2021-2022学年上海市松江区第六中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年上海市松江区第六中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知［－1,1］，则方程所有实数根的个数为(

)A．2

B.3

C.4

D.5参考答案：D2.设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．3.若cos（﹣α）=，则sin2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣参考答案：D【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，∴（1+sin2α）=，∴sin2α=2×﹣1=﹣，故选：D．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．4.设四点都在同一个平面上，且，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由得，即．故选A．考点：向量的线性运算．5.定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示，则在上，下列函数中与的单调性不同的是（）A．B.C.D．参考答案：C6.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为

（

）

A．

B．

C．

D．以上都不对

参考答案：答案：C7.命题“”的否定为（

）

A.

C.B.

D.参考答案：C略8.已知恒成立，则必定为

（

）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不确定参考答案：C9.下列命题中正确的是（

）A.若为真命题，则为真命题.B.“”是“”的充要条件.C.命题“，则或”的逆否命题为“若或，则”.D.命题p：，使得，则：，使得.

参考答案：B对于A选项，当真时，可能一真一假，故可能是假命题，故A选项为假命题.对于B选项，根据基本不等式和充要条件的知识可知，B选项为真命题.对于C选项，原命题的逆否命题为“若且，则”，故C选项为假命题.对于D选项，原命题为特称命题，其否定是全称命题，要注意否定结论，即：，使得.综上所述，本小题选B.

10.已知全集U={1，2，3，4，5}，M={3，4，5}，N={2，3}，则集合（?UN）∩M=（）A．{2} B．{1，3} C．{2，5} D．{4，5}参考答案：D【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出N的补集，然后求解交集即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，N={2，3}，则集合?UN={1，4，5}，M={3，4，5}，集合（?UN）∩M={4，5}．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知f（x）=sin4ωx﹣cos4ωx（ω＞0）的值域为A，若对任意a∈R，存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x1），f（x2）]=A，设x2﹣x1的最小值为g（ω），则g（ω）的值域为．参考答案：（0，1]【考点】GI：三角函数的化简求值；HW：三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，结合题意可得函数f（x）的周期小于或等于2，即≤2，求得ω≥，根据x2﹣x1的最小值为半个周期，可得g（ω）==≤=1，由此可得g（ω）的值域．【解答】解：已知f（x）=sin4ωx﹣cos4ωx=（sin2ωx+cos2ωx）?（sin2ωx﹣cos2ωx）=﹣cos2ωx（ω＞0）的值域为A=[﹣1，1]，若对任意a∈R，存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得{y|y=f（x），a≤x≤a+2}=[f（x1），f（x2）]=A，则f（x1）=﹣1，f（x2）=1，故函数f（x）的周期小于或等于2，即≤2，故有ω≥，根据x2﹣x1的最小值为半个周期，可得g（ω）==≤=1，则g（ω）的值域为（0，1]，故答案为：（0，1]．12.已知函数则f[f(-2)]=

,不等式f(x)≥16的解集为

参考答案：34,

(－∞,－2]∪[7,＋∞)13.已知等差数列{an}满足：a5=9，a1+a7=14，则数列{an}的通项公式为an=

．参考答案：an=2n﹣1【考点】数列递推式．【分析】由等差数列的性质可得a1+a7=2a4．即a4=7，则d=a5﹣a4=2，由等差数列的通项公式an=a5+2（n﹣5），即可求得数列{an}的通项公式．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4．∴a4=7，∴d=a5﹣a4=2，∴等差数列的通项公式an=a5+2（n﹣5）=2n﹣1，∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1【点评】本题考查等差数列性质，考查计算能力，属于基础题．14.已知函数则关于的方程的不同实根的个数为

．参考答案：415.已知向量，则___________.参考答案：

．

16.已知函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，若函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，则实数a的取值范围为．参考答案：（0，1）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数判断x≥0时，f（x）=x3﹣4x的单调性，结合函数为偶函数作出简图，把函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点转化为即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．求出过（2，0）与曲线f（x）=﹣x3+4x（x＜0）相切的直线的斜率，则答案可求．【解答】解：f（x）=x3﹣4x（x≥0），f′（x）=3x2﹣4=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴当x=时，f（x）有极小值为．函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣2）有4个零点，即方程f（x）﹣a（x﹣2）=0有4个根．也就是函数y=f（x）与y=a（x﹣2）有4个不同交点．如图：∵函数f（x）为R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x3﹣4x，∴当x＜0时，f（x）=﹣x3+4x．设过（2，0）的直线与曲线f（x）=﹣x3+4x相切于点（），则，∴切线方程为．代入（2，0），得，即（x+1）（x﹣2）2=0，得x=﹣1．∴切线的斜率为a=﹣3×（﹣1）2+4=1．则实数a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．17.若复数z满足（其中i为虚数单位），则

▲

.参考答案：

1

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设矩形ABCD中，，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1.现沿AE将折起，使点D至点M的位置，且，如图2.（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角的余弦值.参考答案：（1）见解析；（2）【分析】(1)结合图形的特点以及垂直关系得到，再由勾股定理证得，进而得到线面垂直；（2）建立空间坐标系得到两个面的法向量，利用向量夹角公式得到结果.【详解】（1）证明：由题设知：又，；，面

面，面，，在矩形中，，，、为中点，，，，又，面，面（2）面，由（1）知面面，且以为原点，为轴，为轴建立如图的空间直角坐标系在中，过作于，，，，（也可用）、、、面的一个法向量为设面的一个法向量为、由即令，则，，，,二面角为【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.求面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。19.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且。（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：(1);(2).【分析】(1)根据题干得到当时，由得，两式做差得到，得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而得到结果；（2）根据第一问得到，由错位相减求和得到结果.【详解】（1）由题意得，当时，，又，∴，当时，由得，两式相减得，即，又，∴∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴；（2）由（1）得，∴，则，两式相减得，∴【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.20.已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=3时，|x﹣1|﹣|2x﹣1|＞﹣1，∴或或，解得：﹣1＜x＜1，故不等式的解集是（﹣1，1）；（2）f（x）=，∴f（x）∈（﹣∞，]，∴f（x）的最大值是，∵不等式有解，∴＞a，解得：a＞．21.（本小题共13分）若双曲线的离心率等于，直线与双曲线的右支交于两点.（1）求的取值范围；（2）若，点是双曲线上一点，且，求的值.参考答案：解：（1）由

得

故双曲线的方程为

设，由

得又直线与双曲线右支交于两点，所以

解得（2）得∴或

又

∴那么，设，由已知，得∴∴

，得故，.

略22.设函数定义在上，，导函数（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）由题知，，，令得，当时，，故（0,1）是的单调减区间，当时，，故是的单调增区间，因此，是的唯一极值点，且为极小值