人教A版2023选择性必修第一册综合检测(含解析)

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，，则下列结论正确的是（）

A．，B．，C．，D．以上都不对

2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）

A．B．C．D．

3．如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（）

A．B．C．D．

4．已知直线，其中，则“”是“”的

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（）

A．B．C．D．

7．点是正方体的侧面内的一个动点，若与的面积之比等于2，则点的轨迹是（）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分

8．如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A．B．2C．D．

二、多选题

9．已知曲线，下列说法正确的是（）

A．若，则为双曲线

B．若且，则为焦点在轴的椭圆

C．若，则不可能表示圆

D．若，则为两条直线

10．在平面上有相异两点，，设点在同一平面上且满足(其中，且)，则点的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设，，为正实数，下列说法正确的是（）

A．当时，此阿波罗尼斯圆的半径

B．当时，以为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切

C．当时，点在阿波罗尼斯圆圆心的左侧

D．当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内

11．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（）

A．双曲线是黄金双曲线

B．若，则该双曲线是黄金双曲线

C．若，则该双曲线是黄金双曲线

D．若，则该双曲线是黄金双曲线

12．如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A．直线与所成的角可能是

B．平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

三、填空题

13．已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.

14．已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，则的取值范围为____________．

15．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则______.

16．双曲线的的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值________.

四、解答题

17．已知圆，圆，问：m为何值时，

（1）圆和圆外切？

（2）圆与圆内含？

（3）圆与圆只有一个公共点？

18．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

19．已知点在圆上运动，点坐标为.

（1）求线段中点的轨迹方程；

（2）若直线与坐标轴交于两点，求面积的取值范围.

20．已知等腰梯形，如图（1）所示，，，沿将△折起，使得平面平面，如图（2）所示，连接，得三棱锥.

（1）求证：图（2）中平面；

（2）求图（2）中的二面角的正弦值.

21．已知椭圆:的左右焦点分别是,点在椭圆上，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆相交于、两点，求实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点．

22．已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交抛物线于两点，.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线与抛物线相交于两点，已知，且以线段为直径的圆与直线的另一个交点为，试问在轴上是否存在一定点，使得直线恒过此定点.若存在，请求出定点坐标，若不存在，请说明理由.

人教A版2023选择性必修第一册综合检测(解析版)

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知向量，，，则下列结论正确的是（）

A．，B．，C．，D．以上都不对

【答案】C

【分析】

根据所给向量，求数量积和数量关系，即可得解.

【详解】

，所以，

，，，所以，

，所以，

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量的平行和垂直的判断，考查了向量的数量积和平行向量数量关系的应用，属于基础题.

2．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

倾斜角为的直线与直线垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.

【详解】

解：因为直线与直线垂直，所以，.

又为直线倾斜角，解得.

故选：D.

【点睛】

本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.

3．如图在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱且，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】

先求出，，，，，，再计算即可.

【详解】

解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，

则，，，，，，

则

故选：B.

【点睛】

本题考查向量的数量积，向量的模的计算公式，是中档题.

4．已知直线，其中，则“”是“”的

（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

直线的充要条件是或．故选A．

5．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

设，在椭圆中

，，即

在双曲线中

，即，则

所以，由题知，则椭圆离心率，选A.

点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

6．已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点，在轴上，中心在原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】

先画出图像，再结合双曲线第一定义，三角形三边关系，当点为与双曲线的交点时，取到最小值

【详解】

如图，由双曲线第一定义得①，

又由三角形三边关系可得②（当点为与双曲线的交点时取到等号），①+②得：，故，

由双曲线为等轴双曲线，且焦距为8可得，，则，，，

则

故选：D

【点睛】

本题考查利用双曲线第一定义求解到两定点之间距离问题，数形结合与转化思想，属于中档题

7．点是正方体的侧面内的一个动点，若与的面积之比等于2，则点的轨迹是（）

A．圆的一部分B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分

【答案】A

【分析】

先根据条件与的面积之比等于2，可得，然后建立平面直角坐标系求出点的轨迹方程，即可判断.

【详解】

如图正方体中，

可知平面，平面，

则，

，即,

以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，

设正方体棱长为，设，则，

，

整理得，

点的轨迹是圆的一部分，

故选：A.

【点睛】

本题考查动点轨迹的判断，解题的关键是找出与动点相关的等量关系，利用轨迹方程或曲线的定义判断.

8．如图，，分别是双曲线的两个焦点，以坐标原点为圆心，为半径的圆与该双曲线左支交于，两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A．B．2C．D．

【答案】D

【分析】

连结，利用几何关系表示，,并结合椭圆的定义，得到离心率.

【详解】

连结，则，并且，

，，，即

.

故选：D

【点睛】

思路点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.

二、多选题

9．已知曲线，下列说法正确的是（）

A．若，则为双曲线

B．若且，则为焦点在轴的椭圆

C．若，则不可能表示圆

D．若，则为两条直线

【答案】ABD

【分析】

由，的取值，根据椭圆、双曲线、圆与直线方程的特征，判断曲线表示的形状即可．

【详解】

若，则为焦点在横轴或纵轴上的双曲线，所以正确；

若且，可得，，所以为焦点在轴上的椭圆，所以正确；

若，，是单位圆，所以不正确；

若，则化为，表示两条直线，所以正确；

故选：．

10．在平面上有相异两点，，设点在同一平面上且满足(其中，且)，则点的轨迹是一个圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆.设，，为正实数，下列说法正确的是（）

A．当时，此阿波罗尼斯圆的半径

B．当时，以为直径的圆与该阿波罗尼斯圆相切

C．当时，点在阿波罗尼斯圆圆心的左侧

D．当时，点在阿波罗尼斯圆外，点在圆内

【答案】AD

【分析】

设，根据阿波罗尼斯圆的定义，求得其方程，然后逐项判断.

【详解】

设，所以，

因为，

所以，

A.当时，此阿波罗尼斯圆的半径，故正确；

B.当时，以为直径的圆为，阿波罗尼斯圆为，圆心距为，两半径之和为，两半径之差的绝对值为，不相切，故错误；

C.当时，圆心的横坐标为，所以点在阿波罗尼斯圆圆心的右侧，故错误；

D.当时，点与圆心的距离，在阿波罗尼斯圆外，点与圆心的距离，在圆内，故正确；

故选：AD

11．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是（）

A．双曲线是黄金双曲线

B．若，则该双曲线是黄金双曲线

C．若，则该双曲线是黄金双曲线

D．若，则该双曲线是黄金双曲线

【答案】BCD

【分析】

A选项，，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线.

【详解】

A选项，，不是黄金双曲线；

B选项，，化成，即，

又，解得，是黄金双曲线；

C选项，∵，∴，

∴，

化简得，由选项知是黄金双曲线；

D选项，∵，∴轴，，且是等腰，

∴，即，由选项知是黄金双曲线.

综上，BCD是黄金双曲线.

故选：BCD.

【点睛】

方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求离心率）；（2）方程法（通过已知得到关于的方程，解方程得解）.

12．如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A．直线与所成的角可能是

B．平面平面

C．三棱锥的体积为定值

D．平面截正方体所得的截面可能是直角三角形

【答案】BC

【分析】

对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线D1P与AC所成的角为；对于B，由A1D1AA1，A1D1AB，得A1D1平面A1AP，从而平面D1A1P平面A1AP；对于C，三棱锥D1﹣CDP的体积为定值；对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形．

【详解】

对于A，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

，设

∴直线D1P与AC所成的角为，故A错误；

对于B，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D1AA1，A1D1AB，

∵AA1AB＝A，∴A1D1平面A1AP，

∵A1D1平面D1A1P，∴平面D1A1P平面A1AP，故B正确；

对于C，，P到平面CDD1的距离BC＝1，

∴三棱锥D1﹣CDP的体积：

为定值，故C正确；

对于D，平面APD1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D错误；

故选：BC．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

三、填空题

13．已知圆：与圆：，则两圆的公共弦所在的直线方程为______.

【答案】

【分析】

两圆方程相减可得公共弦所在直线方程．

【详解】

将圆：化为，

联立两圆方程两圆方程相减，得两圆公共弦所在直线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查两圆相交，求公共弦所在直线方程．不需要求出交点坐标，只要两圆方程相减即得．

14．已知圆，过点的直线交圆于A，B两点，则的取值范围为____________．

【答案】

【分析】

由点与圆的位置关系判断出点在圆内部，由圆的对称性求出的最小值，再由弦恰好为直径求出的最大值.

【详解】

由题意可知，该圆的圆心为

因为，所以点在圆内部

由圆的对称性可知，当为弦的中点时，弦最短

且

当弦恰好为直径时，弦最长，即

则

故答案为：

15．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则______.

【答案】0

【分析】

根据向量的运算法则依次代换成形式，即可得出未知数的值.

【详解】

在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，

所以

由题：

所以

即.

故答案为：0

【点睛】

此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可.

16．双曲线的的离心率为，当时，直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，则的值________.

【答案】

【分析】

首先求出双曲线方程，设、两点的坐标分别为，，，，线段的中点为，，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合已知条件求解即可．

【详解】

解：当时，，所以，又，得

所以双曲线的方程为．设、两点的坐标分别为，，，，线段的中点为，，

由，得（判别式△，

，，

点，，在圆上，，．

故答案为：

【点睛】

本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查直线与双曲线相交问题及中点弦问题，属于中档题．

四、解答题

17．已知圆，圆，问：m为何值时，

（1）圆和圆外切？

（2）圆与圆内含？

（3）圆与圆只有一个公共点？

【答案】（1）或；（2）；（3）m的值为或或或2.

【分析】

把圆，圆的方程化为标准方程，

（1）根据圆心距等于半径之和即可求解.

（2）根据圆心距小于半径之差即可.

（3）根据两圆相切包含内切、外切即可求解.

【详解】

把圆，圆的方程化为标准方程，

得圆，圆.

（1）如果圆与圆外切，那么，

即，解得或，

即当或时，两圆外切.

（2）如果圆与圆内含，那么，

即，解得，即当时，两圆内含.

（3）如果圆与圆只有一个公共点，那么两个圆相切，因此或，

解得或或或，

即当m的值为或或或2时，两圆只有一个公共点.

【点睛】

本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

18．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】

（1）以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建系，可得点、M、、D的坐标，进而可得的坐标，利用数量积公式，即可得证；

（2）分别求得平面和平面的法向量，利用向量法即可求得二面角的余弦值，即可得二面角的正弦值；

（3）求得的坐标，由（2）可得平面的法向量，利用线面角的夹角公式，即可求得结果.

【详解】

（1）证明：依题意，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

可得，，，，

，，，，.

依题意，，

所以，

所以.

（2）因为，，

所以平面，

所以是平面的一个法向量，

又，.

设为平面的法向量，

则，即，不妨设，可得，

，

∴，

∴二面角的正弦值为.

（3）依题意，，由（2）知为平面的一个法向量，

设与平面所成角为，

所以，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】

本题考查线线垂直的证明，线面角、二面角的求法，易错点为求二面角的正弦值，需用三角函数进行转化，而求线面角时，法向量与直线方向向量所成角的余弦值即为线面角的正弦值，不需要转化，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

19．已知点在圆上运动，点坐标为.

（1）求线段中点的轨迹方程；

（2）若直线与坐标轴交于两点，求面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）利用中点坐标公式，进而求解线段中点的轨迹方程即可

（2）利用点到直线的距离公式，进行求面积的取值范围即可

【详解】

（1）已知点在圆上运动，点坐标为

设的中点为，，由中点坐标公式可知，

所以代入圆中，

故线段中点的轨迹方程为

（2）圆化为，

圆心，半径为1，圆心到直线l的距离为，则圆上一动点到直线的距离的最小值是，最大值是，又，所以面积

【点睛】

关键点睛：利用中点坐标公式以及点到直线的距离公式求解即可，属于基础题

20．已知等腰梯形，如图（1）所示，，，沿将△折起，使得平面平面，如图（2）所示，连接，得三棱锥.

（1）求证：图（2）中平面；

（2）求图（2）中的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）根据面面垂直的性质定理即可证面；（2）构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，即可得，，，，可求得二面角对应的法向量，进而根据法向量夹角与二面角关系即可求得二面角的正弦值

【详解】

（1）等腰梯形，，，知：且，，即Rt△中

∴，又面面，面，而面面

∴面

（2）如下图示，构建以C为原点，CB为x轴、CA为y轴、过C点垂直于面的直线为z轴的空间直角坐标系，由题意知：，，，则，，，

令为面ABD的一个法向量，则

，若y=1，有

令为面CBD的一个法向量，则

，若y=1，有

∴与的夹角为，则，故

根据二面角与向量夹角的关系，知：二面角的正弦值为

【点睛】

本题考查了空间向量与立体几何，利用面面垂直的性质定理证明线面垂直，应用平面的法向量，结合向量数量积的坐标表示求法向量夹角的正弦值