f(b)f(ab)f(ab)baf(1)(ba)2,ab1b,（1）2222!22f(a)f(ab)f(ab)abf(2)(ba)2,a2ab.（2）2222!22（1）加（2）并移项整理,有abf(a)f(1)f(2)(ba)2（3）f(b)2f(2)24.另一方面,因为f(x)在(a,b)内二阶连续可导,所以二阶导函数f(x)在闭区间1,2内连续,故由最大最小值定理知,导函数f(x)在1,2上有最大值和最小值,即存在m、M使得mf(x)M,f(1)f(2)(a,b),使从而有m2M.由介值性定理知至少存在一点得f()f(1)f(2),代入（3）式中就证得2f(b)abf(a)(ba)2).2f(2)f(4例13设函数f(x)在区间a,b上二次可导,且满足f(a)f(b)0,则必(a,b)使得f()4f(b)f(a).(ba)2证明:将f(x)在点xa,xb处分别按泰勒公式展开,得f(x)f(a)f(a)(xa)f(1)(xa)2,f(x)f(b)f(b)(xb)f(2)(xb)2,22其中1介于a与x之间,2介于x与b之间.令xab代入上面两式,有2f(1)(bf(2)(ab)2.f(ab)f(a)a)2,f(a2b)f(b)22222两式相减并整理,得f(a)f(b)(ab)2(1)f(2).8f不妨令f()maxf(1),f(2),(a,b),于是有f(a)f(b)(ab)2f(1)f(2)(ab)2).882f(这样就证得4f(a).f()(ba)2f(b)总结:利用泰勒公式证明等式和不等式主要有两个步骤：（1）构造函数,选取展开点,写出函数在展开点处的泰勒公式.那么如何选取适当的展开点呢？在一个区间中常常有一些特殊点体现了函数图像的性质 ,如：端点、分点、零点、驻点、极值点、最值点、拐点 ,此外题中出现的点也应该注意 .运用泰勒公式实质上就是选择导数信息较为充分的点作为展开点 ,将函数展成比最高阶导数低一阶的泰11天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用勒公式.（2）根据所给的最高阶导数的大小、函数的界或三角不等式等,结合题干中的已知条件对余项进行放缩.例14设函数f(x)在区间0,1上有连续的二阶导数,且满足f(0)f(1)0,试证明积分等式1f(x)dxf(0)f(1)f(),其中(0,1).026分析:题中已知条件“f(x)具有连续的二阶导数”提示可应用泰勒公式加以证明.由于题目中要证的等式右边出现f(),不妨考虑将构造函数F(x)1f(x)dx,并将其按0带拉格朗日型余项的二阶泰勒公式进行展开.为便于运用已知条件中的f(0)f(1)0,可以考虑将x作为展开点,再分别令x0,x1从而引出f(0),f(1)使问题顺利解决.证明:x0,1,不妨设F(x)x0.将函数F(x)对x求导可以f(t)dt，则显然有F(0)0得到,F(x)f(x),F(x)f(x),F(x)f(x).把F(u)在ux(0u1)处进行二阶泰勒展开,有F(u)F(x)f(x)(ux)1f(x)(ux)21f()(ux)3,（1）23!其中介于x与u之间.分别令u1,u0代入（1）式中并将所得两式相减,有1f(t)dtf(x)1(12x)f(x)1f(1)(1x)3f(2)x3.（2）F(1)F(0)023!其中1介于x与1之间,2介于0与x之间.再在（2）式右边分别令x1,x0.将所得两式相加,得到111111).2f(t)dtf(1)f(0)f(1)f(0)f(2)f(0223!3!因为f(1)f(0)0,故而11.设m(1),f(2),2f(t)dtf(1)f(0)f(1)f(2)minf03!Mmaxf(1),f(2),则mf(1)f(2)M.又因为f(x)在0,1上连续,由介值定理2知存在(0,1),使得f()f(1)f(2),于是21f(1)f(0)1f().这样就证得f(x)dx2031f),其中(0,1).f(x)dxf(1)f(0)(1026由上例可知,在已知被积函数 f(x)具有二阶或二阶以上连续导数时证明定积分等式,一般先构造辅助函数 F(x)

x

f(t)dt.再将函数F(x)在所需点（一般是根据右边的表012天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用达式确定展开点）进行泰勒展开,然后对泰勒余项做适当处理（利用介值定理或最大值最小值定理）.例15设f(x)在a,b上二阶导函数连续,且f(x)0,则bf(x)dx(ba)f(ab).a2分析:需要证明的不等式左边含有积分号,而右边则可改写为bb)dx,则问题f(aa2转化为证明积分不等式bf(x)dxbf(ab),所以af(ab)dx.又因为涉及到二阶导函数及a22考虑在点xab处使用泰勒公式.另外,存在一个十分便利的隐含条件bb)dx0,(xa2a2这意味着若对泰勒公式两边同时积分,则泰勒公式中含有一阶导数的项可以消去.证明:将f(x)在xab处按泰勒公式展开,得2f(x)f(ab)f(ab)(xab)f()(xab)2,其中介于x与ab之间.222222因为f(x)0,所以f(x)f(ab)f(ab)(xab).222不等式的两边同时在a,b上取定积分,有bf(x)dxbab)dxbab)(xababa)0.aaf(f()dxf()(b2a222于是就证得bf(x)dx(ba)f(ab).a23.2.3证明根的唯一存在性例16设函数f(x)在1,上处处有f(x)0,且满足f(1)2,f(1).试证明方程3f(x)0在(1,)内有且仅有一个实根.分析:这里f(x)是抽象函数,直接讨论方程f(x)0的根存在一定的困难.由题中已知条件f(x)在区间1,上二阶可导,而且f(1)0,f(1)0,不妨考虑将函数f(x)在点xa处展开为一阶的泰勒公式,再根据f(x)0对泰勒公式进行放缩,消去余项.然后设法应用介值定理进行证明.证明:将f(x)在x1处按泰勒公式展开并整理,有f(x)f(1)f(1)(x1)f()(x1)2f(1)f(1)(x1)23(x1)53x52令53x0,故当x时,不妨取x2,f(2)10,那么f(1)f(2),0由零点定理知,30,即方程f(x)0至少有一个实根.(1,2)使得f()另一方面,由于f(x)0,因此导函数f(x)是单调减少的,所以当x1时必有f(x)f(1)3,0故f(x)在1,上是严格递减的.13天津师范大学数学科学学院 泰勒展开式中余项的应用这就说明方程 f(x) 0在(1, )内有且仅有一个实根 .3.2.4 近似计算与误差估计泰勒展开式是“函数逼近”思想的一个重要应用,在数值计算中不仅能用于近似计算和误差分析,而且能够判定迭代法的收敛速度,导出Euler法和Newton迭代法及误差分析等.本文仅简单介绍泰勒展开式在近似计算与误差估计中的应用.利用带拉格朗日