人教版高中数学选择性必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算 练习(含答案)

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一、单选题

1．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（）．

A．与

B．与

C．与

D．与

2．已知向量和的夹角为120°，且，则等于（）

A．12B．C．4D．13

3．已知非零向量，，，若，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

4．已知，则等于（）

A．B．97C．D．61

5．设正四面体ABCD的棱长为a，E，F分别是BC，AD的中点，则的值为（）

A．B．C．a2D．a2

6．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（）

A．2B．2C．2D．2

7．已知空间中四个不共面的点O、A、B、C，若||＝||，且cos，cos，，则sin，的值为（）

A．1B．C．D．

8．如图所示，在四面体ABCD中，为等边三角形，，，，，则（）

A．B．C．D．

二、多选题

9．(多选)已知向量，，，下列等式中正确的是（）

A．B．

C．D．

10．（多选）已知空间四边形的四条边和对角线长都为，且，，分别是，，的中点，则下列四个数量积中结果为的式子的有（）

A．B．

C．D．

11．设ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，以下结论为正确的有()

A．a2B．a2

C．a2D．a2

12．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()

A．

B．

C．向量与向量的夹角是60°

D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为

三、填空题

13．化简：________.

14．已知是空间两个向量，若，则________．

15．已知向量与满足，且与的夹角为，则＝________.

16．已知空间向量，的夹角为120°，且，则的最小值为________.

四、解答题

17．已知长方体中，点Q是BC上的动点，点P是上的动点，，．

（1）求；

（2）求的取值范围．

18．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，求证：平面．

19．如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.

（1）求，的大小；

（2）求向量在向量方向上的投影的数量.

20．已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.

参考答案

1．A

【解析】对于A，因为，所以与的夹角为，故A正确；

对于B，因为，所以与的夹角为，故B不正确；

对于C，因为，所以与的夹角为，故C不正确；

对于D，因为，所以与的夹角为，故D不正确.

故选：A

2．D

【解析】,

故选：D.

3．C

【解析】∵，∴．

故选：C．

4．C

【解析】因为，

所以.

故选：C.

5．A

【解析】由题意，正四面体ABCD如图所示，

因为E，F分别是BC，AD的中点，

所以，，

又因为正四面体ABCD的棱长都为a，所以，

故

(a2cos60°+a2cos60°)

a2．

故选：A．

6．B

【解析】由题意可得，22aacos（π﹣∠BAD）＝2a2（﹣cos60°）＝﹣a2，故排除A．

∵22aacos60°＝a2，故B满足条件．

∵22acosπ＝﹣a2，故排除C．

∵22acos60°，故排除D，

故选：B

7．A

【解析】∵cos，cos，，

∴，

∵||＝||，

∴，

∴（）＝0，

∴．

∴sin，sin1．

故选：A

8．D

【解析】依题意，，

因为为等边三角形，，，，，

所以，，，

，

所以，

.

故选：D.

9．BCD

【解析】易得=-3+0+3=0.

，所以A选项错误；

=，所以，所以B选项正确；

，所以C选项正确；

即，所以D选项正确.

故选：BCD.

10．AC

【解析】如图所示，

；

；

；

．

故结果为的式子有AC．

故选：AC．

11．BC

【解析】以为坐标原点，、、所示的空间直角坐标系，如下图:

则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，

D1(0，0，a)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，B1(a，a，a)，

对于A，(0，a，0)，(﹣a，a，0)，则a2，A错误；

对于B，(0，a，0)，(a，﹣a，﹣a)，则a2，B正确；

对于C，(﹣a，0，0)，(﹣a，0，﹣a)，则a2，C正确；

对于D，(0，a，0)，(a，﹣a，0)，则a2，D错误；

故选：BC．

12．AB

【解析】由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1如下图所示：

由向量的加法得到：，

∵，∴，所以A正确；

∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；

∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，

又∵A1BD1C，

∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，

但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；

∵AB⊥AA1，∴，

故0，故D错误．

故选：AB．

13．

【解析】

故答案为：

14．

【解析】将化为，

得，即，解得，

所以.

故答案为：

15．

【解析】，故，

故答案为：.

16．

【解析】因为，所以，

而，

当且仅当，即时等号成立，

所以，

故答案为：.

17．（1）；（2）.

【解析】（1）

因为，所以，

即，

因此；

（2）

因为,

所以

因此

设，，则，由于，

所以，故的取值范围为.

18．证明见解析

【解析】设，，，

由于四边形为菱形，则，即，

所以，，同理可得，

由题意可得，，

所以，，所以，