人教版八年级数学第03讲 多边形及其内角和 暑假练习含解析

第第页人教版八年级数学第03讲多边形及其内角和暑假练习(含解析）第03讲多边形及其内角和

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·模块一多边形

·模块二多边形的内角和

·模块三课后作业

1.多边形的定义

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2.正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．

3.多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

【要点】①从边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；②n边形共有条对角线.

【考点1多边形及其概念】

【例1.1】下列说法错误的是（）

A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形

B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形

C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形

D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形

【例1.2】下列图中不是凸多边形的是（）

A．B．C．D．

【变式1.1】在四边形中，边的对边是（）

A．B．C．D．

【变式1.2】如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（）

A．只有三角形B．只有三角形和四边形

C．只有三角形、四边形和五边形D．只有三角形、四边形、五边形和六边形

【考点2多边形的对角线】

【例2.1】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（）

A．5B．6C．7D．8

【例2.2】一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成个三角形．则这个多边形有______条边．

【例2.3】（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.n边形可以分割成______个三角形.

（2）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？

（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？

【变式2.1】若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________

【变式2.2】已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值．

【考点3正多边形】

【例3.1】下列图形中，是正多边形的是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．长方形D．正方形

【例3.2】对于正多边形，下列说法正确的是（）

A．正多边形的边都相等，内角都相等；

B．各边相等的多边形是正多边形；

C．各角相等的多边形是正多边形；

D．由正多边形构成的多边形是正多边形；

【例3.3】如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？

【变式3.1】已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长．

【变式3.2】下列图形中，正多边形的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式3.3】如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__．

1.多边形的内角和公式

n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．

2.多边形的多边形外角和

n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.

3.多边形的边数与内角和、外角和的关系

n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.

【考点1多边形的内角和】

【例1.1】如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）

A．720°B．540°C．360°D．180°

【例1.2】一块四边形玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量，，则的度数（）

A．B．C．D．

【例1.3】小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°

(1)多算进去的那个内角为多少度？

(2)求这个多边形的边数？

【变式1.1】一个边形的所有内角和等于，则的值等于__．

【变式1.2】在△ABC中，∠C=55°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于___°．

【变式1.3】一个多边形的边数由5增加到11，则内角和增加的度数是__________

【考点2多边形的外角和】

【例2.1】若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形是（）．

A．正六边形B．正五边形C．正方形D．等边三角形

【例2.2】如图，是正六边形的边上的延长线，的度数是______．

【例2.3】如下图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，则∠AED的度数是（）

A．88°B．98°C．92°D．112°

【变式2.1】如图，在正六边形中，延长，交于点O，则______°．

【变式2.2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．

【变式2.3】如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边，两线交于点F，设，则x的值为（）．

A．15B．18C．21D．24

【考点3多边形的内角和与外角和的综合应用】

【例3.1】一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是________．

【例3.2】若一个三角形的外角和为，一个五边形的内角和为，则，的关系是（）

A．B．C．D．

【例3.3】如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则＝（）

A．B．C．D．

【变式3.1】一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数是_______．

【变式3.2】一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是()

A．8B．14C．16D．20

【变式3.3】一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

【变式3.4】已知一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？

1．如图所示的图形中，属于多边形的有

A．3个B．4个C．5个D．6个

2．下列说法错误的是（）

A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；

B．四边形有2条对角线；

C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；

D．六边形的六个角都相等；

3．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（）边形

A．十B．十一C．十二D．十三

5．如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）

A．B．C．D．

6．已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（）

A．10B．16C．20D．40

7．如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为（）

A．B．C．D．

8．从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形．

9．一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________．

10．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．

11．如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的和等于，则的度数为______．

12．在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是4：3：2，求∠A的度数．

13．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和．

14．已知一个正多边形相邻的内角比外角大．

(1)求这个正多边形的内角与外角的度数；

(2)求这个正多边形的边数．

15．按要求回答下列各小题．

(1)若一个n边形的内角和的比一个四边形的内角和多360°，求n的值；

(2)一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．第03讲多边形及其内角和

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·模块二多边形的内角和

·模块三课后作业

1.多边形的定义

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2.正多边形

各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．

3.多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

【要点】①从边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；②n边形共有条对角线.

【考点1多边形及其概念】

【例1.1】下列说法错误的是（）

A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形

B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形

C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形

D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形

【答案】D

【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．

【详解】解：A．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；

B．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；

C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；

D．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了四边形的定义以及多边形的定义，属于基础题，注意基础概念的熟练掌握．

【例1.2】下列图中不是凸多边形的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形，故A不是凸多边形；B是凸多边形；C是凸多边形；D是凸多边形.

故选A.

【变式1.1】在四边形中，边的对边是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据多边形的定义判断即可．

【详解】在四边形ABCD中，边AB的对边是CD．

故选D．

【点睛】本题主要考查了多边形的定义，属于基础题，比较简单．

【变式1.2】如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（）

A．只有三角形B．只有三角形和四边形

C．只有三角形、四边形和五边形D．只有三角形、四边形、五边形和六边形

【答案】C

【分析】由正五边形的性质和五角星的特点得出五角星含有的多边形中，有三角形、四边形和五边形.

【详解】解：根据题意得：在五角星含有的多边形中,有三角形、四边形和五边形,故选C．

【点睛】本题考查了正五边形的性质、五角星的特点,熟练掌握正五边形的性质是解决问题的关键．

【考点2多边形的对角线】

【例2.1】从多边形的一个顶点出发，可以画出4条对角线，则该多边形的边数为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】C

【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解．

【详解】解：设多边形的边数为，由题意，得：，

∴，

∴该多边形的边数为7；

故选C．

【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线是解题的关键．

【例2.2】一个多边形从同一个顶点引出的对角线，将这个多边形分成个三角形．则这个多边形有______条边．

【答案】7

【分析】根据过多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，即可求解得到答案．

【详解】解：设多边形有条边，

则，

解得：．

所以这个多边形有条边，

故答案为：．

【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握多边形对角线的性质是解题关键．

【例2.3】（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成_______个三角形.若是一个六边形，可以分割成_______个三角形.n边形可以分割成______个三角形.

（2）若将n边形内部任意取一点P，将P与各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？

（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点）,再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成多少个三角形？

【答案】（1）3，4，(n-2)；（2）n个；（3）(n-1)个.

【分析】（1）由四边形，五边形，六边形可得出规律，从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成（n-2）个三角形，依此作答；

（2）多边形内一点，可与多边形顶点连接n条线段，构造出n个三角形；

（3）若P点取在一边上，则可以与其他顶点连接出n-2条线段，可以分n边形为（n-1）个三角形．

【详解】(1)从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，

可以把这个五边形分成5-2=3个三角形；

若是一个六边形,可以分割成6-2=4个三角形；

……，依次类推，

n边形可以分割成(n-2)个三角形.

故答案为：3，4，(n-2)；

(2)n边形共有n条边，n个顶点，将n边形任意一条边的两顶点与点P相连，得到的三角形是唯一的，故可知此多边形被分割为n个三角形；

(3)若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），再将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n-1）个三角形.

【点睛】本题考查对角线分多边形的三角形个数问题，根据前几个图形的特点寻找规律是关键.

【变式2.1】若一个多边形无对角线，则这个多边形是_______________

【答案】三角形

【分析】由多边形的对角线的定义可得答案．

【详解】解：一个多边形无对角线，则这个多边形是三角形，

故答案为：三角形

【点睛】本题考查的是多边形的对角线的含义，熟记图形特点与对角线的定义是解本题的关键．

【变式2.2】已知：从边形的一个顶点出发共有条对角线；从边形的一个顶点出发的所有对角线把边形分成个三角形；正边形的边长为，周长为．求的值．

【答案】-1

【分析】根据题意，由多边形的性质，分析可得答案．

【详解】依题意有n=4+3=7，

m=6+2=8，

t=63÷7=9，

则(n﹣m)t=(7﹣8)9=﹣1．

【点睛】本题考查了多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出(n﹣3)条对角线，一共有条对角线，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成(n﹣2)个三角形．这些规律需要学生牢记．

【考点3正多边形】

【例3.1】下列图形中，是正多边形的是（）

A．直角三角形B．等腰三角形C．长方形D．正方形

【答案】D

【详解】A选项，直角三角形有一个内角是直角，其他两个内角都是锐角，即直角三角形的三个内角不都相等，故不是正多边形；

B选项，等腰三角形的三条边不一定都相等，所以不是正多边形；

C选项，长方形的四个角都是直角，但是四条边不一定都相等，故不是正多边形；D选项，正方形四个内角都相等，且四条边都相等，所以是正多边形．

【例3.2】对于正多边形，下列说法正确的是（）

A．正多边形的边都相等，内角都相等；

B．各边相等的多边形是正多边形；

C．各角相等的多边形是正多边形；

D．由正多边形构成的多边形是正多边形；

【答案】A

【分析】A.由正多边形的性质可得

B.举反例判断即可

C.举反例判断即可

D.举反例判断即可

【详解】A.由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确

B.菱形不是正方形，错误

C.矩形不是正方形，错误

D.正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误

故选：A．

【点睛】本题考查了正多边形的定义：平面内各边相等，各角相等的多边形是正多边形，准确理解定义及性质是解题关键．

【例3.3】如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是多少？

【答案】4

【分析】根据小正三角形和正六边形的各边都分别相等，且每个小正三角形与正六边形均有公共边进行计算即可；

【详解】小正三角形和正六边形的各边都分别相等，且每个小正三角形与正六边形均有公共边，.

又

，

，

即剪去的小正三角形的边长是4．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质应用，准确计算是解题的关键．

【变式3.1】已知正多边形的周长为56，从其一个顶点出发共有4条对角线，求这个正多边形的边长．

【答案】这个多边形的边长为8．

【分析】根据从一个顶点出发共有4条对角线，求出这是正七边形即可求出边长.

【详解】∵过多边形的一个顶点共有4条对角线，故该多边形边数为4+3＝7，

设这个正方形的边长为x，则7x＝56，

解得：x＝8

∴这个多边形的边长为8．

【点睛】本题考查了正n边形的对角线和周长,属于简单题,熟悉正多边形对角线的求法是解题关键.

【变式3.2】下列图形中，正多边形的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【详解】由正多边形的性质可得图①②④都是正多边形，故选C.

【变式3.3】如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为__．

【答案】n（n+1）．

【分析】根据前几个图形的边数计算可知正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

【详解】解：∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，

②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，

③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，

④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，

∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．

故答案为n（n+1）．

【点睛】此题主要考查图形的规律探索，解题的关键是发现图形的规律变化，再进行计算.

1.多边形的内角和公式

n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)．

2.多边形的多边形外角和

n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.

3.多边形的边数与内角和、外角和的关系

n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.

【考点1多边形的内角和】

【例1.1】如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）

A．720°B．540°C．360°D．180°

【答案】B

【分析】根据多边形的内角和公式求出即可．

【详解】解：∵黑色皮块是正五边形，

∴黑色皮块的内角和是．

故选：B．

【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记多边形的内角和公式是解此题的关键，边数为n的多边形的内角和为．

【例1.2】一块四边形玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量，，则的度数（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据四边形内角和求解即可．应该是

【详解】解：∵，，四边形内角和为360度，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查了四边形内角和，熟记知识点是解题关键．

【例1.3】小红在求一个凸n边形的内角和时，多算了一个角，求得的内角和为1920°

(1)多算进去的那个内角为多少度？

(2)求这个多边形的边数？

【答案】(1)120度

(2)12边

【分析】（1）根据多边形的内角和应为180的整数倍即可求解；

（2）根据多边形的内角和公式即可进行求解．

【详解】（1）解：∵，

∴多算进去的内角度数：；

（2）右（1）可知，多算进去的内角为，

∴这个多边形的内角和为：，

，解得：，

∴这个多边形边数为12．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和为180的整数倍以及多边形的内角和公式．

【变式1.1】一个边形的所有内角和等于，则的值等于__．

【答案】5

【分析】已知边形的内角和为，根据多边形内角和的公式易求解．

【详解】解：依题意有

，

解得．

故答案为：5．

【点睛】主要考查的是多边形的内角和公式，本题的难度简单．掌握多边形的内角和为是解题的关键．

【变式1.2】在△ABC中，∠C=55°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于___°．

【答案】235

【分析】先根据三角形内角和可以计算出∠A+∠B的度数，再根据四边形内角和为360°可算出∠1+∠2的结果．

【详解】解：∵△ABC中，∠C=55°，

∴∠A+∠B=180°-∠C=125°，

∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，

∴∠1+∠2=360°-125°=235°，

故答案为：235．

【点睛】此题主要考查了三角形内角和以及多边形内角和，关键是掌握多边形内角和定理：(n-2)×180°．

【变式1.3】一个多边形的边数由5增加到11，则内角和增加的度数是__________

【答案】

【分析】根据n边形的内角和定理分别得到两个多边形的内角和，再相减即可求解．

【详解】．

故内角和增加的度数为．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．

【考点2多边形的外角和】

【例2.1】若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形是（）．

A．正六边形B．正五边形C．正方形D．等边三角形

【答案】A

【分析】根据正多边形的性质和多边形的外角和即可得．

【详解】任意一个多边形的外角和均为，

由正多边形的性质可知，其每一个外角都相等，

设这个正多边形为正边形，

则，

解得，

即这个正多边形为正六边形，

故选：A．

【点睛】本题考查了正多边形的性质和多边形的外角和，熟记正多边形性质是解题关键．

【例2.2】如图，是正六边形的边上的延长线，的度数是______．

【答案】/60度

【分析】利用多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，进行求解即可．

【详解】解：是正六边形的边上的延长线，

∴是正六边形的一个外角，

∴；

故答案为：．

【点睛】本题考查正多边形的外角．熟练掌握正多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等，是解题的关键．

【例2.3】如下图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，则∠AED的度数是（）

A．88°B．98°C．92°D．112°

【答案】C

【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解．

【详解】解：根据多边形外角和定理得到：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，

∴∠5＝360°﹣4×68°＝88°，

∴∠AED＝180°﹣∠5＝180°﹣88＝92°．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°．

【变式2.1】如图，在正六边形中，延长，交于点O，则______°．

【答案】60

【分析】根据多边形的外角和为，求出正六边形的每个外角的度数，最后根据三角形内角和即可求出结果．

【详解】解：∵六边形为正六边形，多边形的外角和为，

∴，

∴．

故答案为：60．

【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，三角形的内角和，根据多边形外角和求出，是解题的关键．

【变式2.2】如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了_________米．

【答案】90

【分析】根据题意可得小明所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．

【详解】解：根据题意得：小明第一次回到出发地A点时，他一共转了，且每次都是向左转，

∵，

∴小明共转了9次，

∵一次沿直线前进10米，

∴他第一次回到出发地A点时，一共走了米．

故答案为：90．

【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，解题的关键是能够理解题意，熟知多边形的外角和是．

【变式2.3】如图，正十边形与正方形共边，延长正方形的一边与正十边形的一边，两线交于点F，设，则x的值为（）．

A．15B．18C．21D．24

【答案】B

【分析】延长交于，根据正多边形的外角为，结合三角形的外角性质可求得，再根据直角三角形的两个锐角互余求解即可．

【详解】解：如图，延长交于，则，

∴，

∵，

∴，即，

故选：B．

【点睛】本题考查正多边形的外角、三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟知正多边形的外角计算公式是解答的关键．

【考点3多边形的内角和与外角和的综合应用】

【例3.1】一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数是________．

【答案】12

【分析】设这个多边形的边数为，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，列出方程求解即可．

【详解】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得多边形的内角和是外角和的5倍，

∴，

解得：，

所以这个多边形的边数为12．

故答案为：12．

【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及多边形的内角和与外角和等，理解题意，列出方程是解题关键．

【例3.2】若一个三角形的外角和为，一个五边形的内角和为，则，的关系是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】任意多边形的外角和为360°，边形的内角的和等于:°(且n为整数)，而计算即可．

【详解】任意多边形的外角和为360°，,

故选：D.

【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键．

【例3.3】如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则＝（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先求出正五边形的一个外角，再求出内角度数，然后在四边形中，利用四边形内角和求出．

【详解】∵正五边形外角和为，

∴外角，

∴内角，

∵平分，平分正五边形的外角，

∴，，

在四边形中，，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便，掌握正多边形的内角和与外角的性质是解题的关键．

【变式3.1】一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角与相邻外角度数比均为，则这个正多边形的边数是_______．

【答案】9

【分析】设每个内角为，每个外角为，先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角的度数，再根据多边形的外角和是，从而代入公式求解即可．

【详解】解：设每个内角为，每个外角为，

根据题意得：，

解得，

故每个外角为，

，

故这个正多边形的边数是9，

故答案为：9．

【点睛】本题主要考查的是多边形的内角与外角，根据题意列出方程是解题的关键．

【变式3.2】一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是()

A．8B．14C．16D．20

【答案】C

【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．

【详解】∵正多边形的每个内角为135°，

∴每个外角是180°-135°=45°，

∵多边形的边数为：360÷45=8，

则这个多边形是八边形，

∴这个多边形的周长=2×8=16，

故选C．

【点睛】本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n-2）×180°；n边形的外角和为360°．

【变式3.3】一个多边形的内角和为，外角和为，则的多边形的是（）

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形

【答案】D

【分析】任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可．

【详解】解：设多边形的边数为n．

根据题意得：，

解得：．

故多边形的是六边形．

故选：D．

【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为和多边形的内角和公式是解题的关键．

【变式3.4】已知一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？

【答案】

【分析】本题先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比它的外角和多，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数．

【详解】解：设这个多边形的边数为，

依题意，得：，

解得：，

∵这个多边形各个内角的度数都相等，

∴这个多边形的每个内角是：．

∴这个多边形的每个内角是度．

【点睛】本题考查多边形的内角和定理与外角和．多边形内角和定理：（且为整数）；多边形的外角和等于．解题的关键根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．

1．如图所示的图形中，属于多边形的有

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】A

【详解】解：根据多边形的定义：平面内不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形．显然只有第一个、第二个、第五个符合题意．

故选A．

2．下列说法错误的是（）

A．五边形有5条边，5个内角，5个顶点；

B．四边形有2条对角线；

C．连接对角线，可以把多边形分成三角形；

D．六边形的六个角都相等；

【答案】D

【分析】运用多边形的定义及其内角、对角线等知识分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】解：A、五边形有5条边，5个内角，5个顶点，原选项正确，故不符合题意；

B、四边形有2条对角线，原选项正确，故不符合题意；；

C、连接对角线，可以把多边形分成三角形，原选项正确，故不符合题意；

D、六边形的六个角不一定相等，只有正六边形的六个内角相等，原选项错误，故符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了多边形的定义及其内角、对角线等知识点，解决本题的关键是熟练掌握多边形的定义．

3．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边分成10个三角形，则这个多边形是（）边形

A．十B．十一C．十二D．十三

【答案】C

【分析】从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n3）条对角线，把n边形分为（n2）的三角形．

【详解】解：由题意可知，n2＝10，解得n＝12．

∴这个多边形的边数为12．

故选：C．

【点睛】此题主要考查了多边形，关键是掌握从一个n边形的某个顶点出发，可以把n边形分为（n2）的三角形．

4．下列多边形中，内角和为的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据n边形的内角和公式为，进行求解即可．

【详解】解：∵n边形的内角和公式为，

∴当°，

则．

∴四边形的内角和等于．

故选：C．

【点睛】本题主要考查多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．

5．如图1所示的是被称作“通州八景”之一的燃灯佛舍利塔，它巍峨挺拔，雄伟壮观，始建于北周年间，是北京地区建造年代最早、最高大的佛塔之一．燃灯佛舍利塔为八角形十三层砖木结构密檐式塔，十三层均为正八边形砖木结构，图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】根据多边形内角和计算公式求解即可．

【详解】解：，

∴图2所示的正八边形是其中一层的平面示意图，其内角和为，

故选C．

【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键：对于n边形，其内角和为．

6．已知一个多边形内角和为，则这个多边形可连对角线的条数是（）

A．10B．16C．20D．40

【答案】C

【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即可．

【详解】解：设这个多边形为n边形，

由题意得，，

∴，

∴这个多边形为八边形，

∴这个多边形可连对角线的条数是，

故选C．

【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是是解题的关键．

7．如图，在正五边形中，以为边向内作正，则度数为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先根据题意求出的度数，再由等边三角形的性质可知，据此可得出结论．

【详解】解：∵五边形是正五边形，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】此题主要考查正多边形的计算问题、等边三角形的性质，掌握正多边形定义及内角和公式、等边三角形的性质的综合应用是解题关键．

8．从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形．

【答案】

【分析】从n边形的一个顶点出发有条对角线，共分成了个三角形．

【详解】解：当时，，

即可以把这个十六边形分成了个三角形，

故答案为：．

【点睛】本题考查了多边形的对角线，熟记相关公式是解题的关键，如果记不住公式，可以从四边形、五边形开始，画图探索规律．

9．一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________．

【答案】7

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用800°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值，由此可求得答案．

【详解】解：800°÷180°＝4……80°，

∵除去了一个内角，

∴n﹣2＝4+1＝5，

∴n＝5+2＝7，

故答案为：7．

【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据公式利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．

10．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为______．

【答案】1