2022年天津滨海新区大港第七中学高三数学文测试题含解析

2022年天津滨海新区大港第七中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知（x，y）满足，z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．无法确定参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最大值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数x+ay=0应与直线BC平行；进而计算可得答案．【解答】解：由题意，的可行域如图：z=x+ay，若z取得最大值的最优解有无数个，最优解应在线段BC上取得，故x+ay=0应与直线BC平行∵kBC=1，∴a=﹣1，故选：B．2.角α终边经过点（1，﹣1），则cosα=(

) A．1 B．﹣1 C． D．﹣参考答案：C考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．解答： 解：由于角α终边经过点（1，﹣1），则x=1，y=﹣1，r==，∴cosα==，故选：C．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.设为等差数列，公差d=-2，Sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=（

）A.18

B.22

C.20

D.24参考答案：C4.已知是虚数单位，则（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B5.若变量x，y满足条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=（）A．3 B．﹣3 C．﹣ D．﹣2参考答案：D【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y=﹣6，由，解得A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y=k上，∴k=﹣2，故选：D．6.已知正三角形的边长是3，是上的点，BD=1，则=A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A．+ B．+3 C．+ D．+3参考答案：A【考点】定积分．【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．8.点在内，满足，那么与的面积之比是A.

B.

C.

D.参考答案：B9.若复数z满足，则z的虚部为

A．

B．

C．

D．参考答案：D10.若函数是偶函数，则A.

B.

C.

D.或参考答案：D因为函数为偶函数，所以,所以，,所以，选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm的株数是__________..参考答案：【知识点】用样本估计总体I2【答案解析】7000

由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，

则底部周长大于100cm的段的频率为1-0.3=0.7

那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．

故答案为7000．【思路点拨】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．12.已知，，则

．参考答案：，故答案为：

13.设是的重心，且，则角的大小为

．参考答案：略14.已知向量，向量在向量方向上的投影为，且，则

．参考答案：5设向量与间的夹角为.∵∴∵∴∵向量在向量方向上的投影为∴，即∴∴故答案为.

15.连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），记“两次向上的数字之和等于”为事件，则最大时，

．参考答案：716.将曲线C按伸缩变换公式变换得曲线方程为,则曲线C的方程为__________________。参考答案：17.若存在，则实数的取值范围是_____________．参考答案：(三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（满分14分）已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线相切,（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（Ⅱ）在曲线C上是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.参考答案：解：(1)因为动圆M,过点F且与直线相切,所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.…………2分所以,点M的轨迹是以F为焦点,为准线的抛物线,且,,……4分所以所求的轨迹方程为……………6分

19.编写一个程序，求1!+2!+…+10!的值。参考答案：程序为：s=0i=1j=1WHILEi<=10j=j*is=s+ji=i+1WENDPRINTsEND20.已知数列满足(1)求证:数列的奇数项,偶数项均构成等差数列;(2)求的通项公式;(3)设，求数列的前项和.参考答案：略21.已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用性质P的概念，对数集{1，3，4}与{1，2，3，6}判断即可；（Ⅱ）利用集合A={a1，a2，…，an}具有性质P，可分析得到ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，从而ak=ai+aj≤2ak﹣1，（k=2，3，…n），将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）即可证得结论；（Ⅲ）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．再利用反证法证明满足S=ai≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．【解答】解：（Ⅰ）因为3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性质P．因为2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性质P

…（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，an}具有性质P：即对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立，又因为1=a1＜a2＜…＜an，n≥2，所以ai＜ak，aj＜ak所以ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，所以ak=ai+aj≤2ak﹣1即an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3，…，a3≤2a2，a2≤2a1…将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）所以an≤2a1+a2+…+an﹣1…（Ⅲ）最小值为147．首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2所以易知数集A的元素都是整数．构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．下面，我们证明147是最小的和假设数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足最小（存在性显然，因为满足的数集A只有有限个）．第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有8个元素：由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，所以n≥8第二步：证明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9：若36∈A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素ak，使得36＜ak＜72，从而an﹣1=36；假设36?A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj显然ai≠aj，所以an+ai+aj=144而此时集合A中至少还有5个不同于an，ai，aj的元素，从而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，所以36∈A，进而at=36，且an﹣1=36；同理可证：an﹣2=18，an﹣3=9（同理可以证明：若18∈A，则an﹣2=18）．假设18?A．因为an﹣1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣1=36=ai+aj显然ai≠aj，所以an+an﹣1+ai+aj=144，而此时集合A中至少还有4个不同于an，an﹣1，ai，aj的元素从而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾，所以18∈A，且an﹣2=18同理可以证明：若9∈A，则an﹣3=9假设9?A因为an﹣2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣2=18=ai+aj显然ai≠aj，所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144而此时集合A中至少还有3个不同于an，an﹣1，an﹣2，ai，aj的元素从而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾，所以9∈A，且an﹣3=9）至此，我们得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2．根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj我们需要考虑如下几种情形：①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S＞148；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S＞148；③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和