2016年度高考四川卷理数试题(解析版)

,.2016四川省高考理科数学试题解析本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.感谢阅读第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.谢谢阅读1.设集合A{x|2x2}，Z为整数集，则集合AIZ中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】由题可知，AIZ{2,1,0,1,2}，则AIZ中元素的个数为5选C精品文档放心下载2.设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为（）A．15x4B．15x4C．20ix4D．20ix4【答案】A【解析】由题可知，x4的项为C2x4i215x46选Aπ）3.为了得到函数ysin2x的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点（3A．向左平行移动π个单位长度B．向右平行移动π个单位长度33C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度66【答案】D【解析】由题可知，ππ，则只需把ysin2x的图象向右平移个单位ysin2xsin2x636选D4. 用数字1，2，3，4，5构成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（精品文档放心下载A．24 B．48 C．60 D．72

）,.【答案】D【解析】由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；谢谢阅读分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C1，精品文档放心下载3再将剩下的4个数字排列得到A4，则满足条件的五位数有C1A472.精品文档放心下载4 3 4选D某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）精品文档放心下载（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）谢谢阅读A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年精品文档放心下载【答案】B【解析】设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元精品文档放心下载由题可知，130112%x200，感谢阅读解得xlog200lg2lg1.33.80，1.12lg1.12130因资金需超过200万，则x取4，即2019年选B秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）感谢阅读人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入n，x的精品文档放心下载值分别为3，2.则输出v的值为（）A．9B．18C．20D．35【答案】B【解析】初始值n3,x2，程序运行过程如下表所示感谢阅读12v12241v42190v920181跳出循环，输出v18选B,.yx1,7.设p：实数x，y满足22y1x,则p是q的（）y1,A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A22y【解析】如图，x1y1≤2①表示圆心为1,1，半径为2的圆内区域所有点（包括边界）；y=x1y≥x1,A(0,1)gy=1②表示ABC内部区域所有点（包括边界）.y≥1x,(1,1)C(2,1)B(1,0)x实数x,y满足②则必然满足①，反之不成立.O则p是q的必要不充分条件.y=1x故选A设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，谢谢阅读且|PM|2|MF|，则直线OM斜率的最大值为（）A．3B．2C．2D．1332【答案】Cp,0y2,y【解析】如图，由题可知F，设P点坐标为022p0yPgggMOxF显然，当y0时，k0；y0时，k0，要求k最大值，不妨设y0.0OM0OMOM0uuuuruuuruuuuruuur1uuuruuur1uuuruuur1uuur2uuury2py则OMOFFMOFFPOFOPOFOPOF0,033336p33yk302≤22，当且仅当y22p2等号成立y2py2pOM60p3yp00,.故选C9.设直线llnx,0x1,图象上点P，P处的切线，l与l，l分别是函数f(x)12lnx,x1,1212PyABPAB交于点，且l，l分别与轴相交于点，，则△的面积的取值范围是（A．0,112B．(0,2)C．(0,)D．(1,)【答案】A【解析】由题设知：不妨设P,P点的坐标分别为：Px,y,Px,y，其中0x1x，12111222121x,0x1则由于l,l分别是点P,P处的切线，而f'，x11212,x1x得：l的斜率k为1，l的斜率k为1；11x22x1211又l与l垂直，且0xx，可得：kk1xx1，121211xx12112我们写出l与l的方程分别为：l：yxxlnx①121x1111xxlnx②l：y2x222，此时点A的坐标为0,1lnx，B的坐标为0,1lnx1xx22由此可得：AB2lnxlnx2ln12122lnxx2①、②两式联立可解得交点P的横坐标为x12xxxx1212S1ABP122211，PAB的面积为：PAB2x2xxx12x111当且仅当x即x1时等号成立1x1而0x1，所以S111PAB故选A.

垂直相）ABCDuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur，|DA|=|DB|=|DC|10.在平面内，定点，，，满足，DADBDBDCDCDA2动点，满足uuuruuuuruuuuruuuuuur2）|AP|=1|BM|PMA．43B．49C．3763D．372334444【答案】B【解析】由题意，uuuruuuruuurDADBDC，所以D到A,B,C三点的距离相等，D是ABC的外心；uuuruuuruuuruuuruuuruuurDADBDBDCDCDA2uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurDADBDBDCDBDADCDBCA0,所以DBAC，,.同理可得，DABC,DCAB从而D是ABC的垂心；ABC的外心与垂心重合，因此ABC是正三角形，且D是ABC的中心；精品文档放心下载uuuruuuruuuruuuruuuruuur1uuurDADBDADBcosADBDADB22DA2所以正三角形ABC的边长为23；y我们以A为原点建立直角坐标系，B,C,D三点坐标分别为D2,0。P(cos,sin)C(3,3)B3,3,C3,3,uuur由AP1，设P点的坐标为cos,sin，其中0,2π，Ax而uuuurPMMCuuuur，即MD是PC的中点，B(3,3)3cos,可以写出M的坐标为M2

3sin2 3712sin则uuuur2cos3233sin23712496BM22444当2时，uuuurBM2取得最大值49。34故选B.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. cos28πsin28π=__________．精品文档放心下载【答案】 22【解析】由题可知，cos28πsin28πcosπ4 22（二倍角公式）精品文档放心下载同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是__________．谢谢阅读,.【答案】32【解析】由题可知，在一次试验中，试验成功（即至少有一枚硬币正面向上）的概率为P1121234感谢阅读2次独立试验成功次数X满足二项分布X~B2,34，则EX23432精品文档放心下载已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．感谢阅读【答案】 331【解析】由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，33由正视图可得如下俯视图，且三棱锥高为h1正视图，331俯视图11113则面积VSh2313323已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，谢谢阅读f52f(1)__________.精品文档放心下载【答案】2【解析】首先，fx是周期为2的函数，所以fxfx2；精品文档放心下载fx是奇函数，所以fxfx，感谢阅读所以：f1f1，f1f1，即f10谢谢阅读511，011时，f(1)412又f2f2f2222f522，从而f52f12感谢阅读y,x；15.在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的“伴随点”为P'y2x2y2x2P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C'定义为曲线C的“伴随曲线”，现有下列命题：感谢阅读若点A的“伴随点”是点A'，则点A'的“伴随点”是点A；感谢阅读单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C'关于y轴对称；谢谢阅读,.一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是__________（写出所有真命题的序号）.精品文档放心下载【答案】②③【解析】①设A的坐标x,yyx，A'的伴随点，伴随点A'y2,x2y2x2x横坐标为x2y2x，同理可得纵坐标为y2xy2x2y2x2y2故A''x,y.错误；设单位圆上的点P的坐标为cos,sin，则P的伴随点的坐标为谢谢阅读ππ，P'sin,coscos2,sin2所以P'也在单位圆上，即：P'点是P点延顺时针方向旋转π.正确；谢谢阅读2③ 设曲线C上点A的坐标x,y，其关于x轴对称的点A1x,y也在曲线C上感谢阅读yx，所以点A的伴随点A'y2,x2y2x2y,x，A'与A'关于y轴对称。正确；点A的伴随点A'y2x2y211x21反例：例如y1这条直线，则A0,1,B1,1,C2,1，而这三个点的伴谢谢阅读随点分别是A'111,2，而这三个点不在同一直线上,,C'2255下面给出严格证明：设点P(x,y)在直线l:AxByC0，P点的伴随点为P'x,y，00yyxx00x2y2x2y2.x0x0y002y2y2y2xx0y0x2C0，000000化简得：AyBxC(x2y2)0，0000当C0时，C(x2y2)是一个常数，P'的轨迹是一条直线；感谢阅读0C0时，C(x2y2)不是一个常数，P'的轨迹不是一条直线.精品文档放心下载0所以，直线“伴随曲线”不一定是一条直线.错误.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．感谢阅读（本小题满分12分）,.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.谢谢阅读（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月均用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说谢谢阅读明理由.频率组距0.520.40a0.160.120.080.040 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量（吨）谢谢阅读【解析】（I）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1∵频率=(频率/组距)*组距精品文档放心下载0.50.080.160.40.520.120.080.042a1谢谢阅读a0.3（II）由图，不低于3吨人数所占百分比为0.50.120.080.04=12%∴全市月均用水量不低于3吨的人数为：3012%=3.6(万)谢谢阅读（III）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：谢谢阅读0.50.080.160.30.40.520.73感谢阅读即73%的居民月均用水量小于2.5吨,同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.5x3精品文档放心下载85%73%0.5假设月均用水量平均分布，则x2.50.5 2.9（吨）.感谢阅读0.3注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。谢谢阅读（本小题满分12分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosAcosBsinC.精品文档放心下载abc,.（I）证明：sinAsinBsinC；（II）若b2c2a26bc，求tanB.5【解析】（I）证明：由正弦定理absinAsinB原式可以化解为cosAcosBsinAsinB

sincC可知sinC1sinC∵A和B为三角形内角, ∴sinAsinB0谢谢阅读则，两边同时乘以sinAsinB，可得sinBcosAsinAcosBsinAsinB由和角公式可知，sinBcosAsinAcosBsinABsinCsinC原式得证。谢谢阅读6bc,根据余弦定理可知，cosAb2c2a23（II）由题b2c2a22bc55∵A为为三角形内角，A0,，sinA0sinA1324，即cosA3感谢阅读55sinA4由（I）可知cosAcosBsinC1，∴cosB11sinAsinBsinCsinBtanB4tanB4（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD中，AD//BC，ADCPAB90，BC精品文档放心下载为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90.P（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，谢谢阅读并说明理由；（II）若二面角PCDA的大小为45，求直线PA与B平面PCEAE所成角的正弦值.【解析】（I）延长AB，交直线CD于点M，感谢阅读E为AD中点，∴AEED=12AD，精品文档放心下载BCCD=12AD，EDBC，AD//BC即ED//BC，∴四边形BCDE为平行四边形，BE//CD，精品文档放心下载ABICDM，∴MCD，∴CM//BE，

CD12AD，ECD,.BE面PBE，∴CM//面PBE，MAB，AB面PAB，∴M面PAB 故在面PAB上可找到一点M使得CM//面PBE.感谢阅读（II）过A作AFEC交EC于点F，连结PF，过A作AGPF交PF于点G，精品文档放心下载∵∠PAB90o，PA与CD所成角为90o，谢谢阅读PAAB，PACD，∵ABICD=M，精品文档放心下载PAABCD，EC面ABCD，PAEC，ECAF且AFIAPA，∴CE面PAF，AG面PAF，AGCE，AGPF且AGIAFA，∴AG面PFC，∴∠APF为所求PA与面PCE所成的角，PA面ABCD，∠ADC=90o即ADDC.∴∠PDA为二面角PCDA所成的平面角,谢谢阅读由题意可得∠PDA=45o，而∠PAD=90o,精品文档放心下载PAAD,BCCD,四边形BCDE是平行四边形，∠ADM=90o，∴四边形BCDE是正方形，感谢阅读∴∠BEC45o，∴∠AEF=∠BEC45o，∵∠AFE90o，∴AF=22AE，2∴tan∠APF=AF= 4AD 2，感谢阅读AP AP 4sin∠APF=13.（本小题满分12分）已知数列{a}的首项为1，S为数列{a}的前项和，SqS1，其中q0，nN*.nnnnn1n（I）若2a,a,a2成等差数列，求a的通项公式；232n（II）设双曲线x2y21的离心率为e，且e5，证明：eee4n3n.a2n2312n3n1n,.【解析】（I）由题SqS1---①可知n1n当n2时，SqS1---②，两式相减可得aqann1n1n即a从第二项开始为公比q的等比数列，n当n1时，带入可得aaqa1，aq，即a为公比q的等比数列1212n根据2a,a,a2成等差数列，由等差数列性质可得2aa23a22a2 3 2 22q23q20，求解可得q2或q12由题q0可知，q2感谢阅读a2n1,nN*n（II）证明：由双曲线的性质可知，e12a2=1a2nn1n由（I）可得，a为首项为1，公比为q的等比数列n故e1a21q25，即q42233∴a为首项为1，公比为4的等比数列，通项公式为an3n∴e142n242n24n1n333

2 2 34n13，nN14n44244n3n∴eee...e1n133...34123n13原式得证.20.（本小题满分13分）已知椭圆E:x2y21(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶a2b2点，直线l:yx3与椭圆E有且只有一个公共点T.感谢阅读（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；（II）设O是坐标原点，直线l'平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数，使得|PT|2|PA||PB|，并求的值.谢谢阅读【解析】（I）设短轴一端点为C(0,b)，左，右焦点分别为F(c,0)，F(c,0)(c0)谢谢阅读1 2c2b2a2.由题意，△FFC为直角三角形.12∴|FF|2|FC|2|FC|2解得bc2a，12122∴E:x2y21.2b2b2代入l:yx3可得3x212x182b20.感谢阅读,.与椭圆E只有一个交点，则=12243(182b2)0，解得b2=3.感谢阅读E:x2y21.63b23，解得x2，则yx31，所以T的坐标为2，1。感谢阅读（II）设P(x,3x)在l上，由k1，l'平行OT.00OT2xx2t代入椭圆E得.得l'的参数方程为0y3xt0(x2t)22(3xt)26.00整理可得2t24tx24x40.00设两根为t，t则有tt(x2)2.0