2022-2023学年山东省日照市高一（下）期中数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.若，则的值为()

A.B.C.D.

2.已知角的终边过点，则的值为()

A.B.C.D.

3.函数的部分图象大致为()

A.B.

C.D.

4.如图，在中，为线段上的一点，且若，则()

A.，

B.，

C.，

D.，

5.将函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图像，则()

A.B.C.D.

6.已知函数，下列结论正确的是()

A.函数图像关于对称

B.函数在上单调递增

C.若，则

D.函数的最小值为

7.如图等腰直角三角形，，以为直径作一半圆，点为半圆上任意一点，则的最大值是()

A.

B.

C.

D.

8.已知函数的图像关于直线对称，若，则的最小值为()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.下列函数中，既为偶函数又在上单调递减的是()

A.B.C.D.

10.函数的部分图像如图所示，若函数的图像由图像向左平移个单位得到，则关于函数的描述正确的是()

A.

B.

C.函数的图像关于对称

D.函数的图像关于中心对称

11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则()

A.与能构成一组基底

B.

C.在向量上的投影向量的模为

D.的最大值为

12.由倍角公式可知，可以表示为的二次多项式一般地，存在一个次多项式，使得，这些多项式称为切比雪夫多项式运用探究切比雪夫多项式的方法可得()

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.若，则______．

14.已知向量，，且与垂直，则______．

15.函数在上是减函数，且在上恰好取得一次最小值，则的取值范围是______．

16.已知非零向量，，对任意实数，恒成立，则的取值范围是______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

已知向量，．

若，求的值；

若，求的值．

18.本小题分

已知函数．

求函数的最小正周期，最大值及取最大值时相应的值；

如果，求的取值范围．

19.本小题分

已知函数的图像关于中心对称，且图像上相邻两个对称轴的距离为．

求函数的解析式；

设，，且，若，求的值．

20.本小题分

设是半径为的圆内接正边形，是圆上的动点．

求的取值范围；

试探究是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

21.本小题分

如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，设．

求的值；

若函数，求的单调递增区间；

在的条件下，函数的最小值为，求实数的值．

22.本小题分

某小区地下车库出入口通道转弯处是直角拐弯双车道，平面设计如图所示，每条车道宽为米现有一辆汽车，车体的水平截面图近似为矩形，它的宽为米，车体里侧所在直线与双车道的分界线相交于、，记．

若汽车在转弯的某一刻，，都在双车道的分界线上，直线恰好过路口边界，且，求此汽车的车长；

为保证行车安全，在里侧车道转弯时，车体不能越过双车道分界线，求汽车车长的最大值；

某研究性学习小组记录了里侧车道的平均道路通行密度辆，统计如下：

时间：：：：：

里侧车道通行密度

现给出两种函数模型：

；

，

请你根据上表中的数据，从中选择最合适的函数模型来描述里侧车道早七点至八点的平均道路通行密度单位：辆与时间单位：分的关系其中为：至：所经过的时间，例如：即分，并根据表中数据求出相应函数的解析式．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为，

则．

故选：．

由已知结合诱导公式进行化简即可求解．

本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．

2.【答案】

【解析】解：因为角的终边过点，即，

则．

故选：．

由已知结合三角函数的定义即可求解．

本题主要考查了三角函数定义的应用，属于基础题．

3.【答案】

【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，有，

函数为奇函数，排除，

在区间上，，，

在区间上，，，排除，

故选：．

根据题意，用排除法分析：分析函数的奇偶性排除，分析函数值的符号排除，即可得答案．

本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性以及函数值的符号，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：由可得，

所以

，

，．

故选：．

由已知，点是线段的一个四等分点，得出与的关系，再由向量的线性运算即可求得，的值．

本题考查平面向量基本定理，属基础题．

5.【答案】

【解析】解：因为函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，

再把图像上各点的横坐标扩大到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图像，

所以将图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，

得，再向右平移个单位长度可得的图象．

故选：．

由题意将图象上所有点横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度可得的的图象，从而可求出的解析式．

本题主要考查函数的图象变换，考查运算求解能力，属于基础题．

6.【答案】

【解析】解：，

的图像如图所示．

对于，因为，所以对；

对于，根据图像知错；

对于，当，，，但，，所以错；

对于，根据图像知错．

故选：．

根据对称条件判断；根据图像判断；举反例判断；根据图像判断．

本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的基本性质，属于中档题．

7.【答案】

【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

则，

点在圆的左上半圆上运动，

设，

则，

即，

则，

即的最大值是．

故选：．

由圆的方程，结合平面向量数量积的坐标运算求解即可．

本题考查了圆的方程，重点考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．

8.【答案】

【解析】解：因为为辅助角的图像关于直线对称，

所以，

解得，

所以，，

若，则的最小值为．

故选：．

由已知利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的对称性先求出，再由正弦函数的周期性可求．

本题主要考查了正弦函数的对称性，周期性及最值取得条件的应用，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于，函数为偶函数，又时，函数在上单调递增，

函数在上单调递减，故A符合题意；

对于，，且函数定义域为，

函数为偶函数，当时，，

且函数在上单调递减，

函数在上单调递减，故B符合题意；

对于，，

函数在上单调递增，故C不符合题意；

对于，记，

则，，

函数不是偶函数，故D不符合题意．

故选：．

逐项研究函数的奇偶性与单调性即可．

本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断，属于中档题．

10.【答案】

【解析】解：由图象知，则，

，，得，

，，

则，

由五点对应法得，

得，得，

则，

将图像向左平移个单位得到，

则，故A错误，B正确，

当时，，此时，则函数的图像关于对称，故C正确，

当时，，此时，则函数的图像关于中心对称，故D正确，

故选：．

根据图象求出函数解析式，根据图象变换得到的解析式，根据函数的对称性进行判断即可．

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求函数和的解析式，利用三角函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是中档题．

11.【答案】

【解析】解：连接，

，，

，，

，

以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

则，

，

，

与平行，不能构成一组基底，A错误；

，，，，

，B正确；

，，，

在向量上的投影向量的模长为，C正确；

取的中点，则，，

，，

两式相减得：，

当点与点或重合时，最大，

最大值为，

的最大值为，D正确．

故选：．

选项，作出辅助线，证明出，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，故A错误；

选项，求出得到B正确；

选项，求出，，利用投影向量的计算公式求出答案；

选项，取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值．

本题考查平面向量的坐标运算，向量的共线定理，投影向量的定义，函数思想，化归转化思想，属中档题．

12.【答案】

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，则，故A错误；

对于，，则，故B正确；

对于，由于，即，变形可得，即，

解可得：或舍，则有，即，C正确；

对于，由的结论，，则，D错误．

故选：．

根据题意，结合切比雪夫多项式的方法依次分析选项是否正确，综合可得答案．

本题考查合情推理的应用，涉及三角函数的恒等变形，属于中档题．

13.【答案】

【解析】解：．

故答案为：．

利用诱导公式，即可得出答案．

本题考查了诱导公式的应用，考查转化思想，属于基础题．

14.【答案】

【解析】解：根据题意，向量，，

且，，

若与垂直，则，

解可得：，

故答案为：．

根据题意，求出与的坐标，由数量积的计算公式可得关于的方程，解方程可得答案．

本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题．

15.【答案】

【解析】解：由题意可得，可得，

因为，所以，

解得；

因为上恰好取得一次最小值，

则，

所以，解得，

又因为上是减函数，则，

则且，

解得且，即，

因为，

综上所述：的取值范围为：

故答案为：

由在上是减函数，可得的范围，再由在上恰好取得一次最小值，可得的范围，进而求出的范围．

本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：对任意实数，恒成立，

对任意实数恒成立，

对任意实数恒成立，

，

，

即，

即，

，，

当，即时，等式成立，此时；

当时，，令，，

此时是以为斜边的直角三角形，

，此时，

综上，的取值范围为．

故答案为：．

将条件式两边同时平方转化为关于的一元二次不等式的恒成立问题，再求解即可．

本题考查向量和一元二次不等式恒成立的综合应用，属于中档题．

17.【答案】解：向量，，，

，，

，．

，，，

，

，，

，，

．

【解析】由向量共线的坐标表示列方程，结合同角三角函数基本关系即可求解；

将已知条件两边同时平方，可得，由向量垂直的坐标表示可得，结合，求出的值，再由余弦的二倍角公式即可求解．

本题考查平面向量的运算，考查向量平行、向量垂直、向量的模、向量数量积公式、同角三角函数关系式、余弦二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

18.【答案】解：

分

的最小正周期．

当，时，取得最大值分

由，得，

，

的值域为分

【解析】利用三角函数的倍角公式与辅助角公式将转化为，即可求得函数的最小正周期，最大值及取最大值时相应的值；

由可求得，利用正弦函数的性质即可求得的取值范围．

本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，考查转化与运算能力，属于中档题．

19.【答案】解：图像上相邻两个对称轴的距离为，

，即，即，得，

则，

的图像关于中心对称，

，，得，，

，当时，，

则

当，，，

设，则函数，则上的对称轴为，

由，得，

即关于对称，

，，

即，

则．

【解析】根据对称轴和对称中心，求出和的值即可．

求出函数的对称轴，利用函数的对称性求出，然后代入求值即可．

本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的对称性进行求解是解决本题的关键，是中档题．

20.【答案】解：

是半径为的圆内接正边形，是圆上的动点，

当，重合时，，

当是直径时，，即，

即的取值范围是．

是半径为的圆内接正边形，

，

则，为定值．

【解析】利用向量加法和减法法则进行化简求解即可．

利用向量长度与向量数量积关系进行转化求解即可．

本题主要考查向量数量积的计算，根据向量加法和减法法则进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．

21.【答案】解：由题意知：，，

；

由得：，

令，

解得：，

的单调递增区间为；

由得：，

令，则，

是开口方向向下，对称轴为的抛物线，

当，即时，，解得：，

当，即时，，解得：，

综上所述：或．

【解析】由三角函数定义可得，，将直接代入即可求得；

由可得，根据正弦型函数单调区间的求法可求得结果；

结合诱导公式和二倍角公式，采用换元法可将转化为关于的二次函数的形式，讨论对称轴位置即可利用最小值构造方程求得的值．

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的性质，属于中档题．

22.【答案】解：作，垂足为，作，垂足为，

因为，所以，

在中，，在中，，

在中，，在中，，

所以米，

所以当时，汽车车长为米；