2022-2023学年河北省邯郸市东张孟乡中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年河北省邯郸市东张孟乡中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线，则其焦距为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的焦距即可．【解答】解：双曲线，则其焦距为：2=2．故选：D．2.已知，，定义：，．给出下列命题：

(1)对任意，都有；(2)若是复数的共轭复数，则恒成立；(3)若，则；(4)(理科)对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答](

)．(文科)对任意，结论恒成立，则其中真命题是[答](

)．

A．(1)(2)(3)(4)

B．(2)(3)(4)

C．(2)(4)

D．(2)(3)参考答案：C3.设函数f′(x)是奇函数f（x）（x∈R）的导数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′(x)-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（

）A.（－∞,－1）∪（0,1）

B.（－1,0）∪（1，+∞）C.（－∞，－1）∪（－1,0）

D.（0,1）∪（1，+∞）参考答案：A4.已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F也是抛物线C2：y2=2px（p＞0）的焦点，C1与C2的一个交点为P，若PF⊥x轴，则双曲线C1的离心率为(

) A．+1 B．2 C．2﹣1 D．+1参考答案：A考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程算出其焦点为F（，0），得到|PF|=p．设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF′|=p，△TFF′中利用勾股定理算出|MF′|=p，再由双曲线的定义算出2a=（﹣1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．解答： 解：抛物线y2=2px的焦点为F（，0），由MF与x轴垂直，令x=，可得|MF|=p，双曲线﹣=1的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，由抛物线y2=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，即c=，可得双曲线的焦距|FF′|=2c=p，由于△MFF′为直角三角形，则|MF′|==p，根据双曲线的定义，得2a=|MF′|﹣|MF|=p﹣p，可得a=（）p．因此，该双曲线的离心率e===．故选：A．点评：本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．5.如图，已知椭圆及两条直线，其中，且分别交轴与两点。从上一点发出一条光线经过椭圆的左焦点被轴反射后与交于点。若，且，则椭圆的离心率等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C6.若是钝角,则满足等式的实数的取值范围是（

）A．

B.

C

D．参考答案：D7.已知数列{an}满足a1=33，=2，则的最小值为（）A．10.5 B．10 C．9 D．8参考答案：A【考点】8H：数列递推式．【分析】递推公式两边乘n然后利用叠加法求出an的通项公式，然后利用函数求最值的方法求出的最小值．【解答】解：由变形得：an+1﹣an=2n∴an=（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+（a4﹣a3）+…+（an﹣an﹣1）+a1=2+4+6+…+2（n﹣1）==n2﹣n+33∴（n∈N*）（1）当时，单调递减，当时，单调递增，又n∈N*，经验证n=6时，最小，为10.5．故选A．8.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入的值为时,输出的值为(

)

参考答案：C略9.已知复数，是的共轭复数，且则a、b的值分别为A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知函数，若方程的解为，，则A． B． C． D．参考答案：B解：因为，，又因为方程的解为，，，，，因为，，，由，得，，故选：．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线（，为常数）与曲线交于两点、，过线段上一点分别作轴、轴的垂线、，则、与曲线所围成的封闭图形的面积最大值为____________．参考答案：12.若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：①；

②； ③； ④其中为m函数的序号是

。（把你认为所有正确的序号都填上）参考答案：②③13.在△ABC中，点D是线段BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则

.参考答案：；14.设函数的图象关于直线对称，则a的值为

参考答案：315.已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则的取值范围是

．参考答案：[﹣9，0]．【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M（x，y），表示出?，求出它的最值即可．【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设M（x，y），则A（4，0），B（﹣4，0），=（4﹣x，﹣y），=（﹣4﹣x，﹣y）；?=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，所以16﹣9≤x2+y2≤16，即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以?的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出?，是综合性题目．16.在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为_________________.参考答案：12略17.在△ABC中，tan=2sinC，若AB=1，则AC+BC的最大值为．参考答案：【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】解三角形．【分析】由已知式子化简变形讨论可得C=，再由正弦定理可得AC+BC=sin（﹣A）+sinA=cosA+sinA，由三角函数的最值可得．【解答】解：∵在△ABC中，tan=2sinC，∴tan（﹣）=2sinC，∴=2sinC，∴=4sincos，即cos（4sin2﹣1）=0，解得cos=0或4sin2﹣1=0，∴C=π（舍去），或C=（舍去），或C=，又∵AB=1，∴==，∴AC=sinB，BC=sinA，又B=﹣A，∴AC+BC=sin（﹣A）+sinA=cosA+sinA，∴AC+BC的最大值为=故答案为：【点评】本题考查解三角形，涉及正弦定理和同角三角函数的基本关系，以及三角函数的化简求最值，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

已知函数。（1）设a=1，讨论的单调性；（2）若对任意，，求实数a的取值范围。参考答案：（Ⅰ），，定义域为．．

……2分设，则．因为，，所以在上是减函数，又，于是，，；，，．所以的增区间为，减区间为．

……6分（Ⅱ）由已知，因为，所以．（1）当时，．不合题意．

……8分（2）当时，，由，可得．设，则，．．设，方程的判别式．若，，，，在上是增函数，又，所以，．

……10分若，，，，所以存在，使得，对任意，，，在上是减函数，又，所以，．不合题意．综上，实数的取值范围是．

……12分

19.如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，．（I）求新桥BC的长；（II）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？参考答案：解：（I）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC=－tan∠BCO=－.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a,b)，则kBC=kAB=解得a=80，b=120.所以BC=.因此新桥BC的长是150m.（II）设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm,(0≤d≤60).由条件知，直线BC的方程为，即由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以即解得故当d=10时,最大，即圆面积最大.所以当OM=10m时，圆形保护区的面积最大.20.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为

（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．参考答案：考点：参数方程化成普通方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．解答： 解：（1）直线I的参数方程为

（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21.（本题12分）已知函数是定义在上的奇函数,当时,(其中e是自然界对数的底,)（1）求的解析式;（2）设，求证：当时，且，恒成立；（3）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。参考答案：（1）设，则，所以又因为是定义在上的奇函数，所以故函数的解析式为…

2分（2）证明：当且时，，设因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以

又因为，所以当时，，此时单调递减，所以所以当时，即

…………6分（3）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是３（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是３（ⅲ）当，由于，则，故函数是上的增函数．所以，解得（舍去）（ⅳ）当时，则当时，，此时函数是减函数；当时，，此时函数是增函数．所以，解得综上可知，存在实数，使得当时，有最小值３

…………12分22.（1）求点M（2，）到直线ρ=上点A的距离的最小值．（2）求曲线关于直线y=1对称的曲线的参数方程．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：（1）点M（2，）化为直角坐标M即M．直线ρ=即，化为直角坐标方程=0．则点M到直线上的点A的距离的最小值为点M到直线的距离．（2）设曲线关于直线y=1对称的曲线上的点为P（x，y），则点P关于直线y=1的对称点P′（x，2﹣y