辽宁省辽阳市灯塔第二高级中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

辽宁省辽阳市灯塔第二高级中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.集合，则A∪B=（

）A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.[－2,+∞)参考答案：D【分析】根据题意先求出集合A和集合B，再求A∪B【详解】由|x﹣1|≤3得到﹣2≤x≤4，即A＝[﹣2，4]，由2x+1≥4＝22得到x≥1，即B＝[1，+∞），则A∪B＝[﹣2，+∞），故选：D．【点睛】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答2.的定义域为

（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C10.如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线，之间//,与半圆相交于F,G两点，与三角形ABC两边相交于Ｅ，Ｄ两点，设弧的长为，，若从平行移动到，则函数的图像大致是参考答案：D4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探求球体体积时构造的一个封闭几何体，它由两个等径正贯的圆柱体的侧面围成，其直视图如图（其中四边形是为体现直观性而作的辅助线）.当“牟合方盖”的正视图和侧视图完全相同时，其俯视图为（

）A.

B. C. D.参考答案：B∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．∴其正视图和侧视图是一个圆，俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，∴俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选：B．

5.已知集合A={x|x+2＞0}，B={x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B=（）A．[﹣3，﹣2） B．[﹣3，﹣1] C．（﹣2，1] D．[﹣2，1]参考答案：C【考点】1E：交集及其运算．【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}，B={x|x2+2x﹣3≤0}={x|﹣3≤x≤1}，则A∩B={x|﹣2＜x≤1}=（﹣2，1]．故选：C．6.在一次数学考试中，随机抽取100名同学的成绩作为一个样本，其成绩的分布情况如下：

则该样本中成绩在内的频率为

A．

B．

C．

D．参考答案：C7.在同一直角坐标系下作的图象，有下面四种判断：①两支图象可能无公共点。②若两支图象有公共点，则公共点一定在直线y=x上③若两支图象有公共点，则公共点个数可能1个，不可能2个④若两支图象有公共点，则公共点个数最多可能有3个。以上这四种判断中，错误的判断共有______个A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B8.函数的零点个数为（A）0（B）1（C）2（D）3参考答案：B的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B。9.为平行四边形的一条对角线，（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D因为所以，即，选D.10.已知a＞0，且a≠1，则函数的零点个数为(

)

A.1 B.2 C.3 D.与a有关参考答案：【知识点】函数的零点；指数函数、二次函数

B5

B6

B9【答案解析】B解析：由，得，设，这是一个指数函数，，这是一个二次函数，其对称轴为，开口向下，最大值为，与轴交点的纵坐标为，当时，作出两个函数的图像（如图中的红线部分），显然此时两个函数的图像有两个交点，即函数有两个零点；当时，作出两个函数的图像（如图中的黑线部分），显然此时两个函数的图像也有两个交点，即函数有两个零点；综上，函数恒有两个零点，故选：B【思路点拨】把函数的零点转化成两个简单函数的交点，在同一个坐标系内作出两个函数的图像，利用数形结合法观察两个函数交点的情况即可。因为的值不定，故要分类讨论。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某社区有个家庭，其中高收入家庭户，中等收入家庭户，低收入家庭户，为了调查购买力的某项指标，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则中等收入家庭应抽取的户数是

.参考答案：48略12.已知函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥3【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据函数f（x）=﹣x3+ax在区间（﹣1，1）上是增函数，转化成f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，然后利用参数分离法将a分离得a≥3x2，使x∈（﹣1，1）恒成立即可求出a的范围．【解答】解：由题意应有f′（x）=﹣3x2+a≥0，在区间（﹣1，1）上恒成立，则a≥3x2，x∈（﹣1，1）恒成立，故a≥3．故答案为：a≥3．13.在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，则公差d=

．参考答案：3【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an}中，a5=10，a12=31，∴公差d====3．故答案为：3．14.如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．参考答案：5【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，代入正整数n验证可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求满足2n＞20的最小的正整数n的值，∵24=16＜20，25=32＞20，∴输出n=5．故答案为：5．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．15.已知实数x，y满足不等式组且的最大值为_____．参考答案：3【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得的最大值．【详解】不等组对应的可行域如图所示，当动直线过是有最大值，由得，故，此时，填3．【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．16.已知，，，且向量，的夹角是60°，则m=

．参考答案：设，由，可得，，又向量，的夹角是，∴，解得：∴，即故答案为：

17.若圆，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）向圆所作的切线长的最小值为

.参考答案：,圆心坐标为，代入直线得：，即点在直线:，过作的垂线，垂足设为，则过作圆的切线，切点设为，则切线长最短，于是有，，∴由勾股定理得：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列中，（Ⅰ）求;（Ⅱ）猜想的表达式并给出证明；（Ⅲ）记证明：．参考答案：（I）….3分（注：每对一个给1分）

（II）猜想….5分证：①时，成立，成立；………….6分②不妨设时成立，即，下证时成立，即证由题意，，，即时成立………………….10分(III).….13分….15分19.（本小题满分14分）已知向量，其中．（1）若，求的值；（2）设函数，求的值域．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3【答案解析】（1）（2）（1）因为，所以所以即,因为，所以

（2）因为，（所以当即时，当即时，,所以的值域为。

【思路点拨】先利用向量的关系化简求出x值，再根据单调性最值。20.已知数列{an}是递增的等差数列，，且是与27的等比中项．（1）求an；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：（1）；（2）．（1）设的公差为，且，据题意则有，即，∵，解得，∴．（2），前项和．21.在直角坐标系xoy中，曲线M的参数方程为（为参数，），曲线N的参数方程为（t为参数，且）．（1）以曲线N上的点与原点O连线的斜率k为参数，写出曲线N的参数方程；（2）若曲线M与N的两个交点为A，B，直线OA与直线OB的斜率之积为，求r的值．参考答案：（1）将消去参数，得（未写扣一分），由得（为参数，且）．（2）曲线的普通方程为，将代入并整理得：；因为直线与直线的斜率之积为，所以，解得，又，，将代入，得：，故．22.(本题14分)设函数有两个极值点,且.

(1)求实数的取值范围；

(2)讨论函数的单调性；

(3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.参考答案：解:(1)由可得.

令,则其对称轴为,故由题意可知是方程的两个均大于的不相等的实数根,其充要条件为,解得.……5分

(2)由(1)可知,其中,故

①当时,,即在区间上单调递增；

②当时,,即在区间上单调