无穷级数与微分方程相关知识简介

无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.数项级数及收敛定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项,级数的前

n

项和称为级数的部分和.次相加,简记为收敛,则称无穷级数并称S为级数的和。

等比级数(又称几何级数)(q

称为公比).级数收敛,级数发散

.其和为P-级数2寨.无肠穷折级无数倚的书基接本吹性熊质性毯质1享.若趴级配数收摔敛婶于S,则译各安项乘障以箭常庆数c所义得溉级犹数也鄙收伸敛,即其巩和典为c胃S丽.性伟质2爽.设宫有均两鼓个臣收熟敛本级毛数则记级捧数也油收随敛,其鞋和盯为说或明:(拣2体)若盖两胞级挖数够中谅一摄个棚收帮敛摧一单个掀发锦散,则必删发辱散.但房诚若帅二赏级加数彼都根发牛散,不秧一休定扮发布散.(惜1飘)性怀质2表逝明谜收援敛焦级临数筝可子逐斤项茎相扎加夕或但减.(用遵反妇证裳法红可余证)性大质3小.在耐级害数弟前炸面啊加因上丑或亚去旧掉有直限灯项,不抹会灶影范响威级路数的脏敛汪散真性.性冷质4舒.收爸敛支级两数牛加溪括消弧货后登所暗成私的薯级惨数已仍竞收苦敛廊于糖原晒级的线和.推脉论:若赔加涛括扔弧揭后渐的辆级摊数苗发喂散,则凯原括级藏数桂必悠发度散.注隐意:收活敛域级热数狐去耳括摧弧症后淹所瞒成押的迫级印数双不虫一波定诊收好敛.性舍质5：设各收翻敛迎级备数则纹必介有可鞭见:若拢级愈数挨的赔一港般来项督不蜓趋富于0壶,则僻级疲数歼必班发歼散.*例1疏.判添断缘瑞级帖数制的甲敛摆散听性:解:该瓶级论数锈是确下斩列享两伟级顽数激之我差故吧原样级厕数盖收退敛.(比练较壳审绿敛搏法)设且述存酬在对竭一透切有(飞1伪)若强级翼数则弱级允数(梢2泰)若弱级导数则强级封数则从有收茂敛,也果收疲敛;发序散,也秃发府散.是英两扰个正珠项摆级钓数,(常值数k>材0缴)喘,3恶.正萄项晒级辫数暴审败敛仔法(比猎较扩审吼敛廉法电的葱极企限杨形圆式)则收有两翅个互级梨数牺同矛时淹收则敛戒或泄发言散;(柿2循)当l=0(遭3装)当l=炉∞设璃两寺正净项壤级坏数满旁足(潮1通)当0槽<l<奖∞时,的疮敛义散才性.例3赵.判港别浪级供数解:根纽奉据扛比且较耀审壤敛能法世的厚极进限亚形晚式坝知发命散比评值赚审跳敛味法(疤D券’侨a举l涂e捉m舞b悉e偏r勉t判扬别摄法)设为李正壮项锦级挽数,且则(涉1资)当(软2胡)当时,级屡数确收锤敛;或时,级厌数红发可散..根到值屡审垮敛体法(芹C观a络u跳c赌h灰y判浊别兔法)设为惩正乓项级把数,且则因后此末级虾数收围敛.解:4砌.交间错述级喷数难及繁其掀审始敛航法则宜各障项逼符眯号锻正届负极相供间堡的疫级课数称增为交捐错联级唐数.(寸L做e撇i闷b览n赠i由t凉z判作别龄法)若覆交哑错养级杨数枝满安足令条期件:则滋级普数收铁敛尝。5黑.绝体对猜收菠敛至与眼条胖件照收乳敛定曲义:对消任捞意篇项刃级筐数若若答原畜级馅数扔收幸敛,但赚取沟绝吐对罢值安以云后渠的芝级高数烦发络散,则梢称起原虑级收趴敛,数绝弦对春收丝式敛粪；则狐称翠原柄级数条电件这收短敛.绝悔对遵收职敛滚的榨级判数鹿一曾定慌收昂敛.由搏绝擦对范收联敛遇概加念夏和殿莱铜布胡尼吐兹量定的理弱知:交胳错毕级拐数例5浊.证蚀明乏下烈列肌级境数由绝毁对吧收访敛:证:而收束敛,收蓄敛因糊此绝贿对牛收疼敛.判阴断野数鲜项桶级语数成敛紧散届的碍方鼻法1、段利途用节已胖知筐结慰论轮：杜等今比省级垮数抢、P蛇-级兰数耕及泼级纱数级性滥质2、央利霸用腐必努要要条松件增：奋主佩要溉判鹿别茄发植散3、凭求塑部挡分抹和贱数看列织的毕极斑限4、床正章项规级圾数撇的起审谋敛博法1）吧比器值腊审唱敛短法港（名根许值蒙审友敛血法迈）2）者比敬较撕审医敛弟法曲（页或魔极溉限清形唇式苹）5、肾交浅错坡级挡数兼审吗敛麦法冻：舱莱愁布猎尼膏兹放定批理6、庙一纲般哄级点数伪审厘敛搁法饶：串先厅判射断铲是拾否语绝峡对罢收浇敛集，薪如锯果消绝勺对盯收习敛押则纲一沿定庸收准敛责；决否番则湖判伯断披是喉否瞎条排件供收薯敛发散发散收敛收艘敛发测散1阔.今A晨b塔e炼l定负理若掠幂蛇级淡数则各对扎满皇足查不主等松式的渡一垫切x幂蜡级拳数墓都普绝渗对趁收急敛.反艰之,若炼当的腾一牧切x,该睁幂菌级满数圾也厕发燃散.时竹该司幂扑级逃数最发课散,则硬对寒满孕足略不锡等肌式二签、题求贫幂惨级爷数层收额敛喂域*例6.已殿知山幂督级捎数在处凳收信敛拴，寄则置该犯级宋数在处缸是粉收凑敛畅还粮是助发图散士？困若盐收通敛爪，辅是竹条朽件握收冶敛还廉是玩绝超对帐收河敛不？解卵：由A像b腹e泼l定狱理递，腰该谁幂铃级理数茄在处页绝蛮对止收到敛划，故梢在绝顽对产收奥敛乌。例7反.已至知处炼条仗件粪收架敛,问掘该认级义数将收鲁敛半航径搂是扇多业少?答:根横据A融b弓e饲l定撑理趋可明知,级殊数庆在收日敛,时府发公散.故查收蜂敛涉半悉径笨为若的奸系西数献满筛足1惹)当≠0时,2隶)当＝0时,3混)当＝秃∞顾时,则的帐收努敛泥半和径娱为2愤.求碑收君敛稳半概径对务端谣点x喂=－1纸,的臂收愁敛数半镰径沟及蠢收属敛格域.解:对谨端亿点x井=1盾,级很数蜂为撇交锋错款级甚数收迁敛;级婆数源为发勤散.故说收旱敛摆域暗为例8蔽..求股幂烧级孩数例9.求译下挨列节幂血级紫数出的辩收漂敛厕域:解:(便1平)所沉以另收萝敛停域婆为(轧2叛)所腾以订级税数认仅识在x公=0处吩收期敛.规宴定:把0贪!尿=风1例1殿0百.的自收反敛捧域.解:令级辫数信变槽为当t=震2时,级隔数谨为此挤级园数蚕发模散;当t=慰–份2时,级辫数伞为此阁级竖数感条趁件办收稼敛;因域此趋级物数萝的架收崭敛沙域请为故廊原舍级径数痕的匪收朝敛衬域衡为即三葡、酬求闷函疯数筋的艳幂促级飞数趣展昏开繁式1、描对量函土数眉作梅恒股等恨变锤形伐（缩慧如富果累需怖要泽的诞话氏）2、周利颗用丙已棚知裹结影论答，肚用壤变拘量禾代啄换轿或多求腿导夸积妄分弹得丽所影求浆函欣数疯的御幂评级塞数3、则写套出从收蛮敛从范湿围的校幂蹦级少数稳展拉开含式展痛开那成解室：例1然0拌.求很函搂数微摘分缴方举程一宅、江微嫩分格方饼程寸的碗基书本军概症念二地、箱解党微帮分纲方耍程三烈、灶微炕分罩方钩程设应著用含龟未途知错函多数货及屡其陈导轧数袋的跨方垒程谱叫州做微际分记方棉程.方它程搬中谎所肠含岩未丹知觉函善数宽导伶数盾的叨最眠高雷阶兵数温叫刻做芳微球分饭方烈程一皮、舌微码分惰方瞒程蜘的些基滩本怪概摩念的阶.例已如偿：一借阶池微酸分迫方武程二摄阶洲微嚼分搞方薯程—使杂方枪程挂成僻为掉恒御等泥式塔的臣函育数.通醉解—解田中芦所距含蜓独榨立复的验任六意副常切数扇的限个恢数唱与仍方按程—确杰定肉通突解衣中错任廉意狼常章数眉的雹条评件.初根始舍条顽件(或深边两值谜条德件):的喊阶盯数慎相民同.特位解微奥分掉方委程围的解—不宇含辜任习意听常污数妹的辉解,定舒解膏条劈燕件其民图滑形虎称偷为积马分盾曲监线.例1消.验逆证争函碎数是衔微牵分辰方它程的番解.解:是样方屈程抗的损解.二应、循解茅微咸分桃方近程1忧.一丝式阶鼻微寺分层方看程可暴分幸离枪变秃量永，夸一谊阶贤线控性2雁.高致阶宏微贷分茧方妄程可停降喘阶恰微井分遥方捐程稠，热二森阶并线毯性货常诱系争数舟齐皆次减，咸二烫阶柳线厌性板常磁系澡数皮非驶齐店次策只湿要粮求叶写甜出眼特停解咏形尘式协。分菌离象变寇量屯方寺程羊的稼解漫法:(漠2悄)两馆边姐积仇分①②(魂3锹)得坏到巨通翁解称露②温为瞧方镰程秩①犯的隐锤式屈通慌解,或通机积汤分.(票1州)分皱离晋变姑量*例2衣.求涛微冬分貌方页程的崭通厘解.解:分垮离哈变妨量皮得两抓边完积保分得即(C为筒任站意输常弱数)因驾此帅可絮能波增买、减积解.一帽阶鲜线朽性贿微智分俭方办程一罩阶并线排性献微疫分贸方执程符标距准韵形述式:若Q(x)0怪,若Q(x)0,称逆为非贤齐梨次收方眯程.1配.解钟齐伐次根方误程分缘瑞离酸变俭量两佩边烘积摇分芒得故鼻通专解越为称冤为齐恒次飘方卵程;对获应罚齐及次沿方击程冲通扯解齐遇次套方犁程雀通租解非蕉齐为次谱方赖程记特河解2脾.解闯非虾齐拴次溜方君程用常菊数摇变株易借法:则故咳原挡方始程浑的顺通冰解即即作东变汗换两炼端捆积误分弦得解*例3拨.利债用封一族阶脾线夏性洁方识程仅的压通宏解忘公歉式状得白：例4业.解匙方炕程解:先捎解即积蛮分贪得即用常阅数垒变座易片法求冶特牢解.令则代奋入塘非制齐嫁次恒方歇程爬得解马得故烂原芽方效程须通劝解碌为令因熟此即同轰理竹可仗得依颗次早通饭过n次朝积鹊分,可书得有含n个丑任策意耀常击数描的版通登解.型刮的脂微呆分发方裳程例5系.解:型吹的坛微外分笑方膀程设原慈方藏程挠化还为戒一吹阶思方刘程设稳其帝通矮解退为则虽得再凶一以次再积筛分,得悦原终方往程订的晒通壤解例6杏.求杂解解:代腔入尖方朱程魂得分搜离泊变伶量积继分怜得利像用于猫是贫有两税端即再透积尖分侧得利猾用因延此兄所伙求犯特袭解城为型蜂的学微陶分盖方搞程令故瞧方狸程介化稻为设恼其忌通宽解棋为即命得分再离寄变花量金后该积源分,得镰原亡方余程花的砌通晴解例7辰.求刑解代券入喜方第程邮得两样端非积钳分欺得(一朵阶译线稼性欲齐腹次谅方糠程)故董所底求饲通感解鼻为解:*例8顺.解狐初嫩值玩问扮题解:令代亲入忧方幼程霉得积趴分惑得利氏用敬初屯始贤条贺件,根蹈据积冤分晚得故蜘所廊求主特棕解背为得二浓阶折线麻性侍齐边次屠方坦程轿解楚的矮结圆构是坚二谋阶娇线形性量齐自次间方遗程的盖两再个柳解,也绣是短该喜方送程创的马解.定沾理1桶.机矩动泪目幅录停上铅页爱下面页龟返娇回侵结霜束定冠理2时.是化二孕阶辅线稳性炉齐璃次柱方屋程浩的溜两喷个字线性划无含关杂特性解,则数)是锄该奖方浆程途的期通她解.例王如,方扫程有悼特霉解且常昏数,故狂方南程项的以通团解叛为(自痒证)特污征石方威程:实黑根特征根通解二切阶绩线言性可常佳系砖数掀齐慰次翻微士分毕方议程智求厌解例9响.的缝通静解.解:特海征蛮方核程特妈征斩根:因打此谋原眯方脑程卫的农通辱解皮为例1祝0漏.求望解挠初付值漆问宫题解:特皱征翼方尽程有葱重瓶根因稠此搜原成方单程踩的匪通印解雄为利痛用兄初索始木条忆件坡得于碑是罗所两求拢初面值爆问激题贩的舒解似为*例1辱1湾.的纲通嫁解.解:特萝征蚊方凳程特昌征笋根:因占此挖原武方慌程独通丹解承为例1睁2劣.解伏：虑因是套一污个言特启解主，罩所艰以是川特罩征方工程衔的授重禁根斧，里故撞特劝征王方治程斤为虾：所贯对啦应结微兴分专方钓程钢为二养阶卖线慰性棉非奸齐留次醒方际程值解判的炊结损构是顷二满阶倾非面齐需次岩方娇程的嗽一认个牛特钓解,Y(x)是谅相秆应态齐豪次郊方季程砖的席通工解,定碌理3密.则是桶非瓣齐在次怨方夹程逐的茶通柱解.②①(族2砌)若伍是否特揉征妹方脑程醉的单罩根特纺解扇形任式穗为(炊3响)若是扣特托征支方拢程协的重爹根特虑解粪形掩式尊为(巷1畏)若杜不锅是督特底征能方窄程葬的定根特疤解川形给式僻为的配特怖解棍形顷式.解:本摇题而怜特