流体的有旋流动和无旋流动

第四章流体的有旋流动和无旋流动在上一章中我们阐述了流体流动的一些基本概念，导出了流体流动的连续性方程、欧拉运动方程、伯努利方程和动量方程等，为解决工程实际问题奠定了一定的理论基础。本章将进一步讨论流体的有旋流动和无旋流动。第一节流体微团运动的分析我们知道，刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。下面我们分别讨论这几种运动情况。一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx、dy、dz，形心a处的速度为u,沿三个坐标轴的速度分量分别为ux、uy、uz，如图4-1所示。如果微团内各点的速度xyz在坐标轴上的分量也都是ux、uy和uz,那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只xyz能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。k k图4-1微团移动分析?1dx k k图4-1微团移动分析?1dx A x图4-2微团旋转运动分析二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy平面的轴（z轴）转动的情况，如图4-2所示。设0点在x轴和y轴方向的速度分量分别为^和uy。当A点在y轴方向的分速xy度不同于0点在y轴方向的分速度及B点在x轴方向的分速度不同于0点在x轴方向的分

速度时，流体微团才会发生旋转。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按

uu泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为U一dx和u一dy，它yx xyuu们相对于0点的对应分速度（相对于0点的线速度）分别为一dx和-dy，所以它们相对xy于0点的角速度（逆时针方向旋转为正）应为uuA点上 ydx/dxyxxB点上B点上dy/dy而对于微团中其它各点绕z轴转动的角速度如C点等）则是由该点y向的分速度在x轴方向的变化量和x向的分速度在y轴方向的变化量共同产生的。因此，我们可以把整个微团绕z轴转动的分角速度用OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示，即1u2（；同理，可求得流体微团绕x轴和y轴转动的角速度分量仪和色。于是流体微团旋转角速度的三个分量分别为1u2=匕）x（4－1）1u2=匕）x（4－1）2（丄2x匕）y而1p2x2 2y z（4－2）写成向量形式为11ij kurotu（4－3）xyz22ijkrout/u u（―z —）i（亠u、•/u—）j（―4亠）kxyzyzzxxyuuuxyz为流场的涡量，一般用为流场的涡量，一般用式中：xiyjzk*哈米尔顿算子rotu为速度u的旋度，在流体力学中也称表示，即2。那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为

2xxuyu yz2uu(4—4)xzyyzx2u yuzzxy而 v2 2 2 (4—5)x y z当涡量rotu0,即①=®=®=0时，流体的流动是无旋的，称为无旋流动，否xyz则称为有旋流动。应当指出，判断流体微团是有旋流动还是无旋流动，完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如图4—3所示，流体微团的运动轨迹均为圆周线，在(a中微团自身有转动，是有旋流动；在(b冲微团自身没有转动，是无旋流动。(a)有旋流动 (a)有旋流动 (b)无旋流动图4—3流体微团的运动轨迹对于圆柱坐标系来说uuiuiuirre0zz因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式，即匕)z1u( 1u( r2z匕)r(4—6)22r22ruu—0 )rr(4—7)

写成向量式为rr288uuu写成向量式为rr288uuu2 —8 8 ——riii

rr 88 zziiirr 88 zz（4－8）（4－9）（4－6a）（4－8a）三、线变形运动线变形运动是指流体微团的形状随时间在变化，而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动。所以线变形运动又称作体变形运动。对于不可压缩流体来说，流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小。图4-4图4-4微团线变形运动分析流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间内单位长度的伸长量（或缩短量）来表示的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用取取*表示。如图4-4所示，在流场中任xyz取一流体微团，形心点为0,OA平行于x轴，长度为dx,OB平行于y轴，长度为dy,OC平行于z轴垂直于纸面），长度为dz。形心0点处流体质点的速度u在各坐标轴上的分量为u、u、u。A点的x向分速度和B点的y向分速度及C点的z向分速度可按泰勒级数展开xyzuuu并略去高阶无穷小量得到，它们分别为u ^dx、u ydy和u zdz。则Axxyyzzu点相对0点在x轴方向的相对速度为—dx；B点相对0点在y轴方向的相对速度为xu”dy；C点相对0点在z轴方向的相对速度为一dz。就是由于这些相对速度的存在,yz将造成流体微团在各坐标轴方向伸长或缩短)。在dT时间内0A在x轴方向的伸长量为dxdudxd在dT时间内OB在y轴方向的缩短量为一dyd;在dT时间内0C在z轴方yu。则在x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长向的伸长量或缩短量)为。则在x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长z量为u——u——xxdxddxd在y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为u—dydy uy yy dyd y同理，在z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)为dzddzd由此得到流体微团的线变形运动速度分量为u xxu—(4-10)yyuzz如果我们用£来表示流体微团在单位时间内的体积变形率，或称体积膨胀率，则有uuuxyzdivu (4-11)xyzxyz式中：dim为速度u的散度。显然，对于不可压缩流体，s=0,即体积变形率为零。四、角变形运动如果流体微团内各点的受力不均，有切向力存在时，将会使流体微团产生角变形运动。

角变形运动的快慢程度用角变形速度。来度量。角变形速度的大小常用流体微团中某一直角

的角度在单位时间内的改变量的一半来表示，它在各坐标轴方向的分量分别用表

示。在流场中任取一流体微团，如图4-5所示。设O点在x轴和y轴方向的分速度分别为

巴和uy°A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高

uu阶无穷小量而得到，它们分别为u ydx和u -dy，相对于0点而言，A点在yyxxy方向的分速度为uydx;方向的分速度为uydx;B点在x方向的分速度为xdy。因此,相对于o点的对应的角速度分别为A速度分别为A点上uu-^dx/dx——yxxB点上dy/dyu—B点上dy/dyu—x°苛dadx X图4-5微团角变形运动分析在dT寸间内对应的角度变化量分别为-xdud——d-xdx则ZAOB在dT寸间内的总变化量为（丄xudd——（丄xx于是，流体微团在xoy平面内的角变形速度为匚亠d1xy1uu(~y——)z2d2xy同理，可得到流体微团在yoz平面和xoz平面内的角变形速度。因此，流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为

1(u(z2y1u( x匕)1(u(z2y1u( x匕)z匕)x(4－12)2』2x匕)y2z面我们对流体微团的移动、转动和变形运动分别进行了讨论和分析，但在实际情况下，流体微团的运动一般都同时存在着移动、转动和变形运动。因此，在分析流体的实际运动状态时，应当进行综合分析和研究。例4一1有一平面流场的速度分布为：u=x2y+y2,u=x2—xy2，求此流场中在x=l,xyy=2点处的旋转角速度、角变形速度和体积膨胀速率。解旋转角速度为2(uyUx)(2x2y2x22y)z2xy(xy)—(X22y2)3—2角变形速度为2(z2uyUx)(2x2y2x22y)xy(xy)1(X22y2)32u体积膨胀速率亠2xy2xy0体积膨胀速率y由此可知，该流场为稳定流场，在x=1,y=2处为顺时针旋转；角变形减小角收缩变形);没有体膨胀变形，在x轴方向和y轴方向的线变形速率的绝对值均为2xy=4o例4—2试判断下列流场是有旋流场还是无旋流场。(1)u=y+z+1x，u=x+z+2，yu=xz+y+3(2)u=2rsin0rcosu=2rsinQ6u=0z解(1)1(u u)(―z —)1)0x2yz21(u u)( )1)0y2zx21(u u)(―y—)111)0z2xy2u)r匕)2(ru)r匕)2(rcr20)0所以此流场是无旋流场。(2)此流场是二维流场，即勺=叫=0丄iz2r—Ut —Ur) —[2sirn 2sir? — 2r(cos sin)]r r 2 r3sin2co2s故此流场是有旋流场。例4－3若流体质点的运动轨迹是直线，这种流动是否一定是无旋流动?若流体质点的运动轨迹是曲线，这种流动是否一定是有旋流动?试举例说明。解流体的流动是有旋还是无旋，是根据流体质点本身是否具有旋转这一特征来划分的，而并不涉及流体质点的运动轨迹是直线还是曲线。流体作直线运动，可以是无旋流动，也可以是有旋流动；而流体作曲线运动，可以是有旋流动，也可以是无旋流动。现举例说明如下(a)流体的流动速度为ux=3y－2y2，uy=0，uz=0。xyz显然，此流场是稳定流场，并且流线和迹线都是直线，即流体在作直线运动，但是1u u 1 3(―y x) (034y)2y0z2x y 2 2所以，此流动为有旋流动。c(b)流体的流动速度为ur=0,u=—,u=0(c为常数)。r t/rz显然，此流场为稳定流场，并且流线和迹线都是同心圆周线，即流体是作曲线运动，但是匕)1u(——r2z所以，此流动为无旋流动。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度在有旋流动的流场中，全部或局部地区的流体微团绕自身轴旋转，于是就形成了一个用涡量或角速度表示的涡量场，或称为旋涡场。如同在速度场中曾经引入流线、流管、流束和流量一样，在涡量场中，我们引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。涡线是这样一条曲线，在给定瞬时，曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合。因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的，所以涡线也就是沿曲线各个流体微团的瞬时转动轴线，如图4－6所示。一般而言，涡线并不与流线相重合，而是与

图4－6涡线 图4－7涡管从概念上讲，涡线和流线两者是很相似的。其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量。从涡线的定义我们知道，涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴，而其向量代表流体微团的旋转角速度。于是，我们可用推导流线微分方程类似的方法得到涡线微分方程，即dxdydz(4-14)xyz在给定的瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一个管状表面，称为涡管，如图4-7所示。涡管中充满着作旋转运动的流体，亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族，称为涡束。在稳定流场中，涡管和涡束的形状不随时间而改变。垂直于涡管中所有涡线的截面称为涡旋截面。涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为旋涡强度，也称为涡管强度或涡通量。常用I来表示。对于涡旋截面为dA的微元涡管(或涡束)，其旋涡强度为(4-15)dIrotudAdA(4-15)那么，整个涡管的旋涡强度可表示为IrotudAdAAAdA

AIrotudAdAAAdA

AxxdAdA

yyzz(4-16)在上一章我们讲到，流体的流量和质点的速度可以利用伯努利方程通过测量压力差来计算，但旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得。根据实际观察发现，在有旋流动的流场中，流体环绕某一核心旋转时，旋涡强度越大，旋转速度越快，旋转的范围就越扩大。因此可以推断，在有旋流动中，流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系。为了解决这个问题，我们需要引入速度环量的概念，利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度。

图4-8速度环量在流场中任取一封闭曲线s,如图4-8所示，则流速U沿此曲线的积分称为曲线S上的速度环量，用r表示。即r：'-udssr：'-udssudyyudzz(4-17)速度环量是个标量，它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向。一般规定积分时以逆时针方向绕行为正。即当速度u在积分线路ds上的投影与ds同向时，r为正，反之为负。设封闭曲线S所包围的区域A为单连通域，根据数学分析中的斯托克斯公式，沿封闭曲线S的线积分可以化为以S为边界的曲面A的面积分。即:uds■■■uxdxudyyudzzss(uzuy)dydz(uxuz)dzdx(y ux)dxdy(4-18)AyzzxxydAdAdAdAroutdAAxxyyzzAA亦即rI(4-18a)式(4-18)表明，在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度。这个结论在流体力学中称为斯托克斯定理。由斯托克斯定理可知，速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在，而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度。在无旋流动的流场中，涡量^=0，所以沿任何封闭曲线的速度环量都等于零。反之也可以断定，如果在一个流动区域内沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，那么该区域内就没有旋涡存在，即该区域内的流动一定是无旋流动。因此在求解单连通域的总旋涡强度时，不论流场中的旋涡是连续分布还是分散存在，都不必考虑其中无旋流动区域的大小，可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定。在有旋流动的流场中，涡量所以，一般情况下沿封闭曲线的速度环量不等于零，即流场中的总旋涡强度不为零。但是，有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零，而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况。这是由于该区域内同时存在几个大小相等、方向相反的旋涡，其旋涡强度相互抵消，使得该区域的总旋涡强度为零，沿封闭曲线的速度环量也为零。所以在判断流场是有旋还是无旋时，不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零，或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断，而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零，或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来

进行判断。有旋流动有一个重要的运动学性质：在同一瞬时，通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。该性质为亥姆霍兹第一定理，可以通过斯托克斯定理加以证明。根据上述性质可以得到以下推论：(1)对于同一涡管来说，涡旋截面越小的地方，流体的涡量或旋转角速度越大。(2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者附在流体的边界上。这是因为在涡旋截面趋近于零的地方，流体的旋转角速度趋近于无穷大。实际上这是不可能的。例如抽烟人吐出的烟圈就是自行封闭的涡环；自然界中的龙卷风就开始于地面，终止于云层。例4-4—有旋流场的速度分布为u=-6y2+2z2+5,u=0,u=0,试求其涡线方程。TOC\o"1-5"\h\zx y z1uu解 (—z y)0x2y z1C-U^—Uz) 1(4z0)2zy 2 z x 21( Uy Ux) 1(012y) 6yz 2 x y 2代入涡线微分方程得dx dy dz0 2z 6y即积分得即积分得6ydy2zdz0xc13y2z2c2上式即为所求的涡线方程。例4-5设某流场的速度分布为u=corur=uz=0,e为绕垂直轴的旋转角速度常量)，求半径为R的圆形流场区域内的总旋涡强度。解根据斯托克斯定理，半径为R的圆域内流场的总旋涡强度为Ir■■uds：uds-RdsR2R2R2SSS例4-6在平行流场内，沿圆周等距离分布的A、B、C、D四点上有四个旋涡，其旋涡强度分别为IA=IB=I,IC=ID=-I,如图4—9。大圆K包含A、B、C、D在内。求沿圆周线K的速度环量，并说明沿封闭曲线的速度环量为零时，是否此封闭曲线所包围的区域内处处无旋?图4—9例4—6附图解以A、B、C、D为圆心，均作半径为临的小圆，则在大圆和这四个小圆之间的区域内，流场是无旋的；且知沿小圆周l、l、1C和l的速度环量分别等于I、1、-1、-1如ABCD图4—9)。于是rrrrrIIII0K lA lB lC lD即沿大圆周K的速度环量为零。从此题可以看出，虽然沿K的速度环量为零，但K所包围的区域内并非处处是无旋的，在A、B、C、D四处就是有旋的。所以，如一区域内处处无旋，则沿此区域的封闭曲线的速度环量必为零；但反过来就不一定成立，即沿某一封闭曲线的速度环量为零，并不一定意味着由此封闭曲线所包围的区域内处处都是无旋的——尽管此封闭曲线内总的旋涡强度也是等于零的。或者说，在单连通域的无旋流场中，沿任何封闭曲线的速度环量均等于零；反过来，若沿区域中任何封闭曲线的速度环量均等于零时，则流动必是无旋的。第三节平面流与流函数如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数，即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化，这种流动就称作平面流动。平面流动实际上就是二维流动。流线可以形象地描绘出流场内的流动形态。在数学分析上，我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示，这种函数就称为流函数。设有一不可压缩流体的二维平面流动，其连续性方程为uux4 0 (a)xydxdy流线微分方程为uuxy或写成udyudx0 (b)xy根据数学分析可知，如果式(b的左边恰好是某一个函数〃= y)的全微分，即

d dx dyudxudy (4-19)TOC\o"1-5"\h\zx y yx那么式(b就是一个全微分方程。函数/(xy)就称为流函数。由式(4-19)可得u,u (4-20)xyy x将式(4-20)代入平面流的连续性方程式(a)得u u 2 2————y 0x y yxxy显然，不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是流函数/存在的充分和必要条件。即流函数龙永远满足连续性方程。另外还可以看出，在流线上d姑0或姑常数，并且在每条流线上都有它自己的流函数值。应当指出，在引入流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。所以，不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。流函数存在下列几个重要性质：1、 流函数/(xy)=c的方程为流线方程。2、 通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等，并恒等于两条流线上的流函数值之差。图4-10流量与流函数值的关系设在给定的某一瞬时，有两条流线1和2，它们的流函数值分别为/1和/2，如图4-10

所示。现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动的两条流线间的各截面上的体积流量都相

等，并且恒等于两条流线上的流函数值之差。例如通过AB截面的体积流量取单位宽度)为QABy2udyyQABy2udyy2dy2dxy1y1AB方向上x等于常数。同理，通过Bc截面的体积流量为QxQx2udxx2( )dx1dBCxyxx11221BC方向上y等于常数。因此得到Q12QQAB BC 2 1(4－21)由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的，所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变，并恒等于两条流线上的流函数值之差。3、不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，即(4－22)22(4－22)0TOC\o"1-5"\h\zx2 y2因为对于二维的无旋流动，㉛=0,即而 Ux—， Uy -代入上式，有220x2 y2凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上称为调和函数，所以流函数是一个调和函数4、在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，流线与等势线处处正交。关于等势线的概念及这一性质的证明，将在下一节中介绍。对于圆柱坐标系来说，流函数与速度分量之间的关系为1u ,u (4—23)rr 0rdudrurd (4—24)0r例4一7已知不可压缩流体平面流动的流速为u=x2+2x—4y,u=—2xy—2yo(1检xy查流动是否连续；(2是否无旋；(3求驻点的位置；(4)求流函数。解(1)u xx2x2,-uyy2x2uu xy2x22x20xy满足连续性方程，流场是连续的。

(2)由于X0,y1u(―y -z2x丄)y丄(2y4)y202所以流动是有旋的。(3)驻点的条件是uX22X4y0Xuy2Xy2y0解这个方程组,得X0x2x31121y0y0y1234所以有三个驻点，它们的位置分别在(0,0)；(-2,0)和(-1,-4)。(4)uyxx22x4y所以x2y2xy2y2f(x)又知2xyx2yf(x)u2xy2yy因而f(x)0f(x)C令常数C=0,则有x2y2xy2y2例4-8(1)求流函数；k已知一不可压缩流体的平面流场内的速度分布为u 0, 一(k为常数)。0](2)描绘流场的大致情景；(3)求过(1,1)点及(2,2)点的两条流线间单位宽度的体积流量。kdr解(1)dudrurd0rr所以klnrC由于积分常数C的大小并不影响流场中流体的流动图形，所以，令C=0,得流函数为Iklnr klnfX2y2(2)流场的大致情景如图4-11所示。整个流场内的流体都在做圆周运动,运动的方向如图中的箭头所示。所有的流线组成同心圆周线族。0点是一个奇点。图4-11流场流动情景(3)经过(1，1)点流线的流函数值为1,1) kl^/2 kln22经过(2,2)点流线的流函数值为k(2,2) kln/8 kln2ln22所以,经过(1,1)点和(2,2)点的两条流线间单位宽度的体积流量为kkQ (1,1)-(2,2) -ln2kln2-ln222kln2m3/(sm)第四节势流与速度势函数前面已经讲到,在有旋流动的流场中,流体质点除具有一定的运动速度(线速度)外,还存在着一定的旋转速度角速度)，即在有旋流动的流场中，既有速度场u(x,y,z),又有涡量场(x,y,z)o—般来说，有旋流动要比无旋流动复杂得多。所以对于一些旋涡强度很弱的有旋流动，可以近似作为无旋流动来处理，这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便。流体的无旋流动，即角速度=0的流动也称为有势流动，简称为势流。在势流流场中，各流体质点仅具有速度向量，而没有角速度向量。一般情况下，在某一瞬时，流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向，它们相对于某一基准各自具有不同的速度位势。所谓速度位势就是速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积或者说是速度向量的大小与其方向上一段距离的乘积)。即uS。如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来，所组成的线或面)就称为等势线或等势面)。可以证明，速度向量垂直于等势线或等势面)。在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势，而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势。因此，与流线一样，用等势线也可以描述流场的特征。对于不同的等势线或等势面)也可以用一定的函数形式来表示，这种函数就称为速度势函数，或简称为速度势或势函数。在势流流场中，其涡量(或旋转角速度)为零，即由式(4-4)有uuTOC\o"1-5"\h\zz yyzuu——z (a)zxuu y 壬xy由数学分析可知，上式(a是表达式udxudyudz成为某一函数gy,z)的全xyz微分的充分必要条件。因此，在无旋流动的条件下必然存在函数=(x,y,z),它和速度分量u、u、u的关系为xyzdudxudyudz (4－25)xyz在给定瞬时,函数的全微分又可写成d dxdy dzxyz比较以上两式,可以得出u ,u,u——(4-26)x x yy z z函数就称为速度势函数。对于稳定流动=(x,y,z)；对于非稳定流动=(x,y,z,t,)但一般时间T是作为参变量出现的。将式(4-26)代入式(a)可以发现势函数的二阶偏导数与求导次序无关。由以上讨论可知，只要流动是无旋的，就一定存在速度势函数。反之，只要流场中存在速度势函数，则流动就必定是无旋的。速度势函数存在以下几个重要性质：1、 速度势函数(x,y)=C的方程为等势线方程。而速度势函数(x,y,z)=C的方程为等势面方程。2、 速度势函数的梯度就是流场中流体的速度。或者说，流体的速度即为速度势函数的梯度。按向量分析，uuiujuk——i——j——k grad (4-27)xyzxyz另外，根据速度位势的定义可知，速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的投影。根据方向导数的定义，函数在任一方向l上的方向导数为cosl,x)——cosl,y)——cosl,z)lx y zucosl,x)ucosl,y)ucosl,z)u

xyzl3、 不可压缩流体的有势流动,其速度势函数满足拉普拉斯方程。

将式（4－26）代入不可压缩流体的连续性方程，可得(4－28)222(4－28)0x2 y2 z2式（4－28）是拉普拉斯方程。速度势函数满足拉普拉斯方程，因而它也是一个调和函数。对于不可压缩流体的平面无旋流动，其流函数和速度势函数同时存在。比较式（4－20）(4-29)和式（4-26）可知，流函数龙和速度势函数存在如下的关系(4-29)xyyx或写成 0xxyy或写成 0xxyy(4-29a)满足上述关系的两个调和函数称为共轭调和函数。已知其中的一个函数就能够求出另一个函数。4、在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。这也是前述流函数的重要性质之一。我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率，来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。对流场中的任意一点，由流线微分方程可得流线在该点的斜率为(b)(c)dyu —手dxu(b)(c)x由等势线微分方程uxdx+uvdy=0可得等势线在该点的斜率为xydy u：：dx uv由式（b和（c可知，流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系，或者它们两者的乘积等于负一。这就说明，在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线是处处正交的。此外，由数学分析可知，式（4-29）也是等势线族（（x,y）=C）和流线族（〃,y）=C）互相垂直的条件，即正交性条件。即由式（4-29）也可以证明速度势函数及流函数的上述性质。因此，在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络，称为流网，如图4-12所示。有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布，从而也可以得出压力分布。即在流场中，流线愈密集的地方，其流速愈大，而压力愈小。它是求解稳定平面势流的近似图解法。

图4—12流网5、在势流流动的流场中，沿任意曲线上的速度环量等于该曲线两端点上的速度势函数值之差，而与曲线的形状无关。沿任意曲线ab的速度环量为abbudxudyaxybabbudxudyaxyb——dx——dyaxy—dzzbdaba(4—30)式(4-30)说明，在势流流场中，沿任意曲线ab的速度环量只取决于起点a和终止b的位置,而与曲线ab的形状无关。如果a点和b点重合，则曲线ab为一条封闭曲线，因此打"。在圆柱坐标系下，速度势函数与速度分量之间的关系为(4—31)(4—32)1(4—31)(4—32)u,u ,u——rr zzdudrurdudzr 0 z此外，我们可以证明，对于稳定的有势流动来说，流场中所有流线的伯努利常数都相同现简要证明如下：因为是无旋流动，所以整个流场的涡量 ©二§=©=0。又因为是稳定流动，所以uuuxyz0。将式(a代入稳定流动的欧拉运动微分方程式(3-25),并分别乘以dx,dy,dz,得1puuufdxdxu xdxuxdxu xdxxxxxyyzzuuuu x-dxu——dxu■ z-dxxxyxzx1puuufdy—dyu-——ydyu-―dyu- ydyyyxxyyzzuuuu■dyu―dyu-dyxyyzPdzuuuPdzuzdzuzdzuzdzxx yy zzUxdzUxdzu—dzdz将以上三式相加，得(fdxfdyfdz),Pdxpdy-Pdz)uG-uxdx—uxdy—uxdz)xyzxyzxxyzuu(―dx-uu―dy ——ydz)u(-土dx2dy—u^dz)yxyzzxyz注意到压力P和各速度分量U、u、u的全微分，并假定质量力只有重力，即f=f=0,fxyz xy z=-g,则得到gdz丄dpudxudyudz2d(U2u2u2)2du2dp或 gdz对上式积分得到dpgz对于不可压缩流体，尸常数,dp或 gdz对上式积分得到dpgz对于不可压缩流体，尸常数,2du20(4-33)U2C(4-33) C2Pu2gz乓C(4-34)或Pzu2C2g 1(4-34a)Pzu2 C2g 2(4-34b)曰式(4-33)和式(4-34)说明，在稳定的无旋流动的流场中，所有流线的伯努利常数都相同。换句话说，式(4-33)和式(4-34)可适用于整个无旋流动的流场。但对于有旋流场来说，每根流线的伯努利常数都有其特定的值，伯努利方程不能通用于整个流场，而只能用于某一根特定的流线，这一点要给予足够的注意。例4-9已知不可压缩流体平面势流的流函数妇xy+2x-3y+10,求其流速分量和速度势函数。又知流场中(3,-2)点处流体的压力p0=98100N/m2,流体的密度尸1000kg/m3,求(6，2)点处流体的压力为多少。解⑴u x3,u y2xy y x(2) dudxudyx y(x，y)udxudyx(x，y)udxudyx(0，0)xy0c 1X2 .2••(x3)dxy(y03x y22y (x2y2)(3x222)dy2y)(3)在(3,—2)点处(3)在(3,—2)点处ux0=0,uy0=0,则u°=0;在(6,2)点处u=6—3=3m/s,u=—2—2=—4m/s，所以xyI Iu；U2u2丫32 (4)2 5m/sx由伯努利方程式(4—34)得ppu22则 pp1u2 981001100052 8560CN/m2022即流场中(6,2)点处流体的压力为85600N/m2。例4—10求证用］2(x2y2)2x3y所表示的流场和用2xy3x示的流场实际上是等同的。2y所表u 1TX2x1xyu 1—2 y3y1yxd dx—dy(y3)dx(x2)dy1xy积分得1xy3x2y2再求第二个流场的势函数2u2―2 x2x2yx证明先求第一个流场的流函数％］uy22x2y3yd22dxx2dy(x2)dx(y3)dyy积分得(x2积分得(x2y2)2x3y由上可知，广2,%=%，这就证明了这两个流动的流场实际上是完全相同的。第五节几种基本的平面有势流动一、均匀直线流当流体作匀速直线运动时，流场中各点的速度都是大小相等，方向相同的，这种流动就称为均匀直线流，又称为等速平行流。如图4-13所示，流体的流动方向与x轴的夹角为Q流场中各点的速度均为u0，而且u0为一定值。则X和如图4-13所示，流体的流动方向与x轴的夹角为Q流场中各点的速度均为u0，而且u0为一定值。则X和y方向的分速度为uucos，uusinx0 y0(4-35)其流函数及速度势函数可由下式求出udyudxxyudxudyxyucosdyusindx00ucosdxusindy00积分上式可得流函数龙及速度势函数ucosyusinxC001ucosxusinyC002以上两式中的积分常数J和C2可以任意选取，而不影响流体的流动图形。若令C]=C2=0,得ucosyusinxu(ycos000ucosxusinyu(xcos000xsin)

ysin)(4-36)由式（4-36）可以看出，等势线族（=常数）和流线族（俟常数）在流场内处处正交，而且u它们都为平行直线，如图4-13所示。各流线与x轴的夹角为 tg13）。若流动平行于u0xx轴，则函数龙及成为（4－36a）uy0（4－36a）ux0当流动平行于y轴时，ux0uux0u0y（4－36b）zC由于流场中各点的速度都相等，根据伯努利方程可以得到zC（4－37）如果均匀直线流动是在同一水平面内，或者重力的影响可以忽略不计时，则有pC（4－37a）即在水平均匀直线流动的流场中，压力是处处相等的。二、源流和汇流如图4－14a所示，设无限平面内有一点O，流体不断地从O点流出后，沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这种流动称为源流，或简称点源，O点称为源点。与此相反,若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入0点，则这种流动称为汇流，或简称点汇，O点称为汇点，如图4-14b所示。显然，这两种流动的流线都是从0点发出的射线，即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度口总而切向速度U。为零。图4-14源流和汇流现以0点为原点取柱坐标（如图4-14）。对于不可压缩流体的稳定流动来说，流体在单位时间内通过任一半径为r的单位长度圆柱面上的体积流量Q都应该相等，即Q=2nru=常数。流量Q又称为源流强度或汇流强度），单位是米3/秒•米）。由此可得源流或汇流）流场的速度分布为Q2r'Q2r'u0e（4-38）对于源流，Q>0,因而ur>0,因此有dudrdudrurdurdQ6rr2rdudrurdudrQdrr6r2rId积分以上两式，并令积分常数C=0,得tg-1±lnr2}ln：x±lnr2}ln：x2y2L-i（4－39）由式（4－39）可以看出，等流函数线族（流线族）是以源点为起点的辐射线，而等势线族是以源点为圆心的同心圆，这说明等势线族与流线族是正交的。汇流与源流是互逆过程，流函数和速度势函数的表达式与源流相同，只是符号相反，即I2x（4－40）I2x（4－40）2_—lnr2由于u、，当—0时，u厂円所以源点和汇点都是奇点。因此其流函数和速度势r2r函数只有在源点或汇点之外才存在，即除源点或汇点外，整个平面流场上都是有势流动。下面来分析一下源流和汇流流场的压力分布情况。如果xoy平面是无限水平面，则根据伯努利方程，有1pu2p2rQ式中：p防在—《处的流体压力，该处的速度为u2 0。r2r将u导-代入上式，得r2rppQ2ppQ2182r2（4－41）!Q2上式说明，压力P随着半径r的减小而降低，当r£ 时，p=0o当［（总时，绝0 8 2p 0对压力将出现负值，实际上这是不可能的。因此，实际中的源点和汇点是有一定截面积的。图4-15绘出了当r^vrv唧寸点汇沿半径r的压力分布规律。

图4图4－15点汇沿半径的压力分布三、涡流和点涡设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束象刚体一样以等角速度绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流，由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上流动情况都一样。也就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。这种由涡束诱导出来的平面流动，称为涡流。设涡束轴为z轴，则由涡束所诱导的环流的流线在xoy平面内都是以坐标原点0为圆心的同心圆，如图4-16所示。由于涡束以等角速度旋转，因此，涡束外流体沿同一圆周流线的流动是等速的。然而各条不同的圆周流线上流体的速度是不相同的，速度沿半径方向的变化规律可由斯托克斯定理求得。由斯托克斯定理可知，沿任何圆周流线的速度环量都等于涡束的旋涡强度，即I常数于是u0，ur 0于是u0，ur 0(4-42)图4-16涡束诱导出的涡流因此，在涡束外流体的速度与半径成反比；而在涡束内，流体则如同刚体一样以等角速度绕其自身轴旋转，其速度与半径成正比，即Ug r,如图4-16所示。我们称涡束外的流动区域为势流旋转区，称涡束内的流动区域为涡核区。若涡束的半径r)-0,则涡束就成为一条涡线，这样的涡流称为点涡，或称自由涡。当10—0时，u厂円因此涡点是一个奇点，所以点涡又称纯环流。现在我们来求涡核外势流区的流函数和速度势函数。由于rdrddr-d udrurdudrrgrg 2rddrd udrurdurd rdrrgg 2积分以上两式，并令积分常数C=0,得势流区的流函数和速度势函数为lnr(4-43)tg-1当r>o时，ue>0,环流为逆时针方向；当r<o时，ue<0,环流为顺时针方向。应当注意：在涡核区内，流函数为 2r2，速度势函数不存在。由式(4-43)可知，涡流的流线族是以涡点为圆心的同心圆周线，而等势线族则是从涡核边缘发出的放射线。对于点涡来说，等势线族则是从涡点发出的放射线，即除了涡点以外，整个平面流场都是有势流动。下面我们再来分析一下涡流流场内的压力分布规律。已知涡束的半径为％涡束边缘上r _的速度为u®2Y，压力为P0:当1—唧时速度ug显然为零，而压力为p^。0将式(4-42)代入伯努利方程(4-34)，得涡束外势流区的压力分布规律为(4-44)1 ri(4-44)PP u2p2o 82r2式(4-44)说明，在涡束以外的势流区内，压力p随着半径r的减小而降低。从式(4-44)还可知，当r—0处，p—-円显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在着如同刚体一样、以等角速度旋转的旋涡区域，即涡核区。涡核边缘上的压力为12u2g0p21(4-45)p0p82r20或写成 pp01u2g021(4-45a)282r20由式(4-45a)可以看出，在涡核以外的势流区内，从无穷远处到涡核边缘的压力降是一个常

数，它等于以涡核边缘的速度计算的动压。由于涡核内为有旋流动，各条流线的伯努利常数不同，因此，流体在径向的压力分布只能根据欧拉运动微分方程求得。沿流线主法线方向的欧拉运动微分方程为(3-35)1p zu2(3-35)g er r r由于压力P由于压力P只沿r方向变化，令z=0.并且涡核区内u厂er故上式可改写为dp2rdrudp2rdredrr对上式积分，得12积分常数C由边界条件确定。在匸=耳处,C1Cpu202e0最后得到涡核区内的压力分布为2r2P=P°，u盯ue0代入上式得积分常数C为12e112积分常数C由边界条件确定。在匸=耳处,C1Cpu202e0最后得到涡核区内的压力分布为2r2P=P°，u盯ue0代入上式得积分常数C为12e1u2e02u2pe0u2e0ppu2e0pp2r201212u2e2r2于是，涡核中心的压力为u2e0而涡核边缘的压力为p0所以1212u2e0e0p0cu2(4-46)(4-46a)(4-47)(4-48)图4－17涡流中涡核内、外的速度和压力分布由式(4－48)可知，在涡核区内，从涡核边缘到涡核中心的压力降为一常数，且等于以涡核边缘的速度计算的动压。比较式(4-45a)和式(4-48)还可以发现，涡核内、外的压力降是

相等的，都等于以涡核边缘的速度计算的动压。涡核内、外的速度分布和压力分布如图4－17所示。由于涡核区的压力比涡核外势流区的压力低，故涡流有很强的抽吸作用，它能把势流旋转区中的部分流体抽吸到涡核区内来。第六节有势流动的叠加前已指出，流函数和速度势函数都满足拉普拉斯方程。凡是满足拉普拉斯方程的函数在数学分析中都称为调和函数。所以流函数和速度势函数都是调和函数。根据调和函数的叠加原理，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可以将若干个有势流动的速度势函数（或流函数）线性组合成一个新的有势流动的速度势函数（或流函数）。如式中：1、2、3……和％、堰、堰……分别代表几个简单有势流动的速度势函数和流函123123(4－49)数。显然，叠加后新的有势流动的速度势函数和流函数龙也满足拉普拉斯方程。根据速度势函数（或流函数）与速度分量之间的关系可得u u u ux x1 x2 x3u u u uy y1 y2 y3(4-50)或uuuu123(4-50a)式（4-49）至式（4-50a）表明，几个简单有势流动的速度势函数及流函数的代数和等于新的有势流动的速度势函数和流函数，它的速度是这些简单有势流动速度的向量和。上述叠加原理的方法虽然简单，但在实用上有很大意义，我们可以应用这一原理，把一些简单的平面有势流动叠加成所需要的新的复杂的有势流动。或者将一复杂的有势流动分解为几个已知的简单有势流动来分析。下面举几个平面有势流动叠加的例子。一、螺旋流螺旋流是由点源或者点汇流动和点涡流动叠加（源点或者汇点和涡点重合）而成的。将点源或者点汇和点涡的速度势函数及流函数分别相加，即可得到螺旋流的速度势函数和流函数。如点汇和点涡叠加后得到的螺旋流的速度势函数和流函数为QlnrQlnr-1(Qlnr)222— lnr1■(Qlnr)222(4-51)式中r取逆时针方向为正。令以上两式等于常数，便可得到等势线方程和流线方程为(4－52)QlnrC(4－52)QlnrCrCeQ或写成 1 (4—53)rCeQ2式中：C］、C2是两个常数。显然，等势线族和流线族是两组相互正交的对数螺旋线族如图4—18)，所以称为螺旋流。在图4—18所示的螺旋流动(点汇和点涡叠加的结果)的流场中，流体是从四周向中心流动。工程上常用的离心分离器、旋风除尘器以及水力涡轮机等设备中的旋转流体的流动情况即可近似看成是这种螺旋流。图4—18螺旋流上述螺旋流的径向速度和切向速度分别为TOC\o"1-5"\h\zQ2 2Q2 2总速度为 u<uru6x42r2 2r (4—54a)代入伯努利方程(4—34)，得流场中的压力分布为\o"CurrentDocument"(Q2 2)1pP u2p (4-55)82r2式中：P防—8处的压力，该处的速度U=0O对于流场中不同的两点，由伯努利方程可得(Q2 2)11PP ( ) (4—56)12 82 r2r221式中：P］、P2为螺旋流流场中1、2两点上的压力；气、£为1、2两点距螺旋流中心的距离。对于离心式水泵、风机等涡壳中的流动可以近似看作是由点源和点涡叠加而成的螺旋流的例子，如图4—19所示，其流动方向与图4—18所示的螺旋流的方向相反。二、偶极流偶极流是同强度的点源和点汇叠加的结果。若把点源和点汇无限靠近，即源点和汇点间

的距离AS—0,并且在AS—0的同时，强度Q—円以使得ASQ=常数，这样便得到一个所谓的偶极流的有势流动。如图4-20所示,为一把强度为Q的点源和强度为-Q的点汇分别放在坐标系的A点(-a,0)和B点(a0)上，叠加后得到的流动图形。叠加后的速度势函数和流函数分别为AB±lnr2brBAB(4-57)AB±lnr2brBAB(4-57)(4-58)式中：a为动点P(x,y)与源点A和汇点B的连接线之间的夹角。由流线方程妇常数，得a=常数。这就是说，流线是经过源点A和汇点B的圆周线族，而且从源点流出的流量全部流入汇点。现在来分析在点源与点汇无限接近的同时，流量Q无限增大(即a-0时，Q-g，以使得2aQ保持一个有限常数M的极限情况，即偶极流的情况。M=2aQ称为偶极矩，或称为偶极强度，单位为米4/秒•米)或米3/秒，方向是从源点到汇点为正。图4-20点源和点汇的叠加图4-20点源和点汇的叠加图4-21推导偶极流速度势和流函数用图偶极流的速度势函数和流函数可由式(4-57)和式(4-58)根据上述条件推导出来。由式(4-57)得

AB?哙卜AB?哙卜1n1―)BB如图4-21所示，当A点和B点向原点0无限靠近时「rB2acosA,而且当2卄°,Qf唧时2aQ=M,rAfiB—r,q—Q—d又由于ln(1)ln(1)2342TT当£为无穷小时，可以略去高阶项，即ln(l+£)Q因此，偶极流的速度势函数为lim2alim2a0ABQMcoslim[2a0QMj1rcos2acos2]xlim(Q2a02Q2acos4)rBMrB2 r2r22x2y2(4－59)由式(4－58)得由式(4－58)得ABQ Q+tgtg2AB2 1tgtgAByy又因为tg1tg1y又因为tg1tg1y2(xa)(xa)卜切1——空—2 x2 y2a23573眉〒当fO时，t厂贰£。所以偶极流的流函数为lim(Qlim(Qtg12ay)lim(Q2ay2a02x2y2a22a02x2y2a2QQMyMrsinMsin2 X2y22 r22r(4-60)令式(4-60)等于常数C1，得流线方程为x2(yM4~cx2(yM4~c)2)2)且与x)且与x轴在原点相切的圆周线族，如图4-22即流线是半径为4■厂，圆心为(°，1中实线所示。

同样，令式(4-59)等于常数C2,得等势线方程为

即等势线是半径为4丁，圆心为(4"^，°)且与y轴在原点相切的圆周线族，如图4-22M4~c)2M4~c)2y2)222中虚线所示。图4-22偶极流的流线和等势线偶极流的流场中速度分布为：在直角坐标系下u ——xxu ——yyMx图4-22偶极流的流线和等势线偶极流的流场中速度分布为：在直角坐标系下u ——xxu ——yyMx2y22(x2y2)2M2xy2(x2y2)2(4-61)在圆柱坐标系下Mcosurr2 r2Msinuor2r2(4-62)偶极流的总速度为■u2 u2'xyvu2 u2r O2r2(4—63)偶极流流场内的压力分布可由伯努利方程计算得到。在流场中处的压力为P^速度u』0,将式(4-63)代入伯努利方程(4-34),得M21pp u2 p (4-64)82r4对于流场中不同两点间的压力差为

M2p1M2p1p282r4r421(4—65)三、均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动设有一在无穷远处速度为u』勺均匀直线流平行流)，从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为乜的无限长圆柱体流动，如图4-23所示，这一流动可认为是由均匀直线流和偶极流叠加而成的组合平面流动。根据式(4-36a)与式(4—59)和式(4—60)可得组合流动的速度势函数与流函数分别为Mxux-2x2 y2ux(1)xMxux-2x2 y2ux(1)x2y2(4—66)Myuy-uy(1)

y2(4—67)2 x2 y2x2图4—23平行流绕圆柱体无环量的流动于是，流线方程为uy(1x2uy(1x2—)y2选取不同的常数值C,可得如图4-23所示的流动图形。当C=0时，姑0,该流线称为零值流线。零值流线的方程为uy(1x2)yuy(1x2)y2y0,x2 y2；M由此可知，零值流线是X轴和一个以坐标原点为圆心，半径为£ 的圆周线所构成0\i2u的图形。该流线到A点驻点)处分成两股，沿上下两个半圆周流到B点驻点)又重新汇合。由于流体不能穿过零值流线，因此，一个均匀直线流绕半径为乜的圆柱体的平面流动，可以

用这个均匀直线流与一个偶极矩为M2ur02的偶极流叠加而成的组合流动来代替。于是，均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动的速度势函数和流函数也可以写成(4-66a)ux1 T(4-66a)x2y2 r2uy1o)x2 uy1o)x2 y2u1亠)rsinr2(4—67a)以上两式中的》乜，因为心乜在圆柱体内，没有实际意义。流场中任一点的速度分量为u[12ur2(x2y2)-0 」(x2y2)2

u[12ur2(x2y2)-0 」(x2y2)2

xyr2-0(x2y2)2(4—68)在x=wy=^处，的干扰，仍为均匀直线流。在图4-23中的A点（-％0）和B点环0）处,前驻点，B为后驻点。对于圆柱坐标系，速度分量为=0。这表明在离开圆柱体无穷远处，均匀直线流未受圆柱体u=u=0，A为xyurru(1r2十)cosr21r2uu1亠)sinorr2(4-69)沿包围圆柱体的任意圆周线的速度环量为•::udsu1十)r：sindo r2即均匀直线流绕圆柱体的平面流动其速度环量为零当r=r0时，即在圆柱面上，u0ru2usino(4-70)这说明流体沿圆柱面只有切线方向的速度，而没有径向速度。这也证实了该组合流动符合流体不穿入又不脱离圆柱面的边界条件。在圆柱面上，速度是按正弦曲线规律分布的，如图4-24所示。在前、后驻点处流速为零；在 处，流速最大，其值为无穷远处速度的二倍。图4-24图4-24在平行流绕圆柱体无环量流动中圆柱面上的速度分布圆柱面上各点的压力分布，可由伯努利方程求得，即11P U2p U222式中：P0无穷远处流体的压力。将式(4-70)代入上式，得ppu2ppu2(14sin2)(4—71)在工程上常用无因次压力系数来表示流体作用在物体上任一点的压力，它的定义为(4—72)PP(4—72)1U22将式(4-71)代入上式，得C14sin (4—73)p由此可见，沿圆柱体表面的无因次压力系数Cp既与圆柱体的半径£无关，也与无穷远处的速度uj和压力p卫关，仅与e角有关。这就是在研究理想流体无环量绕流圆柱体的柱面上的压力时，利用这个压力系数的方便所在。根据式(4—73)计算出的理论的无因次压力系数曲线如图4-25所示。应当注意，在计算时，e角是从前驻点A起沿顺时针方向增加。在前驻点A(e=o°)上，速度等于零，c=1,压力达到最大值，pap1u2。在垂直于来流方向pA23的最大截面D点(=90°上，速度最大，Cp=—3,压力降到最小值，pDpU2。在pD21后驻点B(S180°)上，速度又等于零，C=1,压力又达到最大值，pbp-U2opB2180°<0<范60°内的理论曲线与0°<eT范围内的完全一样，即圆柱面上所受的流体压力上下左右都是对称的。因此，作用在圆柱面上的压力在各个方向上都互相平衡，合力等于零。这可证明如下：

图4－26推导理想流体对圆柱体的作用力用图如图4-26所示，在单位长度的圆柱体上，作用在微元弧段ds=rd6上的微小总压力dF=pi0dQ则dF沿x和y轴的分量为(4-74)dF prcosd(4-74)x0dF prsindy0式中的负号是考虑到当。为正值时，dF和dF的方向分别与x和y轴的方向相反。将式（4-xy71）代入以上二式，并积分，便得到流体作用在圆柱体上的总压力沿x和y轴方向的分量为FFDxFFLy2nFFDxFFLy2nr[p002nr[p001212u2(14sin2)]cosdu2(14sin2)]sind即理想流体作用在圆柱面上的压力的合力等于零。流体作用在圆柱面上的总压力沿x和y轴方向的分量，即圆柱面受到的与来流方向平行的和垂直的作用力分别称为流体作用在圆柱体上的阻力和升力，并分别用fd和fl表示。这就是说，当理想流体的均匀直线流无环量地绕流圆柱体时，没有作用在圆柱体上的阻力和升力。例4-11一强度为5m3/（sii・置于—1，0）点的源流和一强度为-5皿3/（曲置于（1，0）点的汇流，与速度为15m/s的沿x轴正向的均匀直线流组合成一个新的流动，如图4-27所示。试求：（1）两个驻点的位置及其之间的距离；（2）上游无穷远处到（-1，1）点间水流的压力差。对于点源对于点汇对于均匀直线流图4－27