2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

第第页2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市南岗区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()

A.对角线相等B.对边相等C.对角相等D.对角线互相平分

2.用配方法解方程，变形后的结果正确的是()

A.B.C.D.

3.在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过()

A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限

4.某农家前年水蜜桃亩产量为千克，今年的亩产量为千克．设从前年到今年平均增长率都为，则可列方程()

A.B.

C.D.

5.某天，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家在整个过程中，小辉离家的距离单位：与他所用的时间单位：之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为．()

A.，B.，C.，D.，

6.如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是，，下列各地点中，离原点最近的是()

A.超市B.医院C.体育场D.学校

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.在函数中，自变量的取值范围是______．

8.若是一元二次方程的一个根，则______．

9.如图，一次函数的图象交轴于点，则不等式的解集为______．

10.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，共有______个队参加比赛．

11.如图，一根长为的牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度，则的取值范围是______．

12.如图，把菱形沿折叠，落在上的点处，若，则的大小为______．

13.在中，，边上的高为，则的长为______．

14.如图，的对角线与相交于点，，若，，则______．

15.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数例如把放入其中，就会得到现将实数对放入其中，得到实数，则______．

16.如图，点是正方形外一点，连接，，且，过点作于点，连接，若，，则的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

解方程：．

18.本小题分

如果表示大于的整数，，，，求证：，，为勾股数．

19.本小题分

直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点求的面积．

20.本小题分

定义：在平面直角坐标系中，如果点，为某个菱形相邻的两个顶点且该菱形的两条对角线分别与轴，轴平行，另外两个顶点中有一个点的纵坐标小于，两点的纵坐标，那么称该菱形为点，的“相关菱形”如图所示，为点，的“相关菱形”的示意图已知点的坐标为，点的坐标为．

如果，在图中画出点，的“相关菱形”，并求出该菱形的面积；

如果点，的“相关菱形”为正方形，在图中画出相应图形，请直接写出的值．

21.本小题分

已知：方程是关于的一元二次方程．

求的值；

若该方程无实数根，求的取值范围．

22.本小题分

已知：点、在的对角线上，且，连接，，，．

如图，求证：四边形是平行四边形；

如图，当时，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于面积的．

23.本小题分

已知：是的斜边上的中线，点在上，连接，且．

如图，求证：；

如图，当时，过点作于点，若，求线段的长．

24.本小题分

某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的进价相同，购进情况如表所示：

进货批次甲种水果质量

单位：千克乙种水果质量

单位：千克总费用

单位：元

第一次

第二次

求甲、乙两种水果每千克的进价；

销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动第三次购进甲、乙两种水果共千克，其中进价不变，且投入的资金不超过元将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克元、乙种水果以每千克元的价格销售若第三次购进的千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于元，求正整数的最大值．

25.本小题分

如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴，轴于点，．

求的度数；

点是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，其中，连接设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；

在的条件下，点为轴正半轴上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点，若，，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由于矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，

故矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是对角线相等．

故选：．

由于矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有一般平行四边形的性质；矩形具有对角线相等这个性质，一般的平行四边形不具有，根据选项即可得到本题答案．

本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，侧重考查知识点的理解、应用能力．

2.【答案】

【解析】解：方程，整理得：，

配方得：，即，

故选：．

方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．

此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

3.【答案】

【解析】解：在正比例函数中，

，

正比例函数的图象经过第二、四象限，

故选：．

根据正比例函数中的符号即可确定正比例函数的图象经过的象限．

本题主要考查了正比例函数的性质，熟记“当时，正比例函数的图象经过第二、四象限”是解决问题的关键．

4.【答案】

【解析】解：去年水蜜桃的亩产量为，今年水蜜桃的亩产量在去年水蜜桃的亩产量的基础上增加，

为，则列出的方程是，故选C．

可先表示出去年水蜜桃的亩产量，那么去年水蜜桃的亩产量增长率，把相应数值代入即可求解．

考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．

5.【答案】

【解析】解：由题意，得：

小辉从家去图书馆的速度为：；

小辉从图书馆回家的速度为：．

故选：．

根据题意可知小辉家与图书馆的距离为，去图书馆花了分钟，回来时用了分钟，再根据“速度路程时间”列式计算即可求解．

本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键．

6.【答案】

【解析】解：如右图所示，

点到超市的距离为：，

点到学校的距离为：，

点到体育场的距离为：，

点到医院的距离为：，

，

点到超市的距离最近，

故选：．

根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．

本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系．

7.【答案】

【解析】解：由题意得，，

解得．

故答案为：．

根据分母不等于列式计算即可得解．

本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；

当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

8.【答案】

【解析】解：是一元二次方程的一个根，

，

解得，

故答案为．

把代入方程式，得到的一元一次方程，解出的值即可．

本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是把代入方程求出的值，此题比较简单．

9.【答案】

【解析】解：由题意知一次函数的图象交轴于点，并且函数值随的增大而增大，

则不等式的解集是．

故答案为：．

不等式的解集为直线落在轴上方的部分对应的的取值范围．

本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的应用，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了场列出关于的一元一次方程是解题的关键．设共有个队参加比赛，根据每两队之间都进行两场比赛结合共比了场即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．

【解答】

解：设共有个队参加比赛，

根据题意得：，

整理得：，

解得：或舍去．

故答案为．

11.【答案】

【解析】解：当牙刷与杯底垂直时最大，最大．

当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时最小，

如图，此时，，

则．

的取值范围是．

故答案为：．

根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．

此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．

12.【答案】

【解析】解：菱形沿折叠，落在边上的点处，

，

，

，

在菱形中，，，

，

，

，，

，

，

．

故答案为：．

根据翻折变换的性质可得，然后根据等腰三角形两底角相等求出，根据菱形的四条边都相等可得，菱形的对角相等求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据计算即可得解．

本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，翻折前后对应边相等，菱形的四条边都相等，对角相等．

13.【答案】或

【解析】解：分两种情况：

如图，当是钝角时，

边上的高为，即，

，

，

，

中，，

，

；

如图，当是锐角时，

边上的高为，即，

，

，

，

中，，

，

，

综上，的长为或．

故答案为：或．

分两种情况：

如图，当是钝角时，

如图，当是锐角时，

先根据勾股定理计算的长，根据等腰直角三角形可得的长，从而得的长．

本题考查了勾股定理，在解答此题时注意要分类讨论，不要漏解．

14.【答案】

【解析】解：的对角线与相交于点，

，，

，，，

，

，

故答案为：．

利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．

本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．

15.【答案】

【解析】解：由题意可得：

，

则，

解得：．

故答案为：．

直接利用新定义代入，进而计算得出答案．

此题主要考查了实数的运算，正确正确运用新定义是解题关键．

16.【答案】

【解析】解：过点作于，过点作于，于，

，，，

四边形为矩形，

，

四边形为正方形，，

，，

，

又，

，

，

在和中，

，

≌，

，

设，则，，

在中，，，，

由勾股定理得：，

即：，

解得：或不合题意，舍去，

，，

，，，

四边形为矩形，

，，

由三角形的面积公式得：，

，

，

在中，，，

由勾股定理得：，

在中，，，

由勾股定理得：．

故答案为：．

过点作于，过点作于，于，先证四边形是矩形，再证和全等得，进而由勾股定理求得，，然后证四边形是矩形，根据三角形的面积和勾股定理求得，，最后在中利用勾股定理即可求得．

本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造矩形和全等三角形是解答此题的关键．

17.【答案】解：方程化为，

，，，

，

方程有两个不等的实数根，

，

即，．

【解析】将一元二次方程整理成一般形式，然后利用公式法解方程．

本题考查公式法解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程的步骤是解题关键．

18.【答案】证明：，，为勾股数，理由如下：

．

又，

．

即：，，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．

，，为勾股数．

【解析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．

19.【答案】解：如图所示：

联立，

解得，

点坐标为，

当时，，

点坐标为，

当时，，

点坐标为，

，

的面积为．

【解析】在平面直角坐标系作出直线和，再求出点、和的坐标，再根据三角形面积公式计算即可．

本题考查了一次函数的交点问题，三角形面积等，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

20.【答案】解：

点的坐标为，

根据“相关菱形”的定义得：线段只能是点，“相关菱形”的一边，轴为对角线，

过点作轴于点，在的延长线上截取，

则点为点，“相关菱形”的一个顶点，

在的延长线上截取，

则点为点，的“相关菱形”的另一个顶点，

过点，，，作四边形为所求，

则四边形为点，的“相关菱形”．

理由如下：

，，

四边形为平行四边形，

又，

四边形为菱形．

点，点，

，，

点的坐标为，，

，，

，，

．

点在轴上，点，

根据“相关菱形”的定义得：线段只能是点，“相关菱形”的一边，轴为对角线，过点作轴于点，在的延长线上截取，

则点为点，的“相关菱形”的一个顶点，另两个顶点分别在轴上，

点，

，，

点的坐标为，

分两种情况进行讨论：

当点在轴的正半轴上时，

又点，的“相关菱形”为正方形，

，

，

在的延长线上截取，

，

点的坐标为，点的为坐标为，

过点，，，作四边形为所求，此时．

当点在轴的负半轴上时，

同理可得：点，点，此时，

综上所述：点，的“相关菱形”为正方形，的值为或．

【解析】首先确定为菱形的一边，轴为对角线，过点作轴于点，在的延长线上截取，得到菱形的一个顶点，在的延长线上截取，得到菱形的另一个顶点，据此可作出菱形；然后根据，，由菱形的面积公式可求出菱形的面积；

首先确定为正方形的一边，轴为对角线，过点作轴于点，在的延长线上截取，得到正方形的一个顶点，然后分两种情况进行讨论：当点在轴的正半轴上时，根据正方形的性质可得到菱形的另两个顶点，，由点，的坐标可得的值；当点在轴的负半轴上时，的点即为点，点即为点，由此可得的值．

此题主要考查了点的坐标，菱形和正方形的判定和性质，解答此题的关键是理解题目中“相关菱形”的定义，熟练掌握菱形及正方形的性质．

21.【答案】解：方程是关于的一元二次方程，

，，

解得：，，

；

由可得方程：，

方程无实数根，

，

解得：．

【解析】由一元二次方程的定义进行分析即可；

利用根的判别式进行求解即可．

本题主要考查根的判别式，一元二次方程的定义，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．

22.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形是平行四边形，

，，

又，

，

即，

四边形是平行四边形；

解：，，，，理由如下：

由可知，四边形是平行四边形，

，

，，

，，

．

【解析】连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；

由平行四边形的性质得，再由三角形面积关系得，，即可得出结论．

本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

23.【答案】证明：是的斜边上的中线，

，

，

是的一个外角，

，

，

，

，

，

，

，

；

解：，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

线段的长为．

【解析】根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用平角定义可得，再利用直角三角形的两个锐角互余可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答；

先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用的结论可得，，然后根据垂直定义可得，从而在中，利用含度角的直角三角形性质进行计算，即可解答．

本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．

24.【答案】解：设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．

由题意得，

解得，

答：甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．

设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．

由题意，得，

解得．

设获得的利润为元，

由题意，得，

，

随的增大而减小，

时，的值最大，最大值为，

由题意，得，

解得，

的最大整数值为．

【解析】设甲种水果的进价为每千克元，乙种水果的进价为每千克元．构建方程组求解；

设第三次购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果．由题意，得，解得设获得的利润为元，由题意，得，利用一次函数的性质求解．

本