大学生数学试题及答案8207

.大学生数学试题及答案考试形式：闭卷考试时间：150分钟总分值：100分一、(此题总分值10分)求极限lim1(n21n222n2(n1)2)。n2n【解】S1(n21n222n2(n1)2)n2n1(1(1)21(2)21(n1)2)nnnn1(1(0)21(1)21(2)21(n1)2)nnnnni11().n12nni0i1limSlim[n11().]2nnnnni01x2[0,1]1-x2dx存在，且因在上连续，故1011-x2dx=lim1().1n1i2nn，0ni01-x2dxlimn1-x2dx4。111所以，limSnnn001t2dt二、(此题总分值10分)请问a,b,c为何值时下式成立limc.xx0sinxax1t2ba【解】注意到左边得极限中，无论为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必实用文档..b0，当b0时使用洛必达法那么得到须为无穷小量，于是可知必有1t2dtx2，x0(cosxa)1x2limlimx0xsinxax1t20x00a1a1时，假设，那么此极限存在，且其值为；假设，那么由上式可知：当1t2dtx2limx0lim2，xsinxax1t2x0(cosx1)1x2b综上所述，得到如下结论：a1,b0,c0;或a1,b0,c2。021tan2010xdx三、(此题总分值10分)计算定积分I。【解】作变换x2t，那么Idt1cot2010tan2010tdt2(11)dt2dtI021tan20101tan2010ttt00022I2dt2，0所以，I。4110分)求数列中的最小项。n{n}四、(此题总分值1给数列是函数yx当分别取1,2,3,,n,时的数列。x【解】因为所x又yx12(lnx1)且令y0xe，xy0y0容易看出：当0xe时，；当时，。xe实用文档..11yx有唯一极小值y(e)ee。所以，x111，因此数列的最小项。1而2e3{n}n23333enn1。五、(此题总分值10分)求n0xnn1【解】考虑幂级数，其收敛半径为，收敛区间为(1,1)，1n0x1n1收敛；n当x1时，(1)nn1n0n0x1n当x1时，其收敛域为[1,1)。n1发散，因此n1n0n0s(x)，那么设其和函数为tn01tn0n1x1xnx(1,1)s(t)dtdtdtxn1x，0xx。n10n0n0xs(x)(1x)(1x)2.于是，故，ene2s(e1)。n1(e1)2n0六、(此题总分值10分)设f(x)sinxx(xt)f(t)dt，其中f为连续函数，求f(x)。0【解】原方程可写为f(x)sinxxxf(t)dtxtf(t)dt，00上式两端对x求导得f(x)cosxxf(t)dtxf(x)xf(x)cosxxf(t)dt〔*〕00x两端再对求导得f(x)sinxf(x)()()sinx即fxfx由原方程知f(0)0，由〔*〕式知f(0)1这是一个二阶线性常系数非齐次方程，实用文档..。特征方程为210i，齐次通解为yCsinxCcosx12设非齐次方程特解为y*x(asinxbcosx)，代入f(x)f(x)sinx得a0,b12。sinxCcosx2xcosx那么非齐次方程通解为yC12由初始条件y(0)0和y(0)1可知，C12,C0。12O(0,0)A(,0)yasinx(a0)中，求一条七、(此题总分值10分)在过点和的曲线族3(1)(2xy)dy的值最小。曲线，使沿该曲线从到的积分ydxLOAL【解】I(a)(1y3)dx(2xy)dyL[1a3sin3x(2xasinx)acosx]dx04a43a3。I(a)44a20，得a1(a1舍去)；又I(1)80，那么I(a)在令a1处取极小值，且=1是()在(0,+∞)内的唯一极值点，故=1时()取最小值，aIaaIa那么所求曲线为ysinx(0x)。)设在[−1,1]上有二阶导数，且fx()(此题总分值10分f(1)f(1)1，八、f''(x)12。证明：1．f'(x)1，∈[−1,1]。x2实用文档..fx2．=在[−1,1]上有且只有一个实根。()x【证明】f()f(1)f(x)f(x)(1x)(1x)2，(1,x)1.由泰勒公式2f()f(1)f(x)f(x)(1x)(1x)2,(x,1)2两式相减并整理得(1x2)(1x2)f()f()2f(x)22(1x2)(1x2)(1x2)(1x2)f(x)于是,f()f()448max(1x2)(1x2)1由于1x12，8因此，|f'(x)|1，x[1,1]。2.令F(x)f(x)-x,x[1,1]。那么F(1)f(1)1，F(1)f(1)1-12。32但F(x)在[−1,1]()[−1,1]Fx在上至少有一个零点。上连续，由介值定理知，F'(x)f'(x)-10，故F(x)在[−1,1]又由1可知上严格单调，从而至多有一个零点。这样F(x)在[−1,1]上有且只有一个零点，即f(x)=[−1,1]x在上有且只有一个实根。题总分值10分)设f(x)在(-，)为连续九、(此函数,那么12xf(x)dx。aax3f(x2)dx200【解】令(x)x3f(x2),那么(x)xt3f(t2)dt,01(x)1x2f(x2)2xx3f(x2),2(x)2x2tf(t)dt，那么0所以(x)(x)()(x)cc为常数。即x实用文档..，(0)(0)0(x)(x)而(a)(a)特别地1a2ax3f(x2)dxxf(x)dx。即200f(x)十、(此题总分值10分)设是[0,1]上的连续函数，证明1edx1ef(y)dy1。f(x)00【证法一】设D{(x,y)|0x1,0y1}。由于f(x)f(y)1f(x)f(y)，e所以1edx1edyedxdyf(x)f(y)f(x)f(y)00D1dx1(1f(x)f(y))dy001dx1dy1f(x)dx1dy1dx1f(y)dy0000001。1edx1edyedxdy【证法二】fx()