人工智能（AI）-13-14章作业参考答案

不确定知识处理

13.1根据基本原理证明：P(a|ba)1。

参考解答：此处"基本原理"是指条件概率的定义，P(X|Y)P(XY)/P(Y)，以及逻辑"与"的定义。

因此认为给定了BA成立，则A必定为真是不足以完成证明的。应从上述两个定义出发，由

AAA，且满足交换律和结合率，则有：

P(A|BA)P(A(BA))P(BA)1

P(BA)

P(BA)

得证。

13.6给定如图13.3所示的全联合分布，计算下列式子：

toothocahce

catch

catch

toothocahce

catch

catch

0.072

0.144

0.008

0.576

cavity

cavity

a.P(toothache)

b.P(Cavity)

0.108

0.016

0.012

0.064

c.P(Toothache|Cavity)

d.P(Cavity|toothachecatch)

参考解答：本习题的主要目的在于熟练掌握一个基本的机理，即任何对该领域内的问题的答案都可以通

过全联合概率分布的某些项相加得到。此外，通过练习可以理解变量符号P和P(即课本中的粗体P)、

大写和小写开头(如Cavity和cavity)的具体含义和区别。

a.即询问Toothocahce为真的概率.

P(toothache)0.1080.0120.0160.0640.2

b.

即询问随即变量Cavity的概率值向量(即该随即变量取不同的值的概率)。对于Cavity，有两个

值，按照true,false的顺序给出。通过以下4项相加得到0.1080.0120.0720.0080.2，因此

有：

P(Cavity)0.2,0.8

c.即询问在给定Cavity为真的条件下，Toothache的概率值向量。

P(Toothache|cavity)(0.1080.012)/0.2,(0.0720.008)/0.20.6,0.4

d.即问在给定Toothache或Catch为真的条件下，Cavity的概率值向量。首先计算

P(toothcahecatch)0.1080.0120.0160.0640.0720.1440.416

然后计算

P(Cavity|toothachecatch)

(0.1080.0120.072)/0.416,(0.0160.0640.144)/0.416

0.4615,0.5384

13.7证明公式(13.8)中的独立性的3种形式是等价的，即两个命题b和a之间的独立性可以写作：

P(a|b)P(a)或者P(b|a)P(b)或者P(ab)P(a)P(b)

参考解答：由第1个式子P(a|b)P(a)，两边乘上P(b)得

P(a|b)P(b)P(a)P(b)

由乘法法则有P(a|b)P(b)P(ab)

因此可得第3个式子P(ab)P(a)P(b)

所以第1个式子蕴涵第3个式子；

通过和上述过程相反的处理，同样是应用乘法法则，在第3式两边同除以P(b)，即可证明当

P(b)不为零时，有第3式蕴涵第1式（而当P(b)为零时，条件概率无定义）。

所以得证第1式与第3式等价。

同理按照以上方法，在过程中以P(a)代替P(b)，即可证明第2式和第3式等价。

因此，得证三个式子等价。

13.8在一年一度的体检之后，医生告诉你一个好消息和坏消息。坏消息是你在一种严重疾病的测试结

果呈阳性，而这个测试的准确率为99%(即当确实患这种病时，测试结果呈阳性的概率为0.99，同时也

是未患这种疾病时测试结果为阴性的概率)。好消息是，这是一种很罕见的病，在你这个年龄段大约

10000人中才有1例。为什么"这种病很罕见"对于你而言是一个好消息？你确实患有这种病的概率

是多少？

参考解答：由题意我们得到以下信息

P(test|disease)0.99

P(test|disease)0.99

P(disease)0.0001

以及观察test。病人所关心的是P(disease|test)，即测试结果为阳性，患病的概率多大？大概来

说，这种病很罕见"是一个好消息，原因在于P(disease|test)与P(disease)是成比例的，因此

"

disease低的先验概率将意味着P(disease|test)有个很低的值。大约来看，如果10,000人进行测试，

将会有1人确实患有该疾病，而且极有可能其测试为阳性，然而在其余没有患病的人里面，却会有

1%（大约100人）的测试结果为阳性，因此P(disease|test)将大约为1/100。精确的计算，依据贝叶斯定

理有：

P(disease|test)

P(test|disease)P(disease)

P(test|disease)P(disease)P(test|disease)P(disease)

0.990.0001

0.990.00010.010.9999

0.009804

其中的意义在于，当一种疾病很罕见，其概率远小于测试准确率时，则测试结果呈阳性并不意味着

得病的可能性。对测试阳性的错误解读会认为得病的可能性很大，其实不然。

和以上思路类似的有另外一个例子：医生说当一个婴儿仰卧着的时候，如果它的头更多转向右侧，

则是习惯用右手；如果更多时候转向左侧的话，则是一个左撇子。宝宝小明在躺着的时候，小脑袋更多时

候是转向左侧；且已知有90%的人习惯用右手。那么当以上所述的测试准确率为90%的时候，宝宝小明

习惯用右手的概率是多少？如果测试准确率为80%，那它习惯右手的概率又是多少呢？

按照同样的推理过程，可以得到当测试准确率为90%时，宝宝小明习惯用右手的概率为50%；如果

测试准确率为80%的话，它习惯右手的概率为69%。

13.11假设给你一只装有n个无偏差硬币的袋子，并且告诉你其中n1个硬币是正常的，一面是正面

一面是反面。不过剩余1枚硬币是伪造的，它的两面都是正面。

a.假设你把手伸进口袋均匀随即地取出一枚硬币，把它抛出去，并发现硬币落地后正面朝上。那

么你拿到伪币的（条件）概率是多少？

b.假设你不停地抛这枚硬币，拿到它之后一共抛了k次而且看到k次正面朝上。那么现在你拿到

伪币的条件概率是多少？

c.假设你希望通过把取出的硬币抛掷k次的方法来确定它是不是伪造的。如果k次抛掷后都是正

面朝上，那么决策过程返回FAKE（伪造）

，否则返回NORMAL（正常）

。这个过程发生错误的（无

条件）概率是多少？

参考解答：

a.一种典型的"计数"方法为如下的过程：取一个硬币会有n种不同的取法（有多少个硬币就有多少种

取法），一次抛掷有2种结果（尽管对于假币无法区分其抛掷结果的不同），因此共有个2n原子事件。当

然其中只有2次是假币，即有2(n1)次结果为正面。所以在抛掷结果为正面的条件下，假币的概率

P(fake|heads)为2/(2n1)2/(n1)。

上述"计数"的解题方法常常会在事件变得复杂时陷入混乱。所以最好使用以下公式:

P(Fake|heads)P(heads|Fake)P(Fake)

1.0,0.51/n,(n1)/n

1/n,(n1)/2n

2/(n1),(n1)/(n1)

b.

此时有2kn个原子事件，其中2k次取的是假币，及有2k(n1)次抛掷结果为正面。因此在

k次正面的条件下，假币的概率P(fake|headsk)为2k/(2k(n1))。注意当k增加时，结果会向1逼

近。例如kn12时，P(fake|headsk)0.9973。以公式描述如下：

P(Fake|headsk)P(headk|Fake)P(Fake)

1.0,0.5k1/n,(n1)/n

1/n,(n1)/2k

2k/(2kn1),(n1)/(2kn1)

c.过程发生错误当且仅当一枚真币被选中且抛掷k次都为正面。其概率如下：

P(headsk|fake)P(fake)(n1)/2kn

13.15假设你时雅典一次夜间出租车肇事逃逸的交通事故的目击者。雅典所有的出租车都是蓝色或者

绿色的。而你发誓所看见的肇事出租车时蓝色的。大量的实验表明，在昏暗的灯光条件下，对于蓝色

和绿色的区分的可靠度为75%。有可能据此计算出肇事出租车最可能是什么颜色的吗？（提示：请仔

细区分命题"肇事车是蓝色的"和命题"肇事车看起来是蓝色的"

。

现在，如果已经雅典的出租车10辆有9辆是绿色的呢？

参考解答：题意所述问题相关方面可由两个随机变量：令B表示"的士是蓝色的"，LB表示"的士看起来

是蓝色的"。则有关颜色的判断的可靠性有：

P(LB|B)0.75

P(LB|B)0.75

我们是要求出在看起来是蓝色的情况下，的士确实为蓝色的概率：

P(B|LB)P(LB|B)P(B)0.75P(B)

P(B|LB)P(LB|B)P(B)0.25(1P(B))

因此如若没有关于蓝色的士的先验概率的信息，是无法求出上式所述概率。例如，如果知道所有的

士都是蓝色的，即P(B)1，则显然有P(B|LB)1；另一方面，如果在缺乏信息的情况下，往往认为

各种可能是机会均等的，即认为的士为绿色或蓝色的概率是均等的，有P(B)0.5，则

P(B|LB)0.75。通常会知道一些相关的差异信息（例如题目给出绿色和蓝色的士为9:1，即

P(B)0.1），则有：

P(B|LB)0.750.10.075

P(B|LB)0.250.90.225

所以

0.075

0.25

0.0750.225

0.225

P(B|LB)

0.75

0.0750.225

P(B|LB)

13.18文本分类是在文档所包含的文本基础上，把给定的文档分配到固定类别集合中某一个类别。这

个任务常常用到朴素贝叶斯模型。在这些模型中，查询变量是文档类别，结果"变量是语言中每个词

"

是否出现。我们假设文档中的词的出现都是独立的，其出现频率由文档类别确定。

a.准确地解释当给定一组类别已经确定的文档作为"训练数据"时，这样的模型时如何构造的。

b.准确解释如何对新文档进行分类

c.这里独立性假设合理吗？请讨论。

参考解答：本题提出的问题是课本第23章相关内容的一个预览版，不过更直接的说，本题是为了理解掌

握从完整的数据中如何对条件概率进行估计。

a.模型由先验概率P(Category)和条件概率P(Wordi|Category)构成，其中的Wordi为真，当且

仅当所查询的文档包含有词汇表里的第i个单词。对于每一个文档类别c，P(Categoryc)表示基于

文档的部分片段估计其属于文档类别c。类似的，P(Worditrue|Categoryc)表示文档类别属于

c类的，其中包含有单词i。

b.利用朴素贝叶斯模型的条件独立来计算新文档的类别概率分布：

P(Category|word1,wordn)

P(Category,word1,wordn)

P(Category)P(wordi|Category)

i

c.这样的独立性假设其实是完全有违实际的。例如，一个词组"artificialintelligence"其在给定的某个

文档类别中出现的概率其实大于上述模型所得出的两个词"artificial"和"intelligence"的出现概率的乘积。

比如"artificial

intelligence"在计算机学科学术类型的文档中大约100篇会出现5次，即"artificial

intelligence"的概率大约为0.05；而贝叶斯朴素模型给出的概率却是"artificial"的概率0.05和

"intelligence"的概率0.05的乘积，即0.025；所以说基于条件独立性假设的朴素贝叶斯模型给出的估计是

与实际不相符的。这意味着对于词组（单词的组合）来说，其真是的概率大多是比模型给出的估计