傅立叶变换的推导课件

第二章确定信号分析

第一节确定信号的傅里叶变化及其推导第二节典型信号的傅里叶变换第三节傅里叶变换的性质第四节周期信号的傅里叶变换及抽样定理QH2.0.2第二章确定信号分析第一节确定信号的傅里叶变化及其推导第一节确定信号的傅里叶变换及其推导1，傅里叶变换的基本结论2，三角形式的傅里叶级数的推导3，三角形式的傅里叶级数的分析4，指数形式的傅里叶级数的推导5，指数形式的傅里叶级数的分析6，傅里叶变换的推导7，傅里叶变换的分析QH2.1.1第一节确定信号的傅里叶变换及其推导1，傅里叶变换的基本结（1）三角形式的傅里叶级数（2）复数形式的傅里叶级数（3）傅里叶变换1，傅里叶变换的基本结论QH2.1.2（1）三角形式的傅里叶级数1，傅里叶变换的基本结论QH2.1

式2.1.1根据三角函数的正交性，对式2.1.1两边积分，得：2，三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.3

对式2.1.1两边同乘再在积分，得：2，三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.4对式2.1.1两边同乘同理，对式2.1.1两边同乘再在积分，得：2，三角形式的傅里叶级数的推导QH2.1.5同理，对式2.1.1两边同乘由此可得三角形式的傅里叶级数：其中：2，三角形式的傅里叶级数的推导式2.1.2式2.1.3式2.1.4QH2.1.6由此可得三角形式的傅里叶级数：2，三角形式的傅里叶级数的推导（1）奇偶性

为偶函数

为奇函数3，三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.7（1）奇偶性3，三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.7（2）同频合并：其中：被称为频率谱，被称为相位谱。3，三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.8（2）同频合并：3，三角形式的傅里叶级数的分析QH2.1.8令，则（奇偶性）令，则得：4，指数形式的傅里叶级数的推导QH2.1.9令4，指数形式的傅里叶级数的推导QH2.1.104，指数形式的傅里叶级数的推导QH2.1.10（1）指数形式的傅里叶级数对式2.1.5

式2.1.6（2）思考：其中的2到哪去了？5，指数形式的傅里叶级数的分析QH2.1.11（1）指数形式的傅里叶级数对5，指数形式的傅里叶级数的分析Q（3）其中频率谱相位谱（4）当为偶函数时，，则为实函数，当为奇函数时，，则为纯虚函数，5，指数形式的傅里叶级数的分析QH2.1.12（3）5，指数形式的傅里叶级数的分析QH2.1.12由上一节的推导可知，两边同乘T，得：，其中当时，∴令，则6，傅里叶变换的推导QH2.1.13由上一节的推导可知，6，傅里叶变换的推导QH2.1.13∵，且，∴6，傅里叶变换的推导QH2.1.14∵（1）傅里叶变换对：式2.1.7

式2.1.8

规律：正变换为负，反变换为正。（2）傅里叶变换的基本条件：无限区间绝对可积7，傅里叶变换的分析QH2.1.15（1）傅里叶变换对：7，傅里叶变换的分析QH2.1.15第二节典型信号的傅里叶变换1，冲击函数2，冲击偶函数3，单边指数信号4，双边指数信号5，符号函数6，指数函数7，余弦函数8，矩形窗函数QH2.2.1第二节典型信号的傅里叶变换1，冲击函数QH2.2.11，冲击函数思考：0频率与冲击的区别。QH2.2.21，冲击函数思考：0频率与冲击的区别。QH2.2.22，冲击偶函数QH2.2.32，冲击偶函数QH2.2.33，单边指数信号QH2.2.43，单边指数信号QH2.2.44，双边指数信号QH2.2.54，双边指数信号QH2.2.5

可以看成是，∴5，符号函数QH2.2.65，符号函数QH2.2.6∴6，指数函数QH2.2.7∴6，指数函数QH2.2.77，余弦函数QH2.2.87，余弦函数QH2.2.88，矩形窗函数QH2.2.98，矩形窗函数QH2.2.9第三节傅里叶变换的性质1，对称性2，尺度变换3，时移特性4，频移特性5，奇偶虚实性6，傅里叶变换综合例题QH2.3.1第三节傅里叶变换的性质1，对称性QH2.3.11，对称性若，则推导：∴互换和，得：也即QH2.3.21，对称性若2，尺度变换若，则推导：令则

∴QH2.3.32，尺度变换若，则QH2.3.33，时移特性若，则推导：令则∴QH2.3.43，时移特性若，则QH2.3.44，频移特性若，则推导：令则QH2.3.54，频移特性若，则QH2.3.55，奇偶虚实性若，则：（1）（2）

（3）推导：（1）

QH2.3.65，奇偶虚实性若，则：QH2.35，奇偶虚实性（2）（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.75，奇偶虚实性（2）（3）由(1)(2)即可得。QH2.3.6，傅里叶变换综合练习题（1）（2）（3）（4）（5）（6）QH2.3.86，傅里叶变换综合练习题（1）QH2.3.86，傅里叶变换综合练习题（1）QH2.3.96，傅里叶变换综合练习题（1）QH2.3.96，傅里叶变换综合练习题（2）QH2.3.106，傅里叶变换综合练习题（2）QH2.3.106，傅里叶变换综合练习题（3）QH2.3.116，傅里叶变换综合练习题（3）QH2.3.116，傅里叶变换综合练习题（4）QH2.3.126，傅里叶变换综合练习题（4）QH2.3.126，傅里叶变换综合练习题（5）QH2.3.13特别地：当时6，傅里叶变换综合练习题（5）QH2.3.13特别地：当6，傅里叶变换综合练习题（6）QH2.3.146，傅里叶变换综合练习题（6）QH2.3.14第四节周期信号的傅里叶变换及抽样定理1，周期信号的傅里叶变换2，抽样3，对抽样的理解4，低通抽样定理5，带通抽样定理QH2.4.1第四节周期信号的傅里叶变换及抽样定理1，周期信号的傅里叶1，周期信号的傅里叶变换设为周期信号，周期为T。则可以展成傅里叶级数：式2.4.1对式2.4.1两边进行傅里叶变换可得：式2.4.2其中为数值。由傅里叶变换的知识，式2.4.2变为：QH2.4.21，周期信号的傅里叶变换设为周期信号，周期为T。则1，周期信号的傅里叶变换其中为的傅里叶级数的系数，即：式2.4.3现在构造函数为在的一段，其他部分为0，则的傅里叶变换为：式2.4.4对照式2.4.3与式2.4.4可知，∴QH2.4.31，周期信号的傅里叶变换其中为的傅里叶1，周期信号的傅里叶变换特例：当周期信号为冲击序列时：∴∴周期冲击序列的傅里叶变换为：QH2.4.41，周期信号的傅里叶变换特例：当周期信号为冲击序列时：∴∴1，周期信号的傅里叶变换周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：QH2.4.51，周期信号的傅里叶变换周期信号傅里叶变换的另一种推导方法：（1）抽样的概念理解（2）设连续信号的傅里叶变换为，抽样序列的傅里叶变换为。抽样之后所得序列，其傅里叶变换为。（3）∵抽样序列为周期信号，∴∴其中用到了函数的卷积性质

2，抽样QH2.4.6（1）抽样的概念理解2，抽样QH2.4.63，对抽样的理解这是在影响下，在频域的平移，平移的周期是。QH2.4.73，对抽样的理解QH2.4.73，对抽样的理解（1）若是理想冲击序列，则其傅里叶变换为：由周期信号傅里叶变换的性质，∴∴也即抽样后的频谱为原信号的搬移，幅度仅变化为以前的，也即一种无失真的抽样。理想抽样QH2.4.83，对抽样的理解（1）若是理想冲击序列，则其傅3，对