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文档简介

二重积分的概念与性质

第一节二重积分的概念与性质第一节1一、两个实例x0z

yDSS:z=f(x,y)积分元素法

将区域D分成n个无公共内点的小区域2以平代曲ii1化整为零Vi1.曲顶柱体的体积一、两个实例x0zyDSS:z=f(x,y)积2S:z=f(x,y)积分元素法

将区域D分成n个无公共内点的小区域2以平代曲i一、两个实例x0z

yDi3积零为整1化整为零Vi1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)积分元素法将区域3S:z=f(x,y)积分元素法

将区域D分成n个无公共内点的小区域2以平代曲i3积零为整一、两个实例x0z

yDi4取极限令分法无限变细1化整为零1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)积分元素法将区域4x0z

yD1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,y)积分元素法

将区域D分成n个无公共内点的小区域2以平代曲i3积零为整一、两个实例4取极限令分法无限变细1化整为零x0zyD1.曲顶柱体的体积S:z=f(x,5x0z

yVS:z=f(x,y)积分元素法

将区域D分成n个无公共内点的小区域2以平代曲i3积零为整一、两个实例4取极限令分法无限变细1化整为零1.曲顶柱体的体积x0zyVS:z=f(x,y)积分元素法6把薄片任意分割成

n

个小块

i，将每一

i近似看作均匀薄片，则该小块的质量2.平面薄片的质量把薄片任意分割成n个小块i，将每一i近似看71.定义设函数

f(x,

y)

在平面有界闭区域D上有界，将

D

任意分成

n

个无公共内点的小区域每个小区域的面积记作在每个小区域上任意取一点作和式如果上述和式的极限存在，点

Pi

的取法无关，并且与区域

D

的分法及则称此极限值为函数

f(x,

y)

在区域

D

上的二重积分，记作此时也称函数

f

(x,

y)

在区域

D

上是可积的．二、二重积分的概念1.定义设函数f(x,y)在平面有界闭区域D上有界8由定义其中：称为被积函数，称为积分区域，称为被积表达式，称为面积元素，称为积分和式．2.函数可积的条件

可以证明：即:连续→可积．如果

f(x,

y)

在有界闭区域

D

上连续，那么

f(x,

y)

在D

上可积．由定义其中：称为被积函数，称为积分区域，称为被积表93.二重积分的几何意义

以

xoy

面上的区域

D

为底的曲顶柱体的体积．表示以曲面

z=f(x,

y)

为顶，以曲面

z=

f(x,

y)

为顶，以

xoy

面上的区域

D

为底的曲顶柱体的体积．以曲面

z=

f(x,

y)

为顶，以

xoy

面上的区域

D

为底的曲顶柱体的体积的相反数．一般地，3.二重积分的几何意义以xoy面上的区域D为底10性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质3性质4则有如果在

D

上性质1性质2（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性11推论1推论2性质5二重积分估值定理二重积分中值定理其中：也称为函数

f(x,

y)

在区域

D

上的平均值．推论1推

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