求解Laplace逆变换的一种高阶数值解格式-1

12绪论在在本科学习阶段，Laplace逆变换可以应用于非齐次线性常微分方程的计算，便捷性可与比较系数法相比。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个3第一章介绍Laplace变换ace这里M,装是两个正常数。我们将称f(t)为原函数，而为(z)像函数。其中a,a,...,a12ndnx1dn-1xn是常数，而f(t)连续且满足原函数的条件是常数，而f(t)连续且满足原函数的条件。如果x(t)是方程(1.2)的解，则x(t)以及各阶导数x(k)(t)(k=1,2,...n)均是dt0X(s)=[x(t)]=j+we-stx(t)dt.0则由原函数的微分性质有0000于是，对方程(1.2)两端进行Laplace变换，利用其线性性质可得1n-1n1n-101n-200或4A(s)根据(1.1)所对应的Laplace逆变换公式f(t)=1limjF(z)dz(1.3)2爪iM)wTM并且满足当z)w(z))0{z:Rez共a}(1.4)所以，在(1.2)中的积分路径T就可以用以下半圆替代MT=T+TMM,1M,2其中M,1M,222要求直径M足够大，以至于可以包含所有的奇点。这里(接下来)规定逆时针为正向。由若尔当不等式可以证明j3爪/2eMcos9d9<爪M再根据(1.4)，我们可以得到jezt(z)dz)0,当M→∞。TM由Cauchy-Goursat定理，在由(1.4)组成的封闭曲线内，当M足够大的时即5f(t)如1jF(z)dz=1xljF(z)dz,iT2几iCMk=1k其中l为Γᵄ中有限个奇点个数，ᵃᵅ是以奇点ᵆᵅ为圆心的小圆，并且任意两个圆都没有交点。特别的，我们选取一些只有孤立奇点函数，这样利用变量变换z=0k(9)=zk+cei9(c>0，并且c足够的小)，利用积分的梯形法则，因为kkkk所以可以将(1.3)中f(t)近似的表达为j=0kk,kk,j) (Nkk,j) (NN其中分点ᵰᵅ,ᵅ=(2π/ᵄᵅ)j∈[0,2π],ᵄᵅ为节点的个数。在误差分析中将会给出ε以及ᵅᵄ的选取的方法。ᵅ10212n0n=-w001261021122120102112212010221其中积分分别沿T'及T'关于它们所围成的圆盘的正向取向。12当飞=T'时，级数21==n=00一致收敛；而当飞=T'时，级数1一致收敛。把(2.0)及(2.1)分别代入(1.9)，然后逐项积分，我们就可以看到f(z)有展式(1.7)，其中2010有柯西定理，在(2.2)及(2.3)中的积分可以换成沿圆y的积分。于是我们可以得到(1.7)。而级数(1.7)称为f(z)在圆环D内的洛朗展式。fz孤立奇点。在D内，f(z)有洛朗展式n07 (1)若n1,2,3,...时，an=0,那么我们说ᵆ0是函数f(z)的可去奇点。 (2)若只有有限个整数(至少一个)整数n<0,使得n那么我们说ᵆ0是函数f(z)的极点。设对于正整数m，m0;而当n<-m时，n0。那么我们说ᵆ0是函数在接下来的讨论中，(1.6)试中的Nk的选取和极点的重数有关。0c等于零。若ᵆ0是f(z)的孤立奇点，那上式不一定等于零，这时我们把积分1f(z)1f(z)dz(2.4)fzResf分方向沿C的逆时000f(z)(zz)n,n0而且这一展式在C上一致收敛，逐项积分，我们有f(z)dz(zz)ndz2i.ccn0cc 8cck如果在(1.5)中函数F(z)的奇点z是孤立的并且其重数不大于p，则在zkkkVFz下的洛朗展式kk,mkkkkkkzciCzzkk,-1kkk定理1设函数F(z)的奇点z是孤立的并且其重数不大于p，N为节点个kkk数并且N足够大或者等于p，则kkNkk,jkk,jk,-1kj=0Nkk,jkk,jk,-1kj=0证明：由(1.14)Nkk,jNk,mkj=0kj=0m=-pk(1.15)Nk,mx这里先考虑jxxj=0j=0k所以，(1.15)式最后留下的部分就是...k,-2N-1kk,-N-1kk,-1k,N-1k...k,-2N-1kk,-N-1kk,-1k,N-1kk,2N-1k...,kkkk9(1.17)k(1.17)k数值解，只需要选取Nk=pk和一个较小的e即可。进一步考虑舍去误差，我们选取一个足够大的M，这样我们可以控制(1.5)中定理2设(1.5)给出的M足够大，并且MN=min{NK,k=1,2,...l}，pk为极点zk的阶数，Q(t)为(1.6)中对f(t)的逼近，那么则有设F(z)为(1.14)中的展开式形式，k,mkkkk得dzk,mkkkkkk由方法(1.6)，我们就有了以下估计j=0kkj=0kk,jk,j)kj