山西省忻州市秦城中学2022年高一数学理联考试卷含解析

山西省忻州市秦城中学2022年高一数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义，若，则N－M等于（

）

A．M

B．N

C．{1，4，5}

D．{6}参考答案：D2.若不等式（﹣1）na＜2+对于任意正整数n都成立，则实数a的取值范围是（）A． B． C．[﹣3，2] D．（﹣3，1）参考答案：A【考点】函数恒成立问题．【分析】要使不等式对于任意正整数n恒成立，讨论n为奇数和偶数，令f（n）=（﹣1）n?a﹣，求得最大值，由最大值小于2，列出不等式求出a的范围即可．【解答】解：由不等式得：（﹣1）n?a﹣＜2，令f（n）=（﹣1）n?a﹣，当n取奇数时，f（n）=﹣a﹣；当n取偶数时，f（n）=a+．所以f（n）只有两个值，当﹣a﹣＜a+时，f（n）max=a+，即a+＜2，得到a＜；当﹣a﹣≥a+时，即﹣a﹣＜2，得a≥﹣2，所以a的取值范围为﹣2≤a＜．故选：A．3.已知α是第二象限角，=（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A. B.△ABC是钝角三角形C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若，则△ABC外接圆半径为参考答案：ACD【分析】由已知可设，求得，利用正弦定理可得A正确；利用余弦定理可得，三角形中的最大角为锐角，可得B错误；利用余弦定理可得，利用二倍角的余弦公式可得：，即可判断C正确，利用正弦定理即可判断D正确；问题得解.【详解】因为所以可设：（其中），解得：所以，所以A正确；由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为锐角，所以B错误；由上可知：边最小，所以三角形中角最小，又，所以,所以由三角形中角最大且角为锐角可得：，所以，所以C正确；由正弦定理得：，又所以，解得：，所以D正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，还考查了二倍角的余弦公式及计算能力，考查方程思想及转化能力，属于中档题。5.今有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则最佳体现这些数据关系的函数模型是（

）A.

B.C.

D.参考答案：C6.函数的部分图象是下图中的（）参考答案：D7.下列对应是从集合A到集合B的映射的是 （

）A．A=R，B={x|x＞0}，x∈A，f：x→|x|B．A=N，B=N＋，x∈A，f：x→|x－1|C．A={x|x＞0且x∈R}，B=R，x∈A，f：x→x2D．A=Q，B=Q，f：x→参考答案：C略8.若函数的定义域是，则函数的定义域是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.若存在非零的实数a，使得f（x）=f（a﹣x）对定义域上任意的x恒成立，则函数f（x）可能是（）A．f（x）=x2﹣2x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=2x+1参考答案：A【考点】二次函数的性质．【分析】利用已知条件判断函数有对称轴，集合a不为0，推出选项即可．【解答】解：存在非零的实数a，使得f（x）=f（a﹣x）对定义域上任意的x恒成立，可得函数的对称轴为：x=≠0．显然f（x）=x2﹣2x+1，满足题意；f（x）=x2﹣1；f（x）=2x，f（x）=2x+1不满足题意，故选：A．【点评】本题考查基本函数的简单性质的应用，考查计算与判断能力．10.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为

（

）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A、（1）（2）（4）

B、（4）（2）（3）

C、（4）（1）（3）

D、（4）（1）（2）参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1~5号，并按编号顺序平均分成10组（1~5号，6~10号，…，46~50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______．参考答案：33试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是5，∵第三组抽取的是13号，∴第七组抽取的为．考点：系统抽样12.若集合，，则_____________参考答案：略13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为（单位：吨）。根据图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果为

.参考答案：略14.函数的单调递增区间为___________．参考答案：画出函数的图象，结合图象可得函数的单调递增区间为。答案：

15.数列{an}前n项和为Sn=n2+3n，则{an}的通项等于

．参考答案：an=2n+2【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】利用公式可求出数列{an}的通项an．【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3=4，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+3n）﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）]=2n+2，当n=1时，2n+2=4=a1，适合上式∴an=2n+2．故答案为2n+2，（n∈N*）16.设函数的定义域为D,若存在非零实数t,使得对于任意有

且,则称在M上的t给力函数,若定义域为的函数为上的m给力函数,则m的取值范围为

.参考答案：略17.已知实数a＞0，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上最大值和最小值之差为|a2﹣a|+1，则实数a的值为．参考答案：2或【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用．【分析】分类讨论以确定函数的单调性及最值，从而建立方程，从而解得．【解答】解：若0＜a＜1，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上是减函数，故fmin（x）=f（2）=a2+loga2，fmax（x）=f（1）=a，故fmax（x）﹣fmin（x）=a﹣（a2+loga2）=|a2﹣a|+1，解得，a=；若a＞1，函数f（x）=ax+logax在[1，2]上是增函数，故fmax（x）=f（2）=a2+loga2，fmin（x）=f（1）=a，故fmax（x）﹣fmin（x）=（a2+loga2）﹣a=|a2﹣a|+1，解得，a=2；故答案为：2或．【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及基本初等函数的单调性的判断与应用．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）已知点A（﹣1，0），B（0，1），点P（x，y）为直线y=x﹣1上的一个动点．（1）求证：∠APB恒为锐角；（2）若||=||，求向量+的坐标．参考答案：考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．分析： （1）设出P的坐标，求出向量PA，PB的坐标，运用向量为锐角的条件，计算数量积，即可得证；（2）运用向量模的公式，计算求出x，再由向量的加减坐标运算即可得到．解答： （1）证明：点P（x，y）在直线y=x﹣1上，即点P（x，x﹣1），即，即有，则，若A，P，B三点在一条直线上，则∥，得到（x+1）（x﹣2）﹣（x﹣1）x=0，方程无解，则∠APB≠0，则有∠APB恒为锐角．（2）由|AP|=|BP|，即，即，化简得到2x﹣1=0，即，则，．点评： 本题考查向量的共线的坐标表示，以及向量的夹角为锐角的条件，考查向量模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．19.已知数列{an}中，，前n项和为Sn，且（1）求，和{an}的通项公式;（2）设，试问是否存在正整数其中，使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组：若不存在，说明理由.参考答案：（1），；（2）【分析】(1)由题意得得作差，即可证明数列为等差数列，进而求出通项;(2)由lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，可得，进而求出答案.【详解】(1)

令n=1，则a1=S1==0,a3=2,由，即,①

得

,②②－①，得

．③

于是，．④③+④，得，即．又，

所以，数列{}是以0为首项，1为公差等差数列．所以，=n－1．

(2)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，,所以，(☆)．易知(p，q)=(2，3)为方程(☆)的一组解,当p≥3，且p∈N*时，<0，故数列{}(p≥3)为递减数列,于是≤<0，所以此时方程(☆)无正整数解．综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比数列．【点睛】解决的关键是根据等差数列和等比数列的性质以及定义来求解运用,属于基础题。

20.设△ABC内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c.已知.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求的最大值.参考答案：解：（Ⅰ）由已知得，整理得.所以由余弦定理得，即.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，即，其中且.因为，所以的最大值是.

21.(本小题满分6分)求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程的一般式.参考答案：解．由解得，则两直线的交点为………2分直线的斜率为，则所求的直线的斜率为……………4分故所求的直线为

即………………6分22.已知=（cos，sin），，且（I）求的最值；（II）是否存在k的值使？参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）由数量积的定义可得=cosθ﹣，下面换元后由函数的最值可得；（II）假设存在k的值满足题设，