【解析】湖南省永州市新田县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

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湖南省永州市新田县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·新田期中）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：

A、不是中心对称图形，A不符合题意；

B、是中心对称图形，B符合题意；

C、不是中心对称图形，C不符合题意；

D、不是中心对称图形，D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据中心对称图形的定义结合题意即可求解。

2．（2023八下·新田期中）如图，在中，，，，则的度数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵，

∴∠B∠ADE=46°，

∵，

∴∠A=90°，

∴∠AED=90°-46°=44°，

故答案为：A

【分析】先根据平行线的性质即可得到∠B∠ADE=46°，进而根据垂直的定义结合三角形内角和定理即可求解。

3．（2023八下·新田期中）在中，，的对边长分别为，则下列等式错误的是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】平方差公式及应用；勾股定理

【解析】【解答】解：∵，的对边长分别为，

∴，A符合题意，B不符合题意；

∴，，CD不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据勾股定理结合平方差公式即可求解。

4．（2023八下·新田期中）如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（）

A．8B．6C．5D．4

【答案】C

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：由题意得OP为∠AOB的角平分线，

∴∠BOP=30°，

∵，

∴点到的距离为5，

故答案为：C

【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠BOP=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。

5．（2023八下·新田期中）从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（）边形．

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】多边形的对角线

【解析】【解答】解：由题意得n-3=2023，

∴n=2026，

故答案为：C

【分析】根据多边形的对角线的计算结合题意即可求解。

6．（2023八下·新田期中）如图，在中，，分别是的中点，则的长是（）

A．5B．6C．7D．9

【答案】B

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵分别是的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE=6，

故答案为：B

【分析】先根据勾股定理即可求出BC，再根据中位线的性质即可求解。

7．（2023八下·新田期中）如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为19，则的两条对角线的和是（）

A．12B．13C．26D．24

【答案】D

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD=7，

∵的周长为19，

∴OC+OD=12，

∴的两条对角线的和是2（OC+OD）=24，

故答案为：D

【分析】先根据平行四边形的性质即可得到OA=OC，OB=OD，AB=CD=7，进而根据三角形的周长结合题意即可求解。

8．（2023八下·新田期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为（）

A．36B．18C．24D．64

【答案】A

【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴OA=OC，OD=OB，

∵于点，

∴BD=2OH=6，AC=12，

∴菱形的面积为，

故答案为：A

【分析】先根据菱形的性质即可得到OA=OC，OD=OB，进而得到AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到BD，再运用菱形的计算公式即可求解。

9．（2023八下·新田期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若，则∠COE=（）

A．45B．60C．75D．30

【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴DB=CA，AO=CO，DO=BO，∠DAB=∠CBA=90°，

∴CO=BO，AO=BO，

∴∠CBO=∠OCB，

∵AE平分∠DAB，

∴∠EAD=∠EAB=45°，

∴∠BEA=45°，

∴∠BCO=30°，

∴∠CBO=30°，

∴∠BOA=60°，

∴△BOA为等边三角形，

∴BO=AB，

∵∠EAD=∠EAB=45°，

∴EB=BA，

∴OB=EB，

∴∠BOE=∠BEO=75°，

∴∠COE=45°，

故答案为：A

【分析】先根据矩形的性质即可得到DB=CA，AO=CO，DO=BO，∠DAB=∠CBA=90°，进而得到CO=BO，AO=BO，进而根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠OCB，再根据角平分线的性质结合等边三角形的判定与性质证明△BOA为等边三角形即可得到，进而结合题意即可得到OB=EB，再运用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质即可得到∠BOE=∠BEO=75°，进而结合题意即可求解。

10．（2023八下·新田期中）如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（）个．

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，

∴△FDA≌△EBA，

∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，

∴∠CAF=∠CAE，

∴垂直平分，①正确；

∵，

∴∠FAE=60°，

∴为等边三角形，②正确；

∵，

∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠AEB=67.5°，

∵DF=EB，CD=BC，

∴EC=FC，

∴∠FEC=45°，

∴，③正确；

∵，

∴，

∴，

由勾股定理得，

∴，④正确；

∴其中正确的结论有4个，

故答案为：D

【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。

二、填空题

11．（2023八下·太和期末）若一个n边形的外角和与它的内角和之和为1800°，则边数n＝.

【答案】10

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：由题意得：，

解得：n=10

故答案为：10.

【分析】根据题意先求出，再求解即可。

12．（2023八下·新田期中）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时，．

【答案】或

【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：∵为直角三角形，

∴∠A=90°或∠APO=90°，

∴∠A'=90°-56°=34°，

∴或，

故答案为：或

【分析】根据直角三角形的性质分类讨论，进而根据三角形内角和定理即可求解。

13．（2023八下·新田期中）如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于．

【答案】

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DA平分∠CBA，，∠A=90°，

∴DE=AD，

∵，

∴∠C=∠CBA=45°，

∴BA=CA，

∴△DBE≌△DBA（HL），

∴BE=BA=CA，

∴的周长等于ED+CD+CE=BE+CE+BC=12cm，

故答案为：12

【分析】先根据角平分线的性质即可得到DE=AD，进而结合题意根据等腰直角三角形的性质即可得到BA=CA，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到BE=BA=CA，最后根据题意进行转换即可求解。

14．（2023八下·新田期中）如图，已知ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为．

【答案】13

【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OB=OD，DC+CB=19，

∵点E是CD的中点，

∴OE为△DBC的中位线，

∴，

∴BD=13，

故答案为：13

【分析】先根据平行四边形的性质即可得到OB=OD，DC+CB=19，进而根据三角形中位线的性质结合周长公式即可求解。

15．（2023·灌南模拟）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．

【答案】AD=BC．

【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：条件是AD=BC．

∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，

∴EH∥BC，EH=BC，GF∥BC，GF=BC

∴EH∥GF，EH=GF

∴四边形EFGH是平行四边形．

要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，

∴GH=GF，

∴四边形EFGH是菱形．

【分析】根据三角形的中位线定理得出EH∥BC，EH=BC，GF∥BC，GF=BC，故EH∥GF，EH=GF根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，即可得出GH=GF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论。

16．（2023八下·新田期中）如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．

【答案】8或

【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）

【解析】【解答】解：由题意得∠C=∠QAP=90°，

当时，由题意得Rt△AQP≌Rt△CBA（HL），

当AP=BC=8时，由题意得Rt△AQP≌Rt△CBA（HL），

综上所述，AP＝8或，△ABC与△APQ全等，

故答案为：8或

【分析】先根据题意即可得到∠C=∠QAP=90°，进而根据三角形全等的判定（HL）结合题意进行分类讨论即可求解。

17．（2023八下·新田期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为，的最小值为．

【答案】；

【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴CB∥DA，∠A=∠B=90°，

∴∠PAO=∠OCQ，

∴AO=CO，

∵∠POA=∠COQ，

∴△APO=△CQO(ASA)，

∴PA=QC=2，OP=OQ，

过点P作PH⊥BC于点P，

∴四边形BHPA是矩形，

∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，

∴QH=2，

由勾股定理得，

∴PO=；

第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示：

∵DA⊥GO'，O为AC中点，

∴GA=3，

∴AP=2，OG=1，

∴GO'=3，GP=1，

由勾股定理得，

综上所述，的最大值为，的最小值为，

故答案为：；；

【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。

18．（2023八下·新田期中）欧几里得古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段！如图，分别以的三边为边长，向外作正方形．

（1）连接，则（填或）；

（2）过点作的垂线，交于点，交于点，若，则正方形的面积是．

【答案】（1）

（2）

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：第一空：∵四边形ACHI、ABDE为正方形，

∴AI=CA，BA=EA，

∵∠CAI=∠BAE=90°，

∴∠BAI=∠CAE，

∴△BAI≌△CAE（SAS），

∴BI=CE，

第二空：∵四边形AMNI为矩形，

∴MA=1，CM=4，

由勾股定理得，

∵NM=CA=5，

∴解得BM=2，

由勾股定理得，

∴正方形的面积是，

故答案为：＝；20

【分析】第一空：先根据正方形的性质即可得到AI=CA，BA=EA，进而根据题意得到∠BAI=∠CAE，再运用三角形全等的判定与性质证明△BAI≌△CAE（SAS）即可求解；

第二空：先根据矩形的性质得到MA=1，CM=4，再根据勾股定理得到，进而结合题意即可求出MB，进而根据勾股定理求出BC结合正方形的面积公式即可求解。

三、解答题

19．（2023八下·新田期中）正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）

【答案】解：如图所示，即为所求图形．

第一个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是条对称轴的交点，即点位置；

第二个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是条对称轴的交点，即点位置；

第三个图形是中心对称图形，对称中心是点的位置．

【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形

【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解。

20．（2023八下·番禺期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．

（1）求AC的长；

（2）判断△ABC的形状并证明．

【答案】（1）解：∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，

∴BD＝，

AD＝，

∴AC＝AD+DC＝16+9＝25；

（2）解：∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，

∴△ABC是直角三角形．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出AD和BD的长即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形．

21．（2023八下·新田期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，则当时，四边形是矩形（不用证明）

【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

又∵为的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形．

（2）

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A=∠ECB=45°，

如果四边形是矩形，

∴CO=DO=BO=EO，CB=DE，∠DCE=∠ECB+∠DCB=90°，

∴△EOC、△DOB为等腰三角形，∠ECB=35°，

∴∠EOC=110°=∠DOB，

故答案为：110°

【分析】（1）先根据平行四边形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再结合题意运用三角形全等的判定与性质证明即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质得到∠A=∠ECB=45°，再根据矩形的性质得到CO=DO=BO=EO，CB=DE，∠DCE=∠ECB+∠DCB=90°，进而得到△EOC、△DOB为等腰三角形，∠ECB=35°，最后根据三角形内角和定理即可求解。

22．（2023八下·新田期中）已知：如图，在中，于点为上一点，且．

（1）求证：；

（2）已知，求的长．

【答案】（1）证明：∵于点，

∴，

在与中，

∵，

∴

（2）解：∵，

∴，

在中，，

∴，

∴．

【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理

【解析】【分析】（1）先根据垂直的定义即可得到，进而根据三角形全等的判定（HL）即可求解；

（2）先根据三角形全等的性质即可得到，进而根据勾股定理即可求出BD，再结合题意即可求解。

23．（2023八下·新田期中）如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长和面积．

【答案】解：∵，四边形为矩形，

∴且，

∴是等边三角形．

∵，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴矩形的周长为：，．

【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【分析】先根据题意结合矩形的性质即可得到且，进而得到是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可得到AB，进而即可求解。

24．（2023八下·新田期中）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接，若平分，，求的长．

【答案】（1）证明：∵为中点，，

∴，

又∵，∴四边形是平行四边形.

∵，为中点，

∴，

∴四边形是菱形

（2）解：连

∵，平分

∴，

∴

中，

∵，

∴，

又∵为中点，

∴

∴

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴

【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线

【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到，进而根据平行四边形的判定、菱形的判定结合题意即可求解；

（2）连接，先根据平行线的性质结合角平分线的性质即可得到，进而根据题意即可得到，，再根据题意证明，，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据勾股定理即可求解。

25．（2023八下·新田期中）如图，在中，，是边上不与点重合的任意一个动点，，垂足为是的中点．

（1）求证：；

（2）如果，的周长为，求线段的长度；

（3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化．

【答案】（1）证明：在中，，是的中点，

∴，同理，得，

∴

（2）解：∵在中，，

∴，

由勾股定理，得，

又∵的周长为，∴.

设，则，

在中，，

∴.

∴，解得.

∴

（3）解：不变.

∵是的斜边的中点，

∴.

∴.

∴

同理，得.

∴

又∵，

∴，

∵

∴

【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线

【解析】【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线即可得到，同理，得，进而即可求解；

（2）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，进而根据勾股定理即可求出AC，从而根据题意即可得到，设，则，根据勾股定理即可求出x，进而即可求解；

（3）不变，先根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意进行等量代换即可得到，再结合题意运用即可求解。

26．（2023八下·新田期中）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接．

（1）求证：；

（2）如图2，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接．

①求证：矩形是正方形；

②若正方形的边长为6，，求正方形的面积．

【答案】（1）证明：∵四边形为正方形，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴；

（2）解：①证明：如图，作于，于，得矩形，

∴，

∵点是正方形对角线上的点，

∴，

∵，

∴，

∵，

在和中

∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴矩形是正方形；

②解：正方形和正方形中，，，

，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

连接，

∴，

∴，

∴，

即正方形的面积为20．

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质即可得到，，进而根据三角形全等的判定与性质即可求解；

（2）①作于，于，得矩形，进而根据矩形的性质即可得到，再根据正方形的性质结合题意即可得到，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据正方形的判定即可求解；

②先根据正方形的性质得到，，，进而得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，，进而即可得到，，连接，运用勾股定理即可求出EG，进而得到EF，再根据正方形的面积公式即可求解。

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湖南省永州市新田县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

一、单选题

1．（2023八下·新田期中）下列图形中，是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（2023八下·新田期中）如图，在中，，，，则的度数是（）

A．B．C．D．

3．（2023八下·新田期中）在中，，的对边长分别为，则下列等式错误的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023八下·新田期中）如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（）

A．8B．6C．5D．4

5．（2023八下·新田期中）从一个多边形的一个顶点出发，最多可画条对角线，则它是（）边形．

A．B．C．D．

6．（2023八下·新田期中）如图，在中，，分别是的中点，则的长是（）

A．5B．6C．7D．9

7．（2023八下·新田期中）如图，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为19，则的两条对角线的和是（）

A．12B．13C．26D．24

8．（2023八下·新田期中）如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为（）

A．36B．18C．24D．64

9．（2023八下·新田期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若，则∠COE=（）

A．45B．60C．75D．30

10．（2023八下·新田期中）如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（）个．

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

11．（2023八下·太和期末）若一个n边形的外角和与它的内角和之和为1800°，则边数n＝.

12．（2023八下·新田期中）如图，已知，点是射线上一动点，当为直角三角形时，．

13．（2023八下·新田期中）如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于．

14．（2023八下·新田期中）如图，已知ABCD的周长为38，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，△DOE的周长为16，则BD的长为．

15．（2023·灌南模拟）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是．

16．（2023八下·新田期中）如图，∠C＝90°，AC＝，BC＝8，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．

17．（2023八下·新田期中）如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为，的最小值为．

18．（2023八下·新田期中）欧几里得古希腊著名数学家、欧氏几何学开创者．下面问题是欧几里得证明勾股定理的证法一小片段！如图，分别以的三边为边长，向外作正方形．

（1）连接，则（填或）；

（2）过点作的垂线，交于点，交于点，若，则正方形的面积是．

三、解答题

19．（2023八下·新田期中）正方形的花坛内准备种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图1、图2补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴，把图3补成只是中心对称图形，并把对称中心标上字母．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）

20．（2023八下·番禺期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝20，BC＝15，CD＝9．

（1）求AC的长；

（2）判断△ABC的形状并证明．

21．（2023八下·新田期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，则当时，四边形是矩形（不用证明）

22．（2023八下·新田期中）已知：如图，在中，于点为上一点，且．

（1）求证：；

（2）已知，求的长．

23．（2023八下·新田期中）如图，矩形的一条对角线长，两条对角线的一个交角，求这个矩形的周长和面积．

24．（2023八下·新田期中）如图，在四边形中，为一条对角线，，为的中点，连接．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接，若平分，，求的长．

25．（2023八下·新田期中）如图，在中，，是边上不与点重合的任意一个动点，，垂足为是的中点．

（1）求证：；

（2）如果，的周长为，求线段的长度；

（3）当点在线段上移动时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的大小；如果发生变化，说明如何变化．

26．（2023八下·新田期中）如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接．

（1）求证：；

（2）如图2，过点作，交边于点，以为邻边作矩形，连接．

①求证：矩形是正方形；

②若正方形的边长为6，，求正方形的面积．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：

A、不是中心对称图形，A不符合题意；

B、是中心对称图形，B符合题意；

C、不是中心对称图形，C不符合题意；

D、不是中心对称图形，D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据中心对称图形的定义结合题意即可求解。

2．【答案】A

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理

【解析】【解答】解：∵，

∴∠B∠ADE=46°，

∵，

∴∠A=90°，

∴∠AED=90°-46°=44°，

故答案为：A

【分析】先根据平行线的性质即可得到∠B∠ADE=46°，进而根据垂直的定义结合三角形内角和定理即可求解。

3．【答案】A

【知识点】平方差公式及应用；勾股定理

【解析】【解答】解：∵，的对边长分别为，

∴，A符合题意，B不符合题意；

∴，，CD不符合题意；

故答案为：A

【分析】根据勾股定理结合平方差公式即可求解。

4．【答案】C

【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理

【解析】【解答】解：由题意得OP为∠AOB的角平分线，

∴∠BOP=30°，

∵，

∴点到的距离为5，

故答案为：C

【分析】先根据角平分线的性质即可得到∠BOP=30°，进而根据含30°角的直角三角形的性质即可求解。

5．【答案】C

【知识点】多边形的对角线

【解析】【解答】解：由题意得n-3=2023，

∴n=2026，

故答案为：C

【分析】根据多边形的对角线的计算结合题意即可求解。

6．【答案】B

【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵分别是的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE=6，

故答案为：B

【分析】先根据勾股定理即可求出BC，再根据中位线的性质即可求解。

7．【答案】D

【知识点】平行四边形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD=7，

∵的周长为19，

∴OC+OD=12，

∴的两条对角线的和是2（OC+OD）=24，

故答案为：D

【分析】先根据平行四边形的性质即可得到OA=OC，OB=OD，AB=CD=7，进而根据三角形的周长结合题意即可求解。

8．【答案】A

【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，

∴OA=OC，OD=OB，

∵于点，

∴BD=2OH=6，AC=12，

∴菱形的面积为，

故答案为：A

【分析】先根据菱形的性质即可得到OA=OC，OD=OB，进而得到AC，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到BD，再运用菱形的计算公式即可求解。

9．【答案】A

【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴DB=CA，AO=CO，DO=BO，∠DAB=∠CBA=90°，

∴CO=BO，AO=BO，

∴∠CBO=∠OCB，

∵AE平分∠DAB，

∴∠EAD=∠EAB=45°，

∴∠BEA=45°，

∴∠BCO=30°，

∴∠CBO=30°，

∴∠BOA=60°，

∴△BOA为等边三角形，

∴BO=AB，

∵∠EAD=∠EAB=45°，

∴EB=BA，

∴OB=EB，

∴∠BOE=∠BEO=75°，

∴∠COE=45°，

故答案为：A

【分析】先根据矩形的性质即可得到DB=CA，AO=CO，DO=BO，∠DAB=∠CBA=90°，进而得到CO=BO，AO=BO，进而根据等腰三角形的性质得到∠CBO=∠OCB，再根据角平分线的性质结合等边三角形的判定与性质证明△BOA为等边三角形即可得到，进而结合题意即可得到OB=EB，再运用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质即可得到∠BOE=∠BEO=75°，进而结合题意即可求解。

10．【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，

∴△FDA≌△EBA，

∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，

∴∠CAF=∠CAE，

∴垂直平分，①正确；

∵，

∴∠FAE=60°，

∴为等边三角形，②正确；

∵，

∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠AEB=67.5°，

∵DF=EB，CD=BC，

∴EC=FC，

∴∠FEC=45°，

∴，③正确；

∵，

∴，

∴，

由勾股定理得，

∴，④正确；

∴其中正确的结论有4个，

故答案为：D

【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。

11．【答案】10

【知识点】多边形内角与外角

【解析】【解答】解：由题意得：，

解得：n=10

故答案为：10.

【分析】根据题意先求出，再求解即可。

12．【答案】或

【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：∵为直角三角形，

∴∠A=90°或∠APO=90°，

∴∠A'=90°-56°=34°，

∴或，

故答案为：或

【分析】根据直角三角形的性质分类讨论，进而根据三角形内角和定理即可求解。

13．【答案】

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质

【解析】【解答】解：∵DA平分∠CBA，，∠A=90°，

∴DE=AD，

∵，

∴∠C=∠CBA=45°，

∴BA=CA，

∴△DBE≌△DBA（HL），

∴BE=BA=CA，

∴的周长等于ED+CD+CE=BE+CE+BC=12cm，

故答案为：12

【分析】先根据角平分线的性质即可得到DE=AD，进而结合题意根据等腰直角三角形的性质即可得到BA=CA，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到BE=BA=CA，最后根据题意进行转换即可求解。

14．【答案】13

【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OB=OD，DC+CB=19，

∵点E是CD的中点，

∴OE为△DBC的中位线，

∴，

∴BD=13，

故答案为：13

【分析】先根据平行四边形的性质即可得到OB=OD，DC+CB=19，进而根据三角形中位线的性质结合周长公式即可求解。

15．【答案】AD=BC．

【知识点】菱形的判定；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：条件是AD=BC．

∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，

∴EH∥BC，EH=BC，GF∥BC，GF=BC

∴EH∥GF，EH=GF

∴四边形EFGH是平行四边形．

要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，

∴GH=GF，

∴四边形EFGH是菱形．

【分析】根据三角形的中位线定理得出EH∥BC，EH=BC，GF∥BC，GF=BC，故EH∥GF，EH=GF根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，即可得出GH=GF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论。

16．【答案】8或

【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）

【解析】【解答】解：由题意得∠C=∠QAP=90°，

当时，由题意得Rt△AQP≌Rt△CBA（HL），

当AP=BC=8时，由题意得Rt△AQP≌Rt△CBA（HL），

综上所述，AP＝8或，△ABC与△APQ全等，

故答案为：8或

【分析】先根据题意即可得到∠C=∠QAP=90°，进而根据三角形全等的判定（HL）结合题意进行分类讨论即可求解。

17．【答案】；

【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；对顶角及其性质

【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴CB∥DA，∠A=∠B=90°，

∴∠PAO=∠OCQ，

∴AO=CO，

∵∠POA=∠COQ，

∴△APO=△CQO(ASA)，

∴PA=QC=2，OP=OQ，

过点P作PH⊥BC于点P，

∴四边形BHPA是矩形，

∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，

∴QH=2，

由勾股定理得，

∴PO=；

第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示：

∵DA⊥GO'，O为AC中点，

∴GA=3，

∴AP=2，OG=1，

∴GO'=3，GP=1，

由勾股定理得，

综上所述，的最大值为，的最小值为，

故答案为：；；

【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。

18．【答案】（1）

（2）

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质

【解析】【解答】解：第一空：∵四边形ACHI、ABDE为正方形，

∴AI=CA，BA=EA，

∵∠CAI=∠BAE=90°，

∴∠BAI=∠CAE，

∴△BAI≌△CAE（SAS），

∴BI=CE，

第二空：∵四边形AMNI为矩形，

∴MA=1，CM=4，

由勾股定理得，

∵NM=CA=5，

∴解得BM=2，

由勾股定理得，

∴正方形的面积是，

故答案为：＝；20

【分析】第一空：先根据正方形的性质即可得到AI=CA，BA=EA，进而根据题意得到∠BAI=∠CAE，再运用三角形全等的判定与性质证明△BAI≌△CAE（SAS）即可求解；

第二空：先根据矩形的性质得到MA=1，CM=4，再根据勾股定理得到，进而结合题意即可求出MB，进而根据勾股定理求出BC结合正方形的面积公式即可求解。

19．【答案】解：如图所示，即为所求图形．

第一个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是条对称轴的交点，即点位置；

第二个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴为图中虚线的位置，有条对称轴，任意取一条均为对称轴，对称中心是条对称轴的交点，即点位置；

第三个图形是中心对称图形，对称中心是点的位置．

【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形

【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可求解。

20．【答案】（1）解：∵在△ABC中，CD⊥AB于D，AB＝20，BC＝15，DC＝9，

∴BD＝，

AD＝，

∴AC＝AD+DC＝16+9＝25；

（2）解：∵AC＝25，BC＝15，AB＝20，202+152＝252，

∴△ABC是直角三角形．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）利用勾股定理分别求出AD和BD的长即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形．

21．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，

∴，，

∴，

又∵为的中点，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形．

（2）

【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；矩形的性质

【解析】【解答