爬行和滚动耦合流动性的蛇形步态机器人

15届国际先进机器人大会塔林理工大学塔林，爱沙尼亚，2011年6月20日至23日爬行和滚动耦合机动性的蛇形步态机器人GabrielFord,RichardPrimerano,andMosheKam摘要：我们结合螟蚣爬行和各种滚动步态提出了一个三维立体的耦合流动性的蛇形机器人运动规划框架。我们在蛇形机器人的下面配备了一些脚，使它能够爬过周围障碍。由于其灵活的身体结构，蛇形机器人不借助它的脚，而通过身体内部引起的弯曲运动也保留了移动能力——在本文中，我们特别关注一类横向滚动步态。运动规划框架是以的蛇形机器人的运动结构基础，通过规定的插值点拟合一个三维样条曲线。曲线在以线性爬行的情况下，定义了一个路径为该蛇形机器人在做匍匐前进运动。对于滚动的步态，我们是通过曲线形态来定义的蛇形机器人的形态，因为它反复的滚动实质是以其自身的中心为轴线的滚动。本文中概述的框架，可以适应广泛的模块化蛇形机器人。通过计算关节角度轨迹结果数值来表明两个不同的滚动步态。I、简介蛇形机器人有判断复杂的障碍物领域的潜力，使它们在困难的救援和检查任务的应用成为的理想选择。像本文中所描述的的耦合流动性设计通过使用外部与内部引起的身体动作相结合的轮子或脚在穿越各种地形类型，但与蛇形结构提供了更大的灵活性，有相关的挑战是大量需要协调运动的关节。在一般领域已经有相当数量的蛇形机器人运动的研究。大部分的工作是集中在运动装置的内部所产生的弯曲而不借助于具有活性的轮子或脚［1］，［2］，［3］。例如，Hirose［1］分析的和发展蛇的滑行运动，除其他创新的动力，“换档控制”的概念，使一类刚性连接蛇形机器人在其底部与被动轮的平面滑行如真正的蛇一般。蛇形机器人从头部到尾部向下移位的关节角度的正弦序列显示出效果的向前运动，并通过加入一个恒定的偏置的正弦序列，可进行转向。通过使用这种技术的变化，一些研究人员已经证明基本的平面控制的蛇形机器人［1］。Chirikjian［3］，［5］，［6］，［7］开发了一种三维“主干曲线”基于“超冗余”运动的冗余分辨率技术的运动学框架。通过这种方法，运动学超冗余机器人的整体形状是由一个参数化球形的孤长曲线和一组相关联的连续变化它们共同构成的骨干曲线的坐标框架来指定。运动的问题是减少在选择一个合适的随时间变化的主干曲线对应于所期望的步态。一旦主十曲线被指定时，通过拟合的离散运动的机器人的结构的连续性来确定主干曲线确定所需的关节角度。这是通过超冗余机器人分割成一系列的运动学足够的模块（一般的空间的情况下是六自由度），并以均匀的参数间隔采样的主十曲线，以获得所需的模块位置和方向。这一总的拟合算法，各个模块的端点都配备独立的主十曲线和关节角度的计算可以被并行地执行。然而，应当指出的是这曲线拟合程序是不适合于运动的结构，由于不具备足够的运动自由度，要考虑超冗余的问题。拟合程序假定组成的一系列的六自由度模块的运动结构初始情况，而大量实用蛇形机器人设计，包括本文中所述的一个，是由有限数量的两个自由度的模块。模拟任意地形为球形孤长参数化的路径也是繁琐的。然而，这个想法是很自然的把蛇形机器人运动规划一条连续的曲线和随后的“拟合”实际运动的曲线结构并且有一些研究人员（例如，［8］，［9］），已经应用的变化的Chirikjian的基本方法来生成的蛇形机器人步态。在这项工作中，我们进一步的把现有整套的蛇形机器人的研究发展一般的三维运动规划算法，为一个的耦合流动性，像蛇一样的移动机器人（如图1，2）。蛇形机器人是由一系列的本地驱动，肌腱驱动的，两个自由度的模块。每个模块都配备有一组由单个电机驱动的脚在蛇形机器人后部配备一个独特的灵活驱动轴。机器人的设计是在［4］中详述。蛇形机器人的运动规划框架需协调大量的关节，因为它沿曲线或执行基于形状的横向滚动步态爬行。在［3］，［5］，［6］，［7］，一般的想法是使用的弧长参数化曲线，以指定的形机器人的形态被采用，但选择的不同的参数曲线有不同的拟合算法。在本文中所制定的框架也可以适用于范围广泛的实用的模块化蛇形机器人的设计。图1两自由度模块的蛇形机器人［4］处理器电路板 关节运动电机图2CAD渲染的蛇形机器人［4］本文的其余部分安排如下：第二节开始描述蛇形机器人的正向运动学模型。在第三部分是设计一个合适的算法，使蛇形机器人假定的插值样条曲线的形状。使用该方案，生成插值点由蛇形机器人或人类操作者来定义期望的横向滚动的爬行或所期望的形状的路径上的传感器。蛇形机器人然后持续，因为它装配到内插路径曲线抓取向前或辊绕其中心轴线。最后，数值结果表明所需的关节角度轨迹计算为两个不同的滚动步态。II、正向运动学模型模块向前运动学在本节中的有关蛇形机器人的关节角度的正向运动学模型，其环节到的位

置和方向。由于蛇机器人组成了一系列独立的，相同的2自由度的“模块”，正向运动学模型的整个蛇形机器人如下从分析单个模块。一个模块由一对刚性的环节和两个正交轴的万向接头构成（如图3）。关节角度q,i=1,...,4,相关联的一对万向节的驱动的电缆受制于使q=q和q=q的变换。'关节角度的充分描述的机器人的物理结构根据在[4]中描述的转花，可以得到作为电动机的编码器计数。当模块技术上是一个封闭的链路结构中，也可以用作标准的串行结构的关节角度的平等对待。图3模块运动学结构[10]在该模块中的每一个环节的位置和方位相对于前一个环节由转换向量Xi-1和一个旋转矩阵Ri-1来，这反过来又定义的坐标系统，称为下一个环节的坐标系，依此类推，直到‘最后一个环节。第i个环节其特征在于，在4X4齐次变换矩阵：（1）'R「X「'（1）IOT 1J所以，由于它改变了齐次向量转化环节i-1的坐标Xi-1=[X,y,z，1]T到环节i的坐标Xi-1=[u,v,w]T。变化矩阵Ai-1的表达式由标准的Denavit-Hartenberg参数a,d,a和q来表示，他们分别表示环节i的长度，偏移，转动和关节角度：其中，’如所示，’中间连结的变换矩阵的广义坐标q和q的函数。等式（3）被称为一个模块作为正向运动学模型，它描述了独立的关节角度和模块的前端位置和方向之间的关系。A："A："1_COS(Qi)—sin(gi)cos(Qi)siu[q-i)sin(qi)aicos(^)曲1（如）cos(lji)cos(cti)—cos(gt)siii(cti)aisin(qi)0sin(ati)cos(oti)0001（2）蛇形机器人模块中运用的Denavit-Hartenberg参数的数值列于表1，这是要注意的是一个两个自由度的万向接头被概念化为一个自由度环节，并通过长度为零的连杆和另一个正交一个自由度环节（万向接头）。我们发现在该模块中的任何其他连结的环节的位置和方向可由连续的坐标变换得到相邻环节。特别是，模块的前端位置和方向相对于模块的基础框架的齐次变换矩阵由下式给出：T(q1,q2)=A0(q)A1(q)A2(q)A3(q)=1 1 2 2 3 3 4 4（3）,Q（q1,q「pT(q1,q2)=A0(q)A1(q)A2(q)A3(q)=1 1 2 2 3 3 4 4（3）】Ot 1 /其中，如所示，中间连结的变换矩阵的广义坐标q和q的函数。等式（3）被称为一个模块作为正向运动学模型，它描述了独立的关节角度和模块的前端位置和方向之间的关系。

表1模块中的Denavit-Hartenberg参数aidiai环节100-n/2环节2L0n/2环节300-n/2环节4L0n/2考虑到p(q,q)机械关节限制—兀/6<q,q〈兀/6,图4显示了所有可达的模图4模块可到达的工作区块表面的前端位置。2 12图4模块可到达的工作区模块差动运动学(4)除了模块的前端位置和方向分析，它是必要的研究的关节速度之间的关系，和模块前端的速度。忽略了瞬时的关节约束，前端位置p可以正式区分通过使用链式法则得到：(4)p=Jq其中，

分别是基坐标系中模块前端的速度，模块的关节速度矢量和3X4的模块雅可比（Jacobian）矩阵。模块雅可比矩阵可通过标准的方式来获得一个串联式机器人D-HDenavit-Hartenberg）参数［11］。关节角度的约束条件，可以解释为q=q和q=q在（4）13 2 4式中，同时相结合雅可比矩阵列的行列，表示如下：TOC\o"1-5"\h\zJ=J1+Ja|J2+J4］ ⑹其中，J是（4）式中雅可比矩阵中的第z•行。现在模块的向前运动学模型的差动表达式可以用广义的坐标q,q表示：\o"CurrentDocument"P=Jq ⑺其中，J（q「q2）是一个3X2的矩阵和4是模块的关节速度q「q2的2X1独立向量。\o"CurrentDocument"蛇形机器人正向运动学模型 12蛇形机器人像是一个个独立的模块从一端到另一端连接起来的一条链条，前一个模块式后一个模块的基础（如图5）。蛇形机器人向前运动的模型是模块向前运动的模型相似的。同样，肌腱布线安排施加在第•个模块中的关节角度的以下约束条件：^41—3= 941—1Q^i—2= Q4i (8)其中才把q,q看作广义的坐标。在相对于所述第一个模块的基础上，蛇形机器人的第•个模块的前端位'置可由连续相邻的模块之间成功的定义转换：(9)iT0=nTj-1（q,q）(9)i j 4j-34j-2从模块中的运动方程（3）得到的单个的Tj-1（043,04*）。最后，一个基础的改造，以及相对于一个全局的参考坐标系的变换给出在全局坐标系中的第i个模块前端的位置和方向的：(10)Tref=TrefTbaseT0

i base0i(10)III、曲线拟合在第II部分中拓展的向前运动学模型给有效地出了模块的相对位置和方向，蛇形机器人的形状作为在独立的关节角度的函数。运动学逆解是，以确定所需的爬行路径沿着所希望的路径，同时保持所需的形状或滚动的关节角轨迹。我们进行细分运动学逆解的产生路径所需的导航点作为一项独立的工作，拟合蛇形机器人的路径，因为它匍匐前进，或横向滚动，通过反复的曲线拟合蛇形机器人，最后产生连续的关节角度轨迹到。A.生成路径局部的样条插值算法是适当的，产生沿着不同的地形和复杂的障碍领域或指定为一个横向滚动步态产生所需的形状。总的想法是由操作员或蛇形机器人的传感器所产生的轨迹来指定对的插补点。轨迹插补算法应该是局部的，这样生成曲线可以包含额外的点，但不影响或改变了整个曲线的。特别是，局部可以选择Hermite二次样条插值，因为它能够提供光滑和保持形状的插值[12]。图5蛇形机器人的运动结构由于三维内插点p=[x,y,z]，i=1,...,n表示在全局坐标框架的序列中，一1iii个共同的参数需计算的：t=0，t=t+寸(Ax)2+(Ay)2+(Az)2,i=1,...,n-1 (11)1 i+1i i i i弦长参数化(11)具有的优点是如果弦长和圆弧长度足够靠近在一起，它越接近的内插点的插值曲线，。三维路径曲线s(t)=[s(t),s(t),s(t)]T是分别构建通过点生xyz成(X,t),(y,t),(z,t)单独的一维插值s⑴，s⑴，s(t)。B.模琪曲线的拟合 '' X'Z一旦合适的路径曲线s(t)已经产生，蛇形机器人通过拟合曲线上一个又一个的模块承担着曲线的具体形状。通过与正向运动学模型的推导，整个蛇形机器人的曲线拟合程序可以扩展为分析单个模块。一个模块被安装到被所述曲线上时，为其基底和前端相交的曲线。参看图6和假设模块已经是在曲线上的和适当导向的基础上，有个问题是，要确定独立的关节角q和q，使得模块的前端接触曲线s(t)的某个点上。只要曲线不会弯曲到某种的程度，使它未能可达前端位置p(q,q)的表面相交在机械上可行的关节角度解决办法将存在。通过关节角度解决办法中发现使用一个迭代过程的基础上可得到模块的运动的一阶近似到方程如下所述。前端位置可到达的表面近似半径为两倍的链路长度球体，并在该曲线的参数t*的近似球体相交发现使用二等分。如果脚的位置是在s(t0)，解决t*〉t0的办法必须满足条件是|s(t*)-s(t°)|=2L，其中L是一个模块链接的长度。虽然点s(t*)是不完全可达的前端位置的表面上，一个近似的关节角度解决方案可以得到从模块的速度运动学。从式(7)，得到以下的第一阶近似的运动学方程：

5p=J5p=J5q其中的3X1的矢量5p的是一个递增的模块前端位移和5q是一个2X1关节的位移矢量。方程(12)是一个超定系统的线性代数方程组的精确解不存在一般。然而，将最小二乘解代入，可以得到使用的伪逆J。给出期望的模块的前端位置s(t*)和一个初始的关节结构q=。，形成模块前端位移e=s(t*)-p(q)近似的关节位移解为：(13)5q=J+e(13)s(t)-s(t)=p(q)(14)式中，J+是J的伪逆。通过设定q=p+5qs(t)-s(t)=p(q)(14)更新的误差矢量e=s(t*)-p(q)，并且迭代到方程(13)中，直到关节角度变化5q是所期望的误差以下。图6模块曲线的拟合图6模块曲线的拟合C.前进拟合对于插值曲线拟合单个模块的程序可以直接延伸到适合一系列的一个接一个的模块。主要的并问题是在记录模块之间的所有的坐标变换。第一步，全局的变换T冲的旋转分量的Qre分配使得对齐的曲线的切线在base bases(t)和£分量的£分量是沿着地形表面法线：yz必)00 1这样做的目的是脚放置在地面上的曲线的方向和所述第一模块平面上。使用上述的迭代过程装配第一个模块后，其前端位置p河变为所述第二模块的基准位置(如图7)。同样地，参数t*对应的所需第一模块的前端位置s(t*)成为所述第二模块的基础上的位置对应的曲线参数为t。接着，剩余的蛇形机器人的模块一个接一个的安装到先前使用的描述的迭代求解技巧的曲线中。由于插值曲线s(t)在全局参考坐标系的自然表达，通过二等分程序用于确定所需的模块的前端位置s（t*）在全局坐标。对应的第i个所需的模块前端位置s（t*）的参数t*的条件是:s(t*)-p国i-s(t*)-p国i-1=2L（15）在另一方面，运动方程（3）和（12）在当前模块中的基础坐标是有效的，所以从（13）的得到的关节角度进行计算当前模块中的坐标，并以前的（i-1）个模块前端方向这是已知的条件：（a）计算所需的前端位置（b）关节角度的解决方案图7第二个模块拟合程序在方程（13）中每次迭代所需的前端位移e是（17）e=s（t*）i-1-pi（q.,q.）（17）其中s（t*）为已转化为的模块基础坐标：在各关节角度的计算结束时，独立的关节角度q,q被用来计算变换的T-（q4.3，q如②），最后得到"。"是第i个模英的前端的位置和方向，并指定是必要的信息: 又后退拟合蛇形机器人向后运动的运动结构本质上是和向前运动相同的。作为这种对称性的结果，它是可以作为两个独立的部分具有相同的运动结构一一面向前部和一个面向后一一连接于一个共同的基础来处理蛇形机器人的运动。即，一个具有8模块的蛇形机器人前进和后腿分别具有8-k和k模块，其中k=1,...,7。以前得到的所有的运动方程适用于前进和后退两个运动。前方和后方的部分可以独立地装配到曲线，并且可以并行执行的两个部分的相关关节角度的计算。前部的装配，如前一节中描述。第一模块用基体被假定为s（t）处的曲线上的，选择基本的变换T冲，以便沿曲线的表面和指向的第一模0 base,f块的脚对准。后部分的基础变换T祖必须通过前部基础变换T冲所获得，如base,r base,f下所示：Tref=Trefrotz（i）transl（［L00］） （18）base,r base,f其中L是链路长度（如图8）。显然，对于后段参数t*所对应于前端位置是严格递减（即，装配所得的向后沿曲线）。在所有其它方面，后段装配的过程同前部分是相同的。拟台向前（增亳T） 拟合向后图8蛇分为前部和后部E・爬行运动拟合算法可以用来产生让蛇形机器人沿一个三维的路径爬行连续的关节角度轨迹。在下面的讨论中，假定合并的向前/向后的拟合程序，虽然原来的结论经过轻微修改也适用于纯正向拟合或纯向后拟合。由前述可知，如果插补点足够接近的路径，那么参数t的值越接近的插值曲线的孤长。由于蛇形机器人沿着一个插值曲线s（t）向前爬行时，曲线参数为t相应于所需的位置s（t0）的增加的前伸部分就是孤长的变化量。关节角轨迹生成通过执行增加值t拟合算法（即，p闾=s（t）和Q冲=［父勺z］初始化的拟合0 base,f 0 base,f算法）。因此，所需的关节角度的轨迹是关于曲线参数t的函数，其中t对应于所需的蛇形机器人前部的基础位置s（t0）。 0 0图9所示了一个8模块蛇形机器人沿着一个三维的路径通过拟合向前/向后爬行，通过适合的程序与相等数量的模块分配蛇形机器人的前部和后部。更精确地，如图9（a）-9（c）显示蛇形机器人的三张图片所示，沿路径曲线的在等距弧长参数（t=20，28，和36）的情况。图9蛇形机器人爬行沿曲线。（a）-（c）三张图片显示了蛇形机器人沿着等距的弧长参数为（t=20，28，和36）路径曲线图。F・滚动运动学滚动的步态是通过反复的曲线拟合蛇形机器人滚动的曲线的切线产生的。在通常的方式中蛇形机器人的最初适合一个所需的曲线，是由蛇形机器人的旋转分量Q向 的正向部分基础变化T向分配，X分量表示的是对齐曲线在S（t）处的切base,f base,f线方向和z分量表示的是沿的地形表面的法线方向。接着，基础变换有关的曲线的切线通过滚动角。的变化旋转增量变化（即，Tref乘以rotx（中））和蛇形机器base,f人的曲线再次拟合。随着滚动角。从。=0到0=2兀的变化，就可生成一个完整周期的关节角度轨迹滚动的步态。因此关节角度的轨迹就是有关于滚动角。的函数。图10所示为八模块的蛇形机器人执行一个完整的周期的圆弧滚动步态图。图10（a）-（C）三张图显示在等距间隔的滚动角（0=0,我，4^）的步态图。完整的步态周期的连续的关节角的度轨迹如图10（d）-（g）所示。图10圆弧横向滚动步态。蛇形机器人执行一个完整的步态周期的曲线的切线随着滚动角02兀4兀从0=0到0=2兀变化的。（a）-（c）三张图显示在等距间隔的滚动角（0=0,—，—）。3 3完整的步态周期的连续的关节角的度轨迹如（d）-（g）所示。图11显示了蛇形机器人执行一个完整周期的一个更复杂的向上爬杆的螺旋滚动步态设计。我们的想法是使蛇形机器人绕着本身周围的杆形成成螺旋形状，然后向上“滚”动。其中，图11（a）-（c）三张图显示在等距间隔的滚动角（。=0,邑，生）。完整的步态周期的连续的关节角的度轨迹如图11（d）-（g）3 3所示。图11螺旋滚动步态设计的向上爬行。蛇形机器人执行一个完整的步态周期的曲线的切线变化随滚动角4从4=0到。=2兀的变化（a）-（c）三张图显示在等距间隔的滚动角。=0,2丸，4丸）。完整的步态周期的连续的关节角的度轨迹如（d）-（g）所示。33W、结论在本文中，描述了一个非常灵活的耦合机动性的蛇形机器人爬行和滚动一个三维运动的框架的规划。概括来说，产生几个路径插补点，通过蛇形机器人上的传感器或操作人员来产生，当它向前爬行或绕其自身的中心轴线滚动时，构造出一个内插的样条曲线和蛇反复拟合后的曲线。复杂的避障任务也自然地纳入到这个框架中，因为插值样条曲线可以很容易地构建跨越通过周围的障碍。虽然本文讨论的是特定于如图1和2所示的蛇形机器人，但在运动过程可以很容易地推广到其他所谓的“耦合机动性”蛇形机器人的设计（例如，［13］），通过使用外部的轮子或脚在内部引起的身体动作相结合，穿越各种地形类型。参考文献：S.Hirose,Biologicallyinspiredrobots:snake-likelocomotorsandmanipulators.Oxford;NewYork:OxfordUniversityPress,1993.K.Dowling,“Limblesslocomotion:Learningtocrawlwithasnakerobot,”Ph.D.dissertation,CarnegieMellonUniversity,1997.G.S.Chirikjian,“Theoryandapplicationsofhyper-redundantroboticmanipulators,”Ph.D.dissertation,Dept.ofAppliedMechanics,CaliforniaInstituteofTechnology,1992.R.Primerano,“Aserpentinerobotdesignedforefficientrectilinearmotion,”Master’sthesis,DrexelUniversity,2005.J.W.Burdick,J.Radford,andG.S.Chirikjian,“A‘sidewinding’locomotiongaitforhyper-redundantrobots,”IEEEConf.OnRoboticsandAutomation,pp.101-106vol.3,1993.G.S.ChirikjianandJ.W.Burdick,“Thekinematicsofhyperredundantrobotlocomotion,”