北京第十四中学分校高二数学理上学期期末试题含解析

北京第十四中学分校高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3参考答案：A【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，A，S的值，当S=时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．2.已知x、y的取值如下表所示：

x0134ym从散点图分析、y与x线性相关，且，则m的值为A、6.4

B、6.5

C、6.7

D、6.8参考答案：C3.已知mn≠0，则方程mx2+ny2=1与mx+ny2=0在同一坐标系下的图形可能是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】曲线与方程．【分析】由mn≠0，分m、n同号或异号讨论，即可得到结论．【解答】解：方程mx+ny2=0即y2=﹣x，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（mn≠0）表示椭圆或双曲线．当m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（mn≠0）表示椭圆，无符合条件的选项．当m和n异号时，抛物线

y2=﹣x开口向右，方程mx2+ny2=1表示双曲线，故选A．4.已知：，则=（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A令，则，

故5.观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（）A．28 B．76 C．123 D．199参考答案：C【考点】F1：归纳推理．【分析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数列的递推规律求解．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10=123，．故选C．6.《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】用列举法得出：抛掷三枚古钱币出现的基本事件的总数，进而可得出所求概率.【详解】抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故概率为.故选C【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.7.在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】几何概型．【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cosx的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为∵解得或∴“cosx的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为由几何概型概率公式得cosx的值介于0到之间的概率为P=故选A．8.两平行直线：，：的距离为,则m=A.-42

B.18或-34

C.5或21

D.10或-42参考答案：D略9.设，则是的

（

）A．充分但不必要条件

B．必要但不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10.设且则此四个数中最大的是（）ＡＢＣＤ参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（2）中的三视图表示的实物为_____________。

参考答案：（1）

（2）圆锥

12.关于平面向量a，b，c.有下列三个命题：①若a·b=a·c，则b=c.②若a=（1,k），b=（—2，6），a//b，则k=—3.③非零向量a和b满足，则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为__________.（写出所有真命题的序号）参考答案：②13.直线经过定点的坐标为

.参考答案：(2,0)直线方程即：,结合直线的点斜式方程可知，直线经过定点的坐标为

14.设函数,若是偶函数，则

__________.参考答案：15.抛物线上与其焦点的距离等于的点的坐标是

；参考答案：16.直线经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，则___________.参考答案：1略17.若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．参考答案：﹣2【考点】基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝ax＋lnx(a∈R)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设g(x)＝2x，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈[0,1]，使f(x1)＜g(x2)，求实数a的取值范围．参考答案：解：(1)f′(x)＝1＋(x＞0)，f′()＝1＋2＝3.故曲线y＝f(x)在x＝处切线的斜率为3.(2)f′(x)＝a＋＝(x＞0)．①当a≥0时，由于x＞0，故ax＋1＞0，f′(x)＞0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；②当a＜0时，由f′(x)＝0，得x＝－，在区间上f′(x)＞0，在区间上f′(x)＜0.所以，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)由题可知，若对任意x1∈(0，＋∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)＜g(x2)，转化为[f(x)]max＜[g(x)]max，而[g(x)]max＝2.由(2)知，当a≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，值域为R，故不符合题意．(或者举出反例：存在f(e3)＝ae3＋3＞2，故不符合题意．)当a＜0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)的极大值即为最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.所以，a的取值范围为略19.（14分）（2011?西安校级模拟）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，AB=BC=2，O是底面对角线的交点．（Ⅰ）求证：B1D1∥平面BC1D；（Ⅱ）求证：A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）求三棱锥A1﹣DBC1的体积．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）直接根据B1D1∥BD，以及B1D1在平面BC1D外，即可得到结论；（Ⅱ）先根据条件得到BD⊥平面ACC1A1?A1O⊥BD；再通过求先线段的长度推出A1O⊥OC1，即可证明A1O⊥平面BC1D；（Ⅲ）结合上面的结论，直接代入体积计算公式即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：依题意：B1D1∥BD，且B1D1在平面BC1D外．（2分）∴B1D1∥平面BC1D（3分）（Ⅱ）证明：连接OC1∵BD⊥AC，AA1⊥BD∴BD⊥平面ACC1A1（4分）又∵O在AC上，∴A1O在平面ACC1A1上∴A1O⊥BD（5分）∵AB=BC=2∴∴∴Rt△AA1O中，（6分）同理：OC1=2∵△A1OC1中，A1O2+OC12=A1C12∴A1O⊥OC1（7分）∴A1O⊥平面BC1D（8分）（Ⅲ）解：∵A1O⊥平面BC1D∴所求体积（10分）=（12分）【点评】本题主要考查线面垂直与线面平行的证明以及三棱锥体积的计算．是对立体几何知识的综合考查，难度不大，属于中档题．20.求由曲线所围成的图形的面积.参考答案：解方程组得交点横坐标为.因此所求图形的面积为

21.某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查统计，其中学习积极性高的25人中有18人能积极参加班级工作，学习积极性一般的25人中有19人不太主动参加班级工作．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．参考答案：解：(1)统计数据如下表所示：

（4分）(2)由统计量的计算公式＝≈11.54，

（8分）由于11.54＞10.828，所以有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．

（10分）略22.如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，

为的中点（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离参考答案：解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、、、

、、，

…………2分从而