2023年辽宁省大连市西岗区三十四中学九年级中考模拟数学试卷（含解析）

第第页2023年辽宁省大连市西岗区三十四中学九年级中考模拟数学试卷（含解析）2023年辽宁省大连市西岗区三十四中学九年级中考模拟数学试卷

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1．（3分）﹣5的绝对值是（）

A．B．C．+5D．﹣5

2．（3分）“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825100余人次，数字825100用科学记数法表示为（）

A．8251×102B．825.1×103C．82.51×104D．8.251×105

3．（3分）下列计算正确的是（）

A．＝2B．C．D．

4．（3分）不等式组的解集是（）

A．x＞1B．x＜3C．1＜x＜3D．无解

5．（3分）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）

A．105°B．120°C．75°D．45°

6．（3分）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是（）

A．六B．七C．八D．九

7．（3分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（）

A．220，220B．210，215C．210，210D．220，215

8．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）

A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0

9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（）

A．3B．C．D．

10．（3分）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：x2﹣36＝．

12．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为．

13．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是．

14．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为．

15．（3分）如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中单位：cm）cm2（用含有π式子表示）

16．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP．（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，若菱形边长为2，则点E到CD的距离为．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17．（9分）计算：．

18．（10分）如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD．

19．（10分）大连市某研究机构为了了解今年“徒步大会”的报名人群的年龄分布情况，随机选取了100名年龄在10～60岁年龄段报名的市民，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：

组别年龄段频数（人数）

第1组10≤x＜205

第2组20≤x＜30a

第3组30≤x＜4035

第4组40≤x＜5020

第5组50≤x＜6015

（1）请直接写出a＝，m＝，及扇形统计图中第3组所对应的圆心角的度数；

（2）假设今年报名的10﹣60岁的市民30万人，请估计第4组年龄段报名本次大会的人数大约有多少万人？

20．（10分）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．

四、解答题（本题共3小题，21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．（9分）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？

22．（10分）如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡BC长为50米，∠CBE＝30°，在斜坡顶端C处水平地面上以3.6km/h的速度行走半分钟到达点D，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为34°．

（1）水平地面CD长为米；

（2）求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.68，≈1.73）

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．

（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）

（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．

25．（11分）如图，四边形ABCD中，点E是AD上一点，BE＝BA，∠A＝2∠DBA＝2∠CEB，BE平分∠CBA．

（1）求证：∠BCE+∠BDA＝180°；

（2）探究图中与AD相等的线段，并证明；

（3）若BE＝4，AE＝2，求BD的值．

26．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣2交x轴于A（﹣1，0）和B两点，交y轴于C点；直线AD交抛物线于第一象限内点D，且点D的横坐标是6，直线AD交y轴于点F．

（1）求抛物线解析式；

（2）点E为直线AD下方抛物线的上一个动点，且点E在y轴右侧，当△AFE面积最大时，求此时点E的坐标．

（3）抛物线上是否存在点P，使∠PCO+∠DAB＝∠BAC，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2023年辽宁省大连三十四中中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1．（3分）﹣5的绝对值是（）

A．B．C．+5D．﹣5

【分析】根据绝对值的意义直接判断即可．

【解答】解：|﹣5|＝5．

故选：C．

【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．

2．（3分）“五一”小长假期间，大连市共接待海内外游客825100余人次，数字825100用科学记数法表示为（）

A．8251×102B．825.1×103C．82.51×104D．8.251×105

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：825100＝8.251×105．

故选：D．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）下列计算正确的是（）

A．＝2B．C．D．

【分析】根据立方根的定义、算术平方根的定义、完全平方公式、二次根式的减法法则解决此题．

【解答】解：A．根据立方根的定义，，那么A错误，故A不符合题意．

B．根据算术平方根的定义，，那么B错误，故B不符合题意．

C．根据二次根式的减法法则，，那么C正确，故C符合题意．

D．根据完全平方公式，，那么D错误，故D不符合题意．

故选：C．

【点评】本题主要考查立方根、算术平方根、完全平方公式、二次根式的减法，熟练掌握立方根的定义、算术平方根的定义、完全平方公式、二次根式的减法法则是解决本题的关键．

4．（3分）不等式组的解集是（）

A．x＞1B．x＜3C．1＜x＜3D．无解

【分析】先求出不等式组中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分即可．

【解答】解：由x﹣1＞0，得x＞1，

由x﹣3＜0，得x＜3，

∴不等式组的解集为1＜x＜3．

故选：C．

【点评】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解答．

5．（3分）如图，a∥b，△ABC为等边三角形，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）

A．105°B．120°C．75°D．45°

【分析】先根据等边三角形的性质求出∠ACB的度数，再根据平行线的性质即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠1＝45°，

∴∠1+∠ACB＝105°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠1+∠ACB＝105°．

故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质，等边三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

6．（3分）若正多边形的一个外角等于45°，则这个正多边形的边数是（）

A．六B．七C．八D．九

【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，用360°除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．

【解答】解：任意多边形的外角和是360°，

因为多边形是正多边形，

所以多边形的每个外角相等等于45°，

则多边形的边数是：360°÷45°＝8．

故选：C．

【点评】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．

7．（3分）为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数，抽检了10辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统计，结果如图所示，则在这组数据中，众数和中位数分别是（）

A．220，220B．210，215C．210，210D．220，215

【分析】根据众数与中位数的定义，找出出现次数最多的数，把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数即可．

【解答】解：数据210出现了4次，最多，

故众数为210，

共10辆车，排序后位于第5和第6位的数分别为210，220，

故中位数为（210+220）÷2＝215．

故选：B．

【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

8．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）

A．a＞1B．a＜1C．a≤1且a≠0D．a＜1且a≠0

【分析】根据关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根知Δ＝（﹣2）2﹣4×a×1≥0且a≠0，解之即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，

∴Δ＝（﹣2）2﹣4×a×1≥0且a≠0，

解得a≤1且a≠0，

故选：C．

【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当Δ＜0时，方程无实数根．

9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（）

A．3B．C．D．

【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到DE×10+CD×6＝×6×8，最后解方程即可．

【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，

过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，

在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，

∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，

∴DE×10+CD×6＝×6×8，

即5CD+3CD＝24，

∴CD＝3．

故选：A．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了角平分线的性质．

10．（3分）如图，A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，如图，l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间关系图象，下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发后3小时追上甲；③甲的速度是4千米/时；④乙比甲先到B地．其中正确的说法是（）

A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④

【分析】观察函数图象，从图象中获取信息，根据速度，路程，时间三者之间的关系求得结果．

【解答】解：由函数图象可知，乙比甲晚出发1小时，故①正确；

乙出发3﹣1＝2（小时）后追上甲，故②错误；

甲的速度为：12÷3＝4（千米/小时），故③正确；

乙的速度为：12÷（3﹣1）＝6（千米/小时），

则甲到达B地用的时间为：20÷4＝5（小时），

乙到达B地用的时间为：20÷6＝（小时），

∵1+＝＜5，

∴乙先到达B地，故④正确；

∴正确的说法为：①③④，

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息．

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）因式分解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6）．

【分析】直接用平方差公式分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6）．

【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．

12．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为（﹣6，5）．

【分析】把点（﹣2，5）的横坐标减4，纵坐标不变得到点（﹣6，5）平移后的对应点的坐标．

【解答】解：将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为（﹣6，5）．

故答案为（﹣6，5）．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．

13．（3分）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现“一正一反”的概率是．

【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．

【解答】解：抛掷两枚质地均匀的硬币可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．

∴出现“一正一反”的概率是．

【点评】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

14．（3分）我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．

【分析】先根据每人出90钱，恰好合适，用x表示出猪价，再根据“每人出100钱，则会多出100钱”，即可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论．

【解答】解：∵每人出90钱，恰好合适，

∴猪价为90x钱，

根据题意，可列方程为100x﹣90x＝100．

故答案为：100x﹣90x＝100．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．

15．（3分）如图，按照三视图确定该几何体的全面积是（图中单位：cm）65πcm2（用含有π式子表示）

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为8cm，底面半径为10÷2＝5（cm），

故表面积＝πrl+πr2＝π×5×8+π×52＝65π（cm2）．

故答案为：65π．

【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

16．（3分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP．（P为AB的中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，若菱形边长为2，则点E到CD的距离为3﹣．

【分析】连接BD，过点E作EF⊥CD于点F，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，设EF＝x，则DF＝x，可得出x+x＝2，解方程即可得出答案．

【解答】解：连接BD，过点E作EF⊥CD于点F，

∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，

∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，

∵P为AB的中点，

∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，

∴∠PDC＝90°，

由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，

设EF＝x，则DF＝x，CF＝x，

∵菱形的边长为2，

∴CD＝2，

∴x+x＝2，

解得：x＝3﹣．

故答案为：3﹣．

【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）

17．（9分）计算：．

【分析】先通分括号内的式子，然后再将括号外的除法化为乘法，最后约分即可．

【解答】解：

＝

＝．

【点评】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

18．（10分）如图，菱形ABCD中，O是对角线AC上一点，连接OB，OD，求证：OB＝OD．

【分析】由菱形的性质可得到AD＝AB，∠CAB＝∠CAD，结合公共边可证得△ABO≌△ADO，根据全等三角形对应边相等即可得出OB＝OD．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠CAB＝∠CAD，

在△ABO和△ADO中，

，

∴△ABO≌△ADO，

∴OB＝OD；

【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质与定理是解题关键．

19．（10分）大连市某研究机构为了了解今年“徒步大会”的报名人群的年龄分布情况，随机选取了100名年龄在10～60岁年龄段报名的市民，并将收集到的数据制成了如下尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：

组别年龄段频数（人数）

第1组10≤x＜205

第2组20≤x＜30a

第3组30≤x＜4035

第4组40≤x＜5020

第5组50≤x＜6015

（1）请直接写出a＝25，m＝20，及扇形统计图中第3组所对应的圆心角的度数126°；

（2）假设今年报名的10﹣60岁的市民30万人，请估计第4组年龄段报名本次大会的人数大约有多少万人？

【分析】（1）用总人数乘以第2组的百分比，可以求得a；利用第4组的频数和数据总数可求得m的值；利用第3组的频数可求得在扇形统计图中所对应的圆心角的度数；

（2）用总人数乘以40～50岁年龄段的百分比即可．

【解答】解：（1）a＝100×25%＝25，

∵m%＝（20÷100）×100%＝20%，

∴m＝20，

第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°×＝126°；

故答案为：25，20，126°；

（2）30×＝6（万人），

答：估计第4组年龄段报名本次大会的人数大约有6万人．

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20．（10分）在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1200m的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．

【分析】设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【解答】解：设计划平均每天修建步行道的长度为xm，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5xm，

依题意，得：﹣＝5，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．

答：计划平均每天修建步行道的长度为80m．

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

四、解答题（本题共3小题，21题9分，22、23题各10分，共29分）

21．（9分）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？

【分析】（1）根据录入的时间＝录入总量÷录入速度即可得出函数关系式；

（2）根据反比例函数的性质即可得到结论求解即可．

【解答】解：（1）设y＝，

把（150，10）代入y＝得，10＝，

∴k＝1500，

∴y与x的函数表达式为y＝；

（2）∵当y＝35﹣20＝15时，x＝100，

∵k＞0，

在第一象限内，y随x的增大而减小，

∴小明录入文字的速度至少为100字/分，

答：小明每分钟至少录入100个字．

【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据工作量得到等量关系是解决本题的关键．

22．（10分）如图，是某市在城区河道上新建成的一座大桥，学校数学兴趣小组在一次数学实践活动中对桥墩的高度进行了测量，测得斜坡BC长为50米，∠CBE＝30°，在斜坡顶端C处水平地面上以3.6km/h的速度行走半分钟到达点D，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为34°．

（1）水平地面CD长为米；

（2）求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.68，≈1.73）

【分析】（1）根据速度×时间＝路程计算即可；

（2）延长DC交AB于点H，可知∠AHD＝∠BHD＝90°，在Rt△CBH中，根据特殊角的三角函数表示出CH和BH，再根据tan∠ADH＝＝tan34°，表示出AH的长，进一步可得AB的长．

【解答】解：（1）∵3.6km/h＝1m/s，

∴CD＝1×30＝30（米）；

（2）延长DC交AB于点H，如图所示：

∵DC∥BE，∠CBE＝30°，

∴∠BCH＝∠CBE＝30°，∠AHD＝∠BHD＝90°，

在Rt△CBH中，cos∠BCH＝＝，sin∠BCH＝＝，

∴HC＝BC＝×50＝25（米），

BH＝＝25（米），

∴DH＝HC+CD＝（25+30）米，

∵∠ADH＝34°，

∴tan∠ADH＝＝tan34°，

∴AH＝DHtan34°，

∴AB＝AH+BH＝（25+30）tan34°+25≈74.8（米）．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且AD＝BD，⊙O是△ACD的外接圆，AE是⊙O的直径．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若AB＝2，AD＝3，求直径AE的长．

【分析】（1）连接DE，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，等量代换得到∠E＝∠BAD，根据圆周角定理得到∠ADE＝90°，得到∠BAE＝90°，于是得到结论；

（2）作AH⊥BC，垂足为点H，证明△ABC∽△DBA，由相似三角形的性质得出，求出BC的长，证明△AED∽△ABH，得出，则可求出答案．

【解答】（1）证明：连接DE，如图1，

∵AB＝AC，AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠C，

∴∠C＝∠E，

∴∠E＝∠BAD，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE＝90°，

∴∠E+∠DAE＝90°，

∴∠BAD+∠DAE＝90°，

即∠BAE＝90°，

∴AE⊥AB，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：如图2，作AH⊥BC，垂足为点H，

∵AB＝AC，

∴BH＝CH，

∵∠B＝∠C＝∠BAD，

∴△ABC∽△DBA，

∴，

即AB2＝BDBC，

又AB＝2，BD＝AD＝3，

∴BC＝8，

在Rt△ABH中，BH＝CH＝4，

∴AH＝＝＝2，

∵∠E＝∠B，∠ADE＝∠AHB，

∴△AED∽△ABH，

∴，

∴＝3．

【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）

24．（11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，点P为射线AO上的一个动点，过点P作PQ⊥AB于点Q，将沿PQ翻折得到R．设△PQR与△AOB重合部分的面积为S，点P的坐标为（m，0）．

（1）求AR的长．（用含m的代数式表示）

（2）求S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．

【分析】（1）求出直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B的坐标，得到OA，OB的长，利用勾股定理求AB得长．证出△PQA∽△BOA，利用对应线段成比例，求出AR．

（2）点P为射线AO上的一个动点，在移动过程中，△PQR与△AOB重合部分有三种形状，①直角三角形②四边形③直角三角形．分类讨论，利用三角形相似对应边成比例，找边之间的转换关系，解决问题．

【解答】解：（1）直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点A、B，

当x＝0时，y＝4，

∴点B坐标（0，4），

∴OB＝4．

当y＝0时，x＝3，

∴点A坐标（3，0），

∴OA＝3．

Rt△AOB中，AB2＝OA2+OB2，

∴AB＝5．

∵∠PAQ＝∠BAC，

∠AQP＝∠AOB，

∴△PQA∽△BOA，

∴，

AQ＝，

AR＝2AQ＝．

（2）在移动过程中，△PQR与△AOB重合部分有三种形状．

①点P在线段OA上，△PQR与△AOB重合部分是△PQR．

当0≤m＜3时，

∵∠PAQ＝∠BAC，

∠AQP＝∠AOB，

∴△PQA∽△BOA，

∴S△APQ：S△ABO＝AP2：AB＝（3﹣m）2：25，

∵S△ABO＝＝6，

又∵△PQR≌△PQA，

∴S＝（3﹣m）2．

②△PQR与△AOB重合部分是四边形CDRQ．作RE⊥OA于E，QF⊥OA于F．

当R和B重合时，Q为AB中点，

AQ＝2.5，

∵△PQA∽△BOA，

∴，

∴AP＝＝＝，

∴OP＝AP﹣AO＝﹣3＝，

∴m＝．

∴当＜m＜0时，△PQR与△AOB重合部分是四边形CDRQ．

∵△PQA∽△BOA，

∴∠APQ＝∠ABO，

∵∠AOB＝∠OFQ，

∴△AOB∽△QFP，

∴，

∴＝，

同理，

∴，

∴，

∵AP＝3﹣m，

∴FA＝．

∴QF＝AF×＝（3﹣m）．

∴RE＝2QF＝（3﹣m），

∴PE＝PA﹣2AF＝，

∵OD∥RE，

∴，

∴OD＝＝＝﹣，

∵，

∴OC＝﹣m，

∴CD＝OD﹣OC＝﹣＝﹣m．

∵S＝S△PQR﹣S△PCD

∴S＝×PA×QF﹣×OP×CD

＝．

，

③△PQR与△AOB重合部分是△BQC，

当Q、B重合时，

AQ＝5，

∴AP＝，

OP＝＝，

m＝，

当时，△PQR与△AOB重合部分是△BQC．

∵OC＝OP＝﹣，

∴BC＝4﹣OC＝，

∵CQ＝，BQ＝，

∴S＝＝

＝，

∴S＝．

【点评】此题是坐标系中的三角形面积问题，通过三角形相似的判定和性质，三角形的翻折，全等，增加了问题难度，分类讨论，需要严谨性．

25．（11分）如图，四边形ABCD中，点E是AD上一点，BE＝BA，∠A＝2∠DBA＝2∠CEB，BE平分∠CBA．

（1）求证：∠BCE+∠BDA＝180°；

（2）探究图中与AD相等的线段，并证明；

（3）若BE＝4，AE＝2，求BD的值．

【分析】（1）设∠DBA＝∠CEB＝α，则∠A＝2α，在△ABE中利用三角形内角和定理求出∠ABE，根据角平分线的定义得出∠CBE＝∠ABE，在△BCE中利用三角形内角和定理求出∠BCE，在△BAD中利用三角形内角和定理求出∠BDA，从而求出∠BCE+∠BDA的值；

（2）以B为圆心，BC长为半径画弧，交EC的延长线于点F，连接BF，可证明△BEF≌△ABD，从而得出结果；

（3）作BF⊥AE于F，作DG⊥AB于G，设∠ABD＝α，则∠BAD＝2α，可求得cos2α＝，进而构造直角三角形，求得tanα＝，tan2α＝，sin，然后解三角形ABD，进而求得结果．

【解答】（1）证明：设∠DBA＝∠CEB＝α，

∵∠A＝2∠DBA＝2∠CEB，

∴∠A＝2α，

∵BE＝BA，

∴∠BEA＝∠A＝2α，

∴∠ABE＝180°﹣∠BEA﹣∠A＝180°﹣4α，

∵BE平分∠CBA，

∴∠CBE＝∠ABE＝180°﹣4α，

在△BCE中，∠BCE＝180°﹣∠CEB﹣∠CBE＝180°﹣α﹣（180°﹣4α）＝3α，

在△BAD中，∠BDA＝180°﹣∠DBA﹣∠A＝180°﹣α﹣2α＝180°﹣3α，

∴∠BCE+∠BDA＝3α+180°﹣3α＝180°；

（2）解：如图1，

以B为圆心，BC长为半径画弧，交EC的延长线于点F，连接BF，

∴B