近六年吉林中考数学第25题动态几何和分段函数问题

./25．〔10分〔2017•XX如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=45°,AB=4cm．点P从点A出发,以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q,D为PQ中点,以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y〔cm2,点P的运动时间为x〔s．〔1当点Q在边AC上时,正方形DEFQ的边长为cm〔用含x的代数式表示；〔2当点P不与点B重合时,求点F落在边BC上时x的值；〔3当0＜x＜2时,求y关于x的函数解析式；〔4直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．[考点]LO：四边形综合题．[分析]〔1国际已知条件得到∠AQP=45°,求得PQ=AP=2x,由于D为PQ中点,于是得到DQ=x；〔2如图①,延长FE交AB于G,由题意得AP=2x,由于D为PQ中点,得到DQ=x,求得GP=2x,列方程于是得到结论；〔3如图②,当0＜x≤时,根据正方形的面积公式得到y=x2；如图③,当＜x≤1时,过C作CH⊥AB于H,交FQ于K,则CH=AB=2,根据正方形和三角形面积公式得到y=﹣x2+20x﹣8；如图④,当1＜x＜2时,PQ=4﹣2x,根据三角形的面积公式得到结论；〔4当Q与C重合时,E为BC的中点,得到x=1,当Q为BC的中点时,BQ=,得到x=,于是得到结论．[解答]解：〔1∵∠ACB=90°,∠A=45°,PQ⊥AB,∴∠AQP=45°,∴PQ=AP=2x,∵D为PQ中点,∴DQ=x,故答案为：x；〔2如图①,延长FE交AB于G,由题意得AP=2x,∵D为PQ中点,∴DQ=x,∴GP=2x,∴2x+x+2x=4,∴x=；〔3如图②,当0＜x≤时,y=S正方形DEFQ=DQ2=x2,∴y=x2；如图③,当＜x≤1时,过C作CH⊥AB于H,交FQ于K,则CH=AB=2,∵PQ=AP=2x,CK=2﹣2x,∴MQ=2CK=4﹣4x,FM=x﹣〔4﹣4x=5x﹣4,∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣FM2,∴y=x2﹣〔5x﹣42=﹣x2+20x﹣8,∴y=﹣x2+20x﹣8；如图④,当1＜x＜2时,PQ=4﹣2x,∴DQ=2﹣x,∴y=S△DEQ=DQ2,∴y=〔2﹣x2,∴y=x2﹣2x+2；〔4当Q与C重合时,E为BC的中点,即2x=2,∴x=1,当Q为BC的中点时,BQ=,PB=1,∴AP=3,∴2x=3,∴x=,∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜．[点评]本题考查了等腰直角三角形的性质,正方形的性质,图形面积的计算,正确的作出图形是解题的关键．25．〔10分〔2016•XX如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AC=8cm,AD⊥BC于点D,点P从点A出发,沿A→C方向以cm/s的速度运动到点C停止,在运动过程中,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM,且∠PQM=90°〔点M,C位于PQ异侧．设点P的运动时间为x〔s,△PQM与△ADC重叠部分的面积为y〔cm2〔1当点M落在AB上时,x=；〔2当点M落在AD上时,x=；〔3求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围．[考点]三角形综合题．[分析]〔1当点M落在AB上时,四边形AMQP是正方形,此时点D与点Q重合,由此即可解决问题．〔2如图1中,当点M落在AD上时,作PE⊥QC于E,先证明DQ=QE=EC,由PE∥AD,得==,由此即可解决问题．〔3分三种情形①当0＜x≤4时,如图2中,设PM、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为△PEF,②当4＜x≤时,如图3中,设PM、MQ分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形PEGQ．③当＜x＜8时,如图4中,则重合部分为△PMQ,分别计算即可解决问题．[解答]解：〔1当点M落在AB上时,四边形AMQP是正方形,此时点D与点Q重合,AP=CP=4,所以x==4．故答案为4．〔2如图1中,当点M落在AD上时,作PE⊥QC于E．∵△MQP,△PQE,△PEC都是等腰直角三角形,MQ=PQ=PC∴DQ=QE=EC,∵PE∥AD,∴==,∵AC=8,∴PA=,∴x=÷=．故答案为．〔3①当0＜x≤4时,如图2中,设PM、PQ分别交AD于点E、F,则重叠部分为△PEF,∵AP=x,∴EF=PE=x,∴y=S△PEF=•PE•EF=x2．②当4＜x≤时,如图3中,设PM、MQ分别交AD于E、G,则重叠部分为四边形PEGQ．∵PQ=PC=8﹣x,∴PM=16﹣2x,∴ME=PM﹣PE=16﹣3x,∴y=S△PMQ﹣S△MEG=〔8﹣x2﹣〔16﹣3x2=﹣x2+32x﹣64．③当＜x＜8时,如图4中,则重合部分为△PMQ,∴y=S△PMQ=PQ2=〔8﹣x2=x2﹣16x+64．综上所述y=．[点评]本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识,解题的关键是正确画出图象,学会分类讨论,属于中考压轴题．25．〔10分〔2015•XX两个三角板ABC,DEF,按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上〔假设图形中所有的点,线都在同一平面内．其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm．现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x〔cm,两个三角板重叠部分的面积为y〔cm2．〔1当点C落在边EF上时,x=cm；〔2求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；〔3设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N．直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．考点：几何变换综合题．分析：〔1根据锐角三角函数,可得BG的长,根据线段的和差,可得GE的长,根据矩形的性质,可得答案；〔2分类讨论：①当0≤t＜6时,根据三角形的面积公式,可得答案；②当6≤t＜12时,③当12＜t≤15时,根据面积的和差,可得答案；〔3根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短,可得M在线段NG上,根据三角形的中位线,可得NG的长,根据锐角三角函数,可得MG的长,根据线段的和差,可得答案．解答：解：〔1如图1所示：作CG⊥AB于G点．,在Rt△ABC中,由AC=6,∠ABC=30,得BC==6．在Rt△BCG中,BG=BC•cos30°=9．四边形CGEH是矩形,CH=GE=BG+BE=9+6=15cm,故答案为：15；〔2①当0≤x＜6时,如图2所示．,∠GDB=60°,∠GBD=30°,DB=x,得DG=x,BG=x,重叠部分的面积为y=DG•BG=×x×x=x2②当6≤x＜12时,如图3所示．,BD=x,DG=x,BG=x,BE=x﹣6,EH=〔x﹣6．重叠部分的面积为y=S△BDG﹣S△BEH=DG•BG﹣BE•EH,即y=×x×x﹣〔x﹣6〔x﹣6化简,得y=﹣x2+2x﹣6；③当12＜x≤15时,如图4所示．,AC=6,BC=6,BD=x,BE=〔x﹣6,EG=〔x﹣6,重叠部分的面积为y=S△ABC﹣S△BEG=AC•BC﹣BE•EG,即y=×6×6﹣〔x﹣6〔x﹣6,化简,得y=18﹣〔x2﹣12x+36=﹣x2+2x+12；综上所述：y=；〔3如图5所示作NG⊥DE于G点．,点M在NG上时MN最短,NG是△DEF的中位线,NG=EF=．MB=CB=3,∠B=30°,MG=MB=,MN最小=3﹣=．点评：本题考查了几何变换综合题,〔1利用了锐角三角函数,矩形的性质；〔2利用面积的和差,分类讨论时解题关键,以防遗漏；〔3利用了垂线段最短的性质,三角形的中位线定理,锐角三角函数．25．〔10分〔2014•XX如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且AC=6cm,BD=8cm,动点P,Q分别从点B,D同时出发,运动速度均为1cm/s,点P沿B→C→D运动,到点D停止,点Q沿D→O→B运动,到点O停止1s后继续运动,到B停止,连接AP,AQ,PQ．设△APQ的面积为y〔cm2〔这里规定：线段是面积0的几何图形,点P的运动时间为x〔s．〔1填空：AB=cm,AB与CD之间的距离为cm；〔2当4≤x≤10时,求y与x之间的函数解析式；〔3直接写出在整个运动过程中,使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值．考点：四边形综合题．分析：〔1根据勾股定理即可求得AB,根据面积公式求得AB与CD之间的距离．〔2当4≤x≤10时,运动过程分为三个阶段,需要分类讨论,避免漏解：①当4≤x≤5时,如答图1﹣1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上；②当5＜x≤9时,如答图1﹣2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上；③当9＜x≤10时,如答图1﹣3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上．〔3有两种情形,需要分类讨论,分别计算：①若PQ∥CD,如答图2﹣1所示；②若PQ∥BC,如答图2﹣2所示．解答：解：〔1∵菱形ABCD中,AC=6cm,BD=8cm,∴AC⊥BD,∴AB===5,设AB与CD间的距离为h,∴△ABC的面积S=AB•h,又∵△ABC的面积S=S菱形ABCD=×AC•BD=×6×8=12,∴AB•h=12,∴h==．〔2设∠CBD=∠CDB=θ,则易得：sinθ=,cosθ=．①当4≤x≤5时,如答图1﹣1所示,此时点Q与点O重合,点P在线段BC上．∵PB=x,∴PC=BC﹣PB=5﹣x．过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PC•cosθ=〔5﹣x．∴y=S△APQ=QA•PH=×3×〔5﹣x=﹣x+6；②当5＜x≤9时,如答图1﹣2所示,此时点Q在线段OB上,点P在线段CD上．PC=x﹣5,PD=CD﹣PC=5﹣〔x﹣5=10﹣x．过点P作PH⊥BD于点H,则PH=PD•sinθ=〔10﹣x．∴y=S△APQ=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣S四边形BCPQ﹣S△APD=S菱形ABCD﹣S△ABQ﹣〔S△BCD﹣S△PQD﹣S△APD=AC•BD﹣BQ•OA﹣〔BD•OC﹣QD•PH﹣PD×h=×6×8﹣〔9﹣x×3﹣[×8×3﹣〔x﹣1•〔10﹣x]﹣〔10﹣x×=﹣x2+x﹣；③当9＜x≤10时,如答图1﹣3所示,此时点Q与点B重合,点P在线段CD上．y=S△APQ=AB×h=×5×=12．综上所述,当4≤x≤10时,y与x之间的函数解析式为：y=．〔3有两种情况：①若PQ∥CD,如答图2﹣1所示．此时BP=QD=x,则BQ=8﹣x．∵PQ∥CD,∴,即,∴x=；②若PQ∥BC,如答图2﹣2所示．此时PD=10﹣x,QD=x﹣1．∵PQ∥BC,∴,即,∴x=．综上所述,满足条件的x的值为或．点评：本题是运动型综合题,考查了菱形的性质、勾股定理、图形面积、相似等多个知识点,重点考查了分类讨论的数学思想．本题第〔2〔3问均需分类讨论,这是解题的难点；另外,试题计算量较大,注意认真计算．25.〔2013•XX如图,在Rt⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=6㎝,BC=8㎝.点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点,连接DE、DF,动点P,Q分别从点A、B同时出发,运动速度均为1㎝/s,点P沿A至F至D的方向运动到点D停止；点Q沿B至C的方向运动,当点P停止运动时,点Q也停止运动.在运动过程中,过点Q作BC的垂线交AB于点M,以点P,M,Q为顶点作平行四边形PMQN.设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为〔㎝2〔这里规定线段是面积为0有几何图形,点P运动的时间为〔s〔1当点P运动到点F时,CQ=㎝；〔2在点P从点F运动到点D的过程中,某一时刻,点P落在MQ上,求此时BQ的长度；〔3当点P在线段FD上运动时,求与之间的函数关系式.〔备用题〔备用题〔第〔第25题25〔2012•XX如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm．动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F．设点P的运动时间为ts,正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．〔1当t=s时,点P与点Q重合；〔2当t=s时,点D在QF上；〔3当点P在Q,B两点之间〔不包括Q,B两点时,求S与t之间的函数关系式．考点：相似形综合题；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。专题：动点型。分析：〔1当点P与点Q重合时,此时AP=BQ=t,且AP+BQ=AC=2,由此列一元一次方程求出t的值；〔2当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t．由相似三角形比例线段关系可得PQ=t,从而由关系式AP+PQ+BQ=AC=2,列一元一次方程求出t的值；〔3当点P在Q,B两点之间〔不包括Q,B两点时,运动过程可以划分为两个阶段：①当1＜t≤时,如答图3所示,此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长,然后利用梯形面积公式求出S；②当＜t＜2时,如答图4所示,此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式"S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN"求出．\解：〔1当点P与点Q重合时,AP=BQ=t,且AP+BQ=AC=2,∴t+t=2,解得t=1s,故填空答案：1．〔2当点D在QF上时,如答图1所示,此时AP=BQ=t．∵QF∥BC,APDE为正方形,∴△PQD∽△ABC,∴DP：PQ=AC：AB=2,则PQ=DP=AP=t．由AP+PQ+BQ=AC=2,得t+t+t=2,解得：t=,故填空答案：．〔3当P、Q重合时,由〔1知,此时t=1；当D点在BC上时,如答图2所示,此时AP=BQ=t,BP=t,求得t=s,进一步分析可知此时点E与点