湖南省常德市石门县新铺乡中学2021年高三数学文期末试题含解析

湖南省常德市石门县新铺乡中学2021年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知函数的图象（部分）如图所示，则的解析式是（

）A.

B.C.D.参考答案：A3.函数的最小正周期为，且．当时，，那么在区间上，函数的图像与函数的图像的交点个数是

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.已知函数的定义域是[0,2]，则函数的定义域是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C由题意得，选C.

5.若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（

）

A．［0，5］

B．［1，8］

C．［0，8］

D．［1，+∞）参考答案：C略6.方程表示（

）（A）两条直线 （B）两条射线 （C）两条线段 （D）一条射线和一条线段参考答案：C略7.设f(x)＝，则不等式f(x)＜2的解集为(

)A．(，＋∞)

B．(－∞，1)∪[2，)C．(1,2]∪(，＋∞)

D．(1，)参考答案：B略8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．32 C．48 D．144参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积V=××6×6=48．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．9.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是(

)

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．等边三角形参考答案：A由得，，所以，所以,即三角形为钝角三角形，选A.10.已知数列的前n项和为，且，则A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（文）一个正三棱柱的底面的边长为6，侧棱长为4，则这个棱柱的表面积为___________．参考答案：12.若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，3）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．13.已知一个半径为1m的半圆形工件,未搬动前如图所示(直径平行于地面放置),搬动时为了保护圆弧部分不受损伤,先将半圆作如图所示的无滑动翻转,使它的直径紧贴地面,再将它沿地面平移40m,则圆心O所经过的路线长是_______m.参考答案：略14.设函数,则＿＿＿参考答案：15.已知,且,则的最小值为_____________.参考答案：16.设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．参考答案：[﹣1，2]【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故答案为：[﹣1，2]．17.已知{an}是正项等差数列，数列{}的前n项和Sn=，若bn=（﹣1）n?an2，则数列{bn}的前n项和T2n=．参考答案：2n2+3n【考点】数列的求和．【分析】设正项等差数列{an}的公差为d＞0，由数列{}的前n项和Sn=，可得=，+=，解得a1，d．可得an．可得b2n﹣1+b2n，即可得出．【解答】解：设正项等差数列{an}的公差为d＞0，∵数列{}的前n项和Sn=，∴=，+=，解得a1=2，d=1．∴an=2+（n﹣1）=n+1．∴bn=（﹣1）n?an2=（﹣1）n（n+1）2，b2n﹣1+b2n=﹣（2n）2+（2n+1）2=4n+1．则数列{bn}的前n项和T2n==2n2+3n．故答案为：2n2+3n．【点评】本题考查了分组求和、等差数列的求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）已知数列为等差数列，且

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：参考答案：（1）解：设等差数列的公差为d.

由即d=1.所以即

………6分（2）证明：，

………12分19.某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）．当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？参考答案：【考点】函数最值的应用．【专题】应用题；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（Ⅱ）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）∵每件商品售价为0.05万元，∴x千件商品销售额为0.05×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，L（x）=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，①当0＜x＜80时，L（x）=+40x﹣250=﹣，∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．20.某城市美团外卖配送员底薪是每月1800元，设每月配送单数为X，若，每单提成3元，若，每单提成4元，若，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2100元，设每月配送单数为Y,若，每单提成3元，若，每单提成4元，小想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2019年4月份（30天）的送餐量数据，如下表：表1：美团外卖配送员甲送餐量统计日送餐量x（单）131416171820天数2612622

表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计日送餐量x（单）111314151618天数4512351

（1）设美团外卖配送员月工资为，饿了么外卖配送员月工资为，当时，比较与的大小关系（2）将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率（ⅰ）计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望E（X）和E（Y）（ⅱ）请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．参考答案：（1）见解析；（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）见解析【分析】（1）由∈（300，600]，得，由此通过作差能比较当时，与的大小关系．（2）（ⅰ）求出送餐量x的分布列和送餐量y的分布列，由此能求出外卖配送员甲和乙每日送餐量的数学期望和．（ⅱ），美团外卖配送员，估计月薪平均为元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为元＞3720元，由此求出小王应选择做饿了么外卖配送员．【详解】（1）因为，所以，当∈（300，400]时，，当∈（400，600]时，，故当∈（300，400]时，当∈（400，600]时，．（2）（ⅰ）送餐量的分布列为X131416171820P

送餐量的分布列为Y111314151618P

则，．（ⅱ），美团外卖配送员，估计月薪平均元，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为元＞3720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员．21.已知函数，当时，有极大值3；（1）求a，b的值；（2）求函数f(x)的极小值及单调区间.参考答案：（1）；（2）极小值为0，递减区间为：，递增区间为(0,1).【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.22.已知函数f（x）=sin（ωx）﹣2sin2+m（ω＞0）的最小正周期为3π，当x∈[0，π]时，函数f（x）的最小值为0．（1）求函数f（x）的表达式；（2）在△ABC中，若f（C）=1，且2sin2B=cosB+cos（A﹣C），求sinA的值．参考答案：【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）根据二倍角公式和辅角