2022年黑龙江省绥化市北辰高级中学高三数学文月考试题含解析

2022年黑龙江省绥化市北辰高级中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合M={a2，a+1，﹣3}，N={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若M∩N={﹣3}，则a的值是(

)A．﹣1 B．0 C．1 D．2参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】观察题设条件知，﹣3∈N，有两种可能，a﹣3=﹣3或2a﹣1=﹣3，分别求出a的值代入进行验证其互异性与是否满足题设条件．【解答】解：∵M∩N={﹣3}∴﹣3∈N={a﹣3，2a﹣1，a2+1}若a﹣3=﹣3，则a=0，此时M={0，1，﹣3}，N={﹣3，﹣1，1}则M∩N={﹣3，1}故不适合若2a﹣1=﹣3，则a=﹣1，此时M={1，0，﹣3}，N={﹣4，﹣3，2}若a2+1=﹣3，此方程无实数解综上知，a=﹣1故应选A．【点评】本考点是集合的交集及其运算，此类题求参数值时要注意是否满足互异性．2.已知蟑螂活动在如图所示的平行四边形OABC内，现有一种利用声波消灭蟑螂的机器，工作时，所发出的圆弧型声波DFE从坐标原点O向外传播，若D是DFE弧与x轴的交点，设OD=x，，圆弧型声波DFE在传播过程中扫过平行四边形OABC的面积为y（图中阴影部分），则函数的图像大致是参考答案：D3.设全集U={},A={1,2,3,4,},B={4,5,6,7,8},则A∪B)=

（A）{9}(B){1,2,3}

(C){5,6,7,8}(D){1,2,3,4,5,6,7,8}参考答案：A略4.设函数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数的值域是(

)A．{0,1}

B．{0，－1}

C．{－1,1}

D．{1,1}参考答案：B略5.如图所示的茎叶图表示甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.若则A.

B.

C.

D.参考答案：A7.若函数有两个极值点，则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.参考答案：A有两个正根，即有两个正根，令，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，，当时，，所以，故选A．8.公差大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a4+9成等比数列，则数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441参考答案：A【分析】设公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项为1，公差为2，由分组求和即可得到所求和．【解答】解：公差d大于0的等差数列{an}中，2a7﹣a13=1，可得2（a1+6d）﹣（a1+12d）=1，可得a1=1，由a1，a3﹣1，a4+9成等比数列，可得（a3﹣1）2=a1（a4+9），即为（1+2d﹣1）2=1（1+3d+9），解得d=2（﹣舍去）．则an=2n﹣1，数列{（﹣1）n﹣1an}的前21项和为1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，以及等比数列的中项的性质，考查方程思想，以及求和方法，考查运算能力，属于中档题．9.已知命题p：函数f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）内恰有一个零点；命题q：函数y=x2﹣a在（0，+∞）上是减函数．若p且?q为真命题，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≤2 C．1＜a≤2 D．a≤1或a＞2参考答案：C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用．

【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】先求出命题p，q为真命题时，a的范围，即可求出p且￢q为真命题时，即可求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，命题p：得a＞1．命题q：2﹣a＜0，得a＞2，∴￢q：a≤2．故由p且￢q为真命题，得1＜a≤2，故选C．【点评】本题考查函数方程思想、幂函数单调性的应用，同时又考查命题真假的理解，属于中档题．10.已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=4x﹣2x﹣f（1），则f（﹣1）的值为（）A．1 B．﹣1 C．e D．﹣e参考答案：B【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据条件令x=1，先求出f（1）的值，然后利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可．【解答】解：当x＞0时，f（x）=4x﹣2x﹣f（1），∴当x=1时，f（1）=4﹣2﹣f（1），即2f（1）=2，则f（1）=1，则当x＞0时，f（x）=4x﹣2x﹣1，∵函数f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合为整数集，则集合中所有元素的和等于________参考答案：3

本题考查了绝对值不等式的解法，考查了集合的交、并、补运算，难度较小。

集合，所以，元素之和为3.12.已知点和在直线的两侧，则的取值范围是

参考答案：13.设复数z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为．参考答案：考点：复数求模．专题：计算题．分析：首先利用复数莫得公式求模，然后利用三角函数进行化简，由|z|≤2得到不等式，然后根据a的符号把该不等式分类转化为不含三角函数的不等式，求解后对a取并集即可得到答案．解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i，所以===（tanα=2）．因为|z|≤2，所以．若a=0，此式显然成立，若a＞0，由，得，解得．若a＜0，由，得，解得．所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为．故答案为．点评：本题考查了复数模的求法，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．14.在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为A，B（1，0）平面内两点、同时满足下列条件:①

②

③

则的顶点的轨迹为，都在曲线上，定点的坐标为，已知∥

,

∥且·=0，则四边形PRQN面积S的最大值为

____________.参考答案：．215.已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离｜MF｜＝4，则点M的横坐标x=________.参考答案：316.设单位向量____.参考答案：略17.在等比数列{an}中，an＞0，公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2，求数列{an}的通项公式．参考答案：an=【考点】等比数列的通项公式．【分析】推导出a3，a5是方程x2﹣5x+4=0的两个根，且a3＞a5．从而得到a3=4，a5=1，进而得到，由此能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{an}中，an＞0，公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2，∴，∴a3，a5是方程x2﹣5x+4=0的两个根，且a3＞a5．解方程x2﹣5x+4=0，得a3=4，a5=1，∴，由q∈（0，1），解得，∴=（）n﹣5．故答案为：an=．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）设数列的前项和为，对一切，点都在函数

的图象上．（Ⅰ）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（Ⅲ）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：解析：（Ⅰ）因为点在函数的图象上，故，所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．………………2分用数学归纳法证明如下：①当时，有上面的求解知，猜想成立．②假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到，故，．两式相减，得，所以．由归纳假设得，，故．这说明时，猜想也成立．由①②知，对一切，成立．……5分（Ⅱ）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，

故是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20.同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以．又=22，所以=2010.………………8分（Ⅲ）因为，故，所以．又，故对一切都成立，就是对一切都成立．设，则只需即可．由于，所以，故是单调递减，于是．令，即，解得，或．综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是．…………14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.

19.如图，已知圆，经过椭圆的右焦点F及上顶点B，过圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于C，D两点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．

参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【知识点】椭圆方程

直线与椭圆

H5

H8解析：（Ⅰ）∵圆G：经过点F、B．∴F（2，0），B（0，），

∴，．∴．故椭圆的方程为．

（Ⅱ）设直线的方程为．由消去得． 设，，则，， ∴． ∵，， ∴=

=． ∵点F在圆G的外部， ∴，

即，解得或． 由△=，解得．又，． ∴．【思路点拨】根据圆与x轴的交点求得F（2，0），B（0，），可得椭圆方程；设直线的方程为与椭圆方程联立，得到，，因为点F在圆G的外部， 所以，即=>0,求得.20.如图，在四棱锥中，平面平面，，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．参考答案：【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角余弦值的求解等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．【试题简析】解法一：（Ⅰ）在底面中，，，所以，，所以，所以， 1分又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 2分又平面，所以， 3分又即，又， 4分所以平面. 5分（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线， 6分在平面内过作（如图），又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设， 7分则，，，，所以，， 8分设是平面的法向量，则即 9分令，得.

10分显然是平面的一个法向量.

11分设二面角的大小为（为锐角）.所以，所以二面角的的余弦值为.

12分解法二：（Ⅰ）同解法一； 5分（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线， 6分分别取中点和，连结，，

所以，又，所以，又因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设， 7分则，，，，所以，， 8分设是平面的法向量，则即， 9分令，得.

10分显然是平面的一个法向量.

11分设二面角的大小为（为锐角）.所以，所以二面角的余弦值为. 12分【变式题源】（2017全国卷Ⅱ·理19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中点.（Ⅰ）证明：直线平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值21.如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且。求证：（1）D、E、C、F四点共圆；

（2）

参考答案：解：（Ⅰ）如图，连结OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)． …3分因为∠DGC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．又因为∠DEC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F四点共圆． …5分

（Ⅱ）延长GE交AB于H．因为GD＝GC＝GF，所以点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC． …8分又因为∠GCE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即G