二次函数中考总复习课件

《二次函数》中考复习课件《二次函数》中考复习课件一、二次函数的定义定义：一般地，形如y=ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做______.定义要点：①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？一、二次函数的定义2.当m_______时,函数y=(m+3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？巩固一下吧！3、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？巩固一下吧1，函数（其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，（1）它是二次函数；（2）它是一次函数；（3）它是正比例函数；当时，是二次函数；当时，是一次函数；当时，是正比例函数；驶向胜利的彼岸考考你1，函数驶向胜利的彼岸2，函数当m取何值时，（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？（1）若是二次函数，则且∴当时，是二次函数。（2）若是反比例函数，则且∴当时，是反比例函数。驶向胜利的彼岸2，函数小结：

1.二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).

（4)y=a(x-h)2(a≠0)(5)y=a(x-h)2+k(a≠0)

2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.各种形式的特征小结：1.二次函数y=ax²+bx+c(a,b,c是常数二、二次函数的图象及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

xy0xy0(0,c)(0,c)二、二次函数的图象及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减抛物线开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0y=axy=ax+ky=a(x-h)y=a(x-h)+k小结：222开口向下开口向上y轴(x=0)x=h(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)当|a|的值越大时，抛物线开口越小，函数值y变化越快。当|a|的值越小时，抛物线开口越大，函数值y变化越慢。只要a相同，抛物线的形状（开口大小和开口方向）就相同。抛物线开口方向对称轴顶点坐标a>0a<0y=axy=a

点评：二次函数的几种表现形式及图像①、②、③、④、⑤、(顶点式)(一般式)xyo点评：二次函数的几种表现形式及图像①、②、③、④、⑤、(顶1.如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号：①a

0;②c

0;③b2-4ac

0;④b

0;xyO基础演练

变式1：若抛物线的图象如图，则a=.变式2：若抛物线的图象如图，则△ABC的面积是

。ABC小结：a决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2-4ac决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;1.如图,抛物线y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号ABCD2、下列各图中可能是函数与()的图象的是()小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象

√ABCD2、下列各图中可能是函数小结：双图象的问题，寻找自相3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是__________对称轴是_________。（—，-—）125

24x=—12画二次函数的大致图象:先配成顶点式，再按照以下步骤画：①画对称轴②确定顶点③确定与y轴的交点④确定与x轴的交点⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点⑥连线当然，细画抛物线应该按照：列表（在自变量的取值范围内列）、描点（要准）、连线（用平滑的曲线）三步骤来画。x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)特别注意：在实际问题中画函数的图像时要注意自变量的取值范围，若图像是直线，则画图像时只取两个界点坐标来画（包括该点用实心点，不包括该点用空心圈);若是二次函数的图像，则除了要体现两个界点坐标外，还要取上能体现图像特征的其它一些点来画3、画二次函数y=x2-x-6的图象，顶点坐标是______3、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________对称轴是_________。（—，-—）125

24x=—12x=—12（—，-—）125

24(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)增减性:当时,y随x的增大而减小当时,y随x的增大而增大最值:当时,y有最值,是小函数值y的正负性:当时,y>0当时,y=0当时,y<0x<-2或x>3x=-2或x=3-2<x<33、二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是________4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（）xyoxyoxyoxyo(C)(D)(B)(A)C4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax2、已知抛物线顶点坐标（h,k）和一个普通点，通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)和另一个普通点,通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三个普通点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)三、求抛物线解析式的三种方法2、已知抛物线顶点坐标（h,k）和一个普通点，通常设抛物线练习1、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：__________，对称轴为_____，顶点为______12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)2、已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。120练习1、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式3、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。3、根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在abc2a+b2a-bb2-4ac

a+b+c

a-b+c4a+2b+c4a-2b+c开口方向、大小:向上a>0向下a<o对称轴与y轴比较:左侧ab同号右侧ab异号与y轴交点:交于正半轴c>o负半轴c<0，过原点c=0.-与1比较-与-1比较与x轴交点个数令x=1，看纵坐标令x=-1，看纵坐标令x=2，看纵坐标令x=-2，看纵坐标四、有关a，b，c及b2-4ac符号的确定abc2a+b2a-bb2-4aca+b+c快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xoy快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo快速回答：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符典型例题1.如图,是抛物线y=ax2+bx+c的图像，则①a

0;②b

0;c

0;a+b+c

0;a-b+c

0;b2-4ac

0;2a-b

0;

<<><>>=由形定数典型例题1.<<><>>=由形定数典型例题2.已知a<0，b>0，c>0，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限A由数定形典型例题2.A.第一象限B.第二象限A由数定1.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为()B2.(山西省)二次函数y=x2+bx+c

的图像如图所示，则函数值

y＜0时，对应的x取值范围是

.-3＜x＜1.-3-3１点击中考:1.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次3、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a

中正确个数为()

A.4个B.3个

C.2个D.1个A4、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m

的图像总是过点()

A.(1，3)B.(1，0)C.(-1，3)D.(-1，0)C当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+ca<0,b<0,c>0x==-13、已知二次函数y=ax2+bx+c的A4、无论m为任何实数D5.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c

的图像如图，则下列a、b、

c间的关系判断正确的是()

A.ab<0B.bc<0

C.a+b+c>0D.a-b+c<0

6.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则不等式bx+a>0的解为()

A.x>B.x>

C.x<D.x<Da<0,b<0,c<0a<0,b<0D5.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c6.(绵阳)二D7、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是()A.a＞0B.a＞

C.a＞

D.a＜

且a≠0D7、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两1、已知抛物线y＝x²-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；

=1(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.＞1=2=0练习：1、已知抛物线y＝x²-mx+m-1.(1)若抛物线经2、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。2、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：Dx-110y要点（2）

二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________1-10xy①abc<0②a+b+c<0③a+c>b④2a+b=0⑤Δ=b-4ac>0（2）二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式1-10xy结论:

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同,位置不同。五、二次函数抛物线的平移温馨提示：二次函数图象间的平移，可看作是顶点间的平移，因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函数图象间的平移.结论:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=0224-2-4-24262xyy=x2-1y=x2y=x2向下平移

1个单位y=x2-1向左平移

2个单位y=(x+2)2y=(x+2)2y=(x+2)2-1(0,0)(-2,-1)●●y=(x+2)2-1

上下左右平移抓住

顶点的变化例：0224-2-4-24262xyy=x2-1y=x2y=x2平移法则：左加右减，上加下减

练习⑴二次函数y=2x2的图象向

平移

个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向

平移

个单位可得到y=2(x-3)2的图象。⑵二次函数y=2x2的图象先向

平移

个单位，再向

平移

个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。下3右3左1上2引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2平移法则：左加右减，上加下减

练习下3右3左1上2引申：y=（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+6

y=x2y=x2-5x+6y=x2（4）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数

的图像，其对称轴是

，顶点是

，当x_____

时，y随x的增大而增大；当x

时，y随x的增大而减小.（5）将二次函数y=-3（x-2）2的图像向左平移3个单位后得到函数

的图像，其顶点坐标是

，对称轴是

，当x=___

时，y有最

值，是

.y=2(x-3)2直线x=3(3，0)＞3＜3y=-3(x+1)2(-1，0)直线x=-1-1大0（6）将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数

的图象，再向

平移____

个单位得到函数y=2（x-3）2的图象.y=2x2右3（4）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数（7）函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1，y1),(x2，y2)且x1＜x2＜0，则y1

y2(填“＜”或“＞”)C（7）函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是((0,0)(h,k)上下左右平移抓住顶点的变化!

抛物线y=ax2y=a(x-h)2+k记住：(0,0)(h,k)上下左右平移抓住顶点的变化!抛物线y六、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.归纳如下：六、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b²-判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根xyO与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0xyO与x轴有唯一个交点有两个相等的解x1=x2=b2-4ac=0xyO与x轴没有交点没有实数根b2-4ac＜0判别式：二次函数图象一元二次方程ax2+bx+c=0xyO与例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1(1)求证：无论m为何值，函数y的图像与x轴总有交点，并指出当m为何值时，只有一个交点。（2）当m为何值时，函数y的图像经过原点。（3）指出（2）的图像中，使y＜0时，x的取值范围及使y＞0时，x的取值范围例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1(1)求证：2、求抛物线①与y轴的交点坐标;②与x轴的两个交点间的距离.③x取何值时，y＞0?1、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是_____a>0,b²-4ac<0

-316(-1,8)-1练习2、求抛物线1、不论x为何值时，函数y=ax3、(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(2)已知抛物线y=x2

–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.11163、(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个4.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,由图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3,x2=＿＿＿5.已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围（）-3.3BK≠0b2-4ac≥04.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-12.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的

顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析:(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0)(2)新抛物线向右平移5个单位,

再向上平移4个单位即得原抛物线答案:y=-x2+6x-52.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向八、二次函数在实际生活中的应用：同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！（一）何时获得最大利润？八、二次函数在实际生活中的应用：同学们，今天就让我们一起去体水柱形成形状篮球在空中经过的路径何时获得最大利润？水柱形成形状篮球在空中经过的路径何时获得最大利润？问题：已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格

，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？来到商场

先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式.涨价x元时,则每件的利润为

元,每星期少卖

件,实际卖出

件,因此,所得利润为

元.

分析:价格包括涨价和降价两种情况:(X+20)10x(300-10x)Y=（X+20)(300-10x)来到商场先来看涨价的情况:⑴设每件涨价x元,则每星期售出商解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40+x)(300-10x)=(20+x)(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x)

+6000=-10［(x-5)2-25］+6000=-10(x-5)2+6250当x=5时，y的最大值是6250.定价:60+5=65（元）(0≤x≤30)怎样确定x的取值范围解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.y=(60-40解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0≤x≤20）所以定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.

答:综合以上两种情况，定价为65元时可

获得最大利润为6250元.由(2)(3)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围解:设每件降价x元时的总利润为y元.y=(60-40-x)(（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。特别注意：若顶点横坐标在自变量的取值范围内，则顶点纵坐标就是最值；若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，则要根据二次函数的增减性来确定最值。解这类题目的一般步骤解这类题目的一般步骤

某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则y=(x+30-20)(400-20x)=-20x2+200x+4000=-20(x-5)2+4500∴当x=5时，y最大

=4500答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来当老板某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售1、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围．（二）面积最大问题：来到农场（二）面积最大问题：来到农场(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值．(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．答案：(1)y＝30－2x(6≤x＜15)

(2)当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃面积最大，最大值为112.5平方米(3)6≤x≤11(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并y0x51015202530123457891o-16

2、(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ABCDxy(0<x<10)y0x51015202530123457891o-16(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；

(2)怎样围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？3、如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面积为y平方米。ABCD(1)求y与x的函数关系式及自变量的取值范围；(24、如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2。(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；ABCD4、如图，在一面靠墙的空地上用长ABCD4、如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2。(2)当x取何值时，所围成花圃的面积最大？最大值是多少？ABCD4、如图，在一面靠墙的空地上用长ABCD4、如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2。(3)若墙的最大可用长度为8m，求围成的花圃的最大面积。ABCD4、如图，在一面靠墙的空地上用长ABCD5、何时窗户通过的光线最多某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?xxy5、何时窗户通过的光线最多某建筑物的窗户如图所示,它的上半部6、用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120º的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB应该是多长？AD120ºBC6、用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的7、如图是一块三角形废料，∠A=30°，∠C=90°，AB=12。用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上。要使剪出的长方形CDEF的面积最大，点E应选在何处？BAFCDE7、如图是一块三角形废料，∠A=30°，BAFCDE8、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设△PBQ的面积为S(cm2)，移动时间为t(s)。(1)求S与t的函数关系；ABCDPQ8、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，ABCDPQ8、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始向B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始向C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A、B同时出发，设△PBQ的面积为S(cm2)，移动时间为t(s)。(2)当移动时间为多少时，△PBQ的面积最大？是多少？ABCDPQ8、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，ABCDPQ9、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动；点Q从B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动。如果P、Q同时出发，问经过几秒钟,△PQB的面积最大？最大面积是多少？QBPAC9、如图，△ABC中，∠B=90°，AB=QBPAC10、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/秒的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：（1）运动开始后第几秒时，

△PBQ的面积等于8cm2（2）设运动开始后第t秒时，

五边形APQCD的面积为Scm2，

写出S与t的函数关系式，

并指出自变量t的取值范围；t为何值时S最小？求出S的最小值。

QPCBAD10、在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从11、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).(1)求A、B两点的坐标；（2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；(3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

11、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的

如图所示,公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为

水流形状较为漂

亮,要求设计成

水流在离OA距离

为1m处达到距水

面最大高2.25m.（三）喷泉与二次函数问题：来到公园如图所示,公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？喷泉与二次函数(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25)，顶点B坐标为(1,2.25).设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25.数学化xyOA●B(1,2.25)●(0,1.25)喷泉与二次函数解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25)，顶点B坐标为(1,2.25).数学化xyOA●B(1,2.25)●(0,1.25)

●C(2.5,0)●D(-2.5,0)喷泉与二次函数当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(0,1.25)，顶点B坐标为(1,2.25).数学化xyOA●B(1,2.25)●(0,1.25)

●C(2.5,0)●D(-2.5,0)喷泉与二次函数

根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？喷泉与二次函数(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-11/7)2+729/196.数学化xyOA●B●(0,1.25)●C(3.5,0)●D(-3.5,0)●B(1.57,3.72)喷泉与二次函数解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为

(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表

或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达为:

y=-x2+22/7X+5/4.数学化xyOA●B●(0,1.25)●C(3.5,0)●D(-3.5,0)●B(1.57,3.72)喷泉与二次函数解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为

(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).或设抛物线为y=-x2+bx+c,数学化xyOA●B●(数学化xyOA●B●(0,1.25)●C(3.5,0)●D(-3.5,0)●B(1.57,3.72)喷泉与二次函数解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为

(0,1.25),点C坐标为(3.5,0).

由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.数学化xyOA●B●(0,1.25)（四）桥拱与二次函数问题：例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？来到小桥旁（四）桥拱与二次函数问题：例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如分析：

如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．AB分析：AB解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。

由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4），又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入,得所以因此，函数关系式是BA解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x解一解二解三例2：

图中是抛物线形拱桥，当水面在L时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？继续来到小桥旁解一解二解三例2：图中是抛物线形拱桥，当水面在L解一如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系。∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:当拱桥离水面2m时,水面宽4m即抛物线过点(2,-2)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了返回解一如图所示，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为解二如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.当拱桥离水面2m时,水面宽4m即:抛物线过点(2,0)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:此时,抛物线的顶点为(0,2)返回解二如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线解三

如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为:∵抛物线过点(0,0)∴这条抛物线所表示的二次函数为:当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:∴当水面下降1m时,水面宽度增加了此时,抛物线的顶点为(2,2)∴这时水面的宽度为:返回解三如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，例1、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.（五）隧道与二次函数来到隧道旁例1、某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.∵AB=4∴A(-2,0)B(2,0)∵OC=4.4∴C(0,4.4)设抛物线所表示的二次函数为∵抛物线过A(-2,0)∴抛物线所表示的二次函数为∴汽车能顺利经过大门.解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，例2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？（1）卡车可以通过.提示：当x=±1时，y=3.75,3.75＋2>4.（2）卡车可以通过.提示：当x=±2时，y=3,3＋2>4.xy－1－3－1－31313O例2、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m（5）投篮与二次函数来到操场（5）投篮与二次函数来到操场创设情境，导入新课

（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？（1）你们喜欢打篮球吗？问题：来到操场创设情境，导入新课（2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线来到操场1、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。

问此球能否投中？3米8米4米4米0xy1、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，8（4，4）如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：(0≤x≤8)(0≤x≤8)∵篮圈中心距离地面3米∴此球不能投中8（4，4）如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳得高一点（2）向前平移一点若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?（1）跳yx（4，4）（8，3）在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?0123456789yx（4，4）（8，3）在出手角度和力度都不变的情况下,小明yX（8，3）（5，4）（4，4）0123456789在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？(７，３）●yX（8，3）（5，4）（4，4）01(0,1.6)

2、中考题）推铅球的出手高度为,在如图①求k的值所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线xyO②求铅球的落点与丁丁

的距离③一个1.5m的小朋友跑到离原点6米的地方(如图)，他会受到伤害吗？来到操场(0,1.6)2、中考题）推铅球的出手高度为,在如图①求①求k的值xyO解：解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)即当x=0时，y=1.61.6=-0.1k+2.5K=±3又因为对称轴是在y轴的右侧，即x=k>0所以，k=32②-0.1(x-3)+2.5=0解之得，x=8,x=-2所以，OB=8故铅球的落点与丁丁的距离是8米。221③当x=6时，y=-0.1(6-3)+2.5=1.62>1.5所以，这个小朋友不会受到伤害。B①求k的值xyO解：解：由图像可知，抛物线过点(0,1.6)3、

如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。

ABCD0.71.62.20.4EFOxy来到操场ABCD0.71.62.20.4EFOxy来到操场

3、

如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。

ABCD0.71.62.20.4EFOxy来到操场ABCD0.71.62.20.4EFOxy来到操场

3、如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。

ABCD0.71.62.20.4EFOxy来到操场ABCD0.71.62.20.4EFOxy来到操场ABCD0.71.62.20.4EF解：如图，所以，绳子最低点到地面

的距离为0.2米.Oxy

以CD所在的直线为X轴，CD的中垂线为Y轴建立

直角坐标系，

则B（0.8,2.2），F（-0.4,0.7）设y=ax+k,从而有0.64a+k=2.20.16a+k=0.72解得：a=K=0.2258所以，y=x+0.2

顶点E（0,0.2）2258ABCD0.71.62.20.4EF解：如图，所以，绳子最

用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一般步骤：建立直角坐标系二次函数问题求解找出实际问题的答案及时总结用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一生活是数学的源泉，探索是数学的生命线.生活是数学的源泉，探索是数学的生命线.数学之所以诱人就在于它的奥妙无穷数学之所以诱人二次函数经典习题课二次函数经典习题课二次函数考点1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质3、求解析式的三种方法4、a，b，c符号的确定5、抛物线的平移法则6二次函数与一元二次方程的关系7二次函数的综合运用二次函数考点1、二次函数的定义1、二次函数的定义定义：y=ax²＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）定义要点：①a≠0②最高次数为2③代数式一定是整式练习：1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。

2.当m_______时,函数y=(m+1)χ-2χ+1是二次函数？1、二次函数的定义2.当m_______时,函数y=(m+2、二次函数的图像及性质

抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.

xy0xy0(0,c)(0,c)2、二次函数的图像及性质

抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增例2：

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（4）求ΔMAB的周长及面积。（5）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？已知二次函数例2：已知二次函数解:（1）∵a=—>0∴抛物线的开口向上∵y=—(x2+2x+1)-2=—(x+1)2-∴对称轴直线x=-1，顶点坐标M（-1，-2）

(2)由x=0，得y=--—抛物线与y轴的交点C（0，--—）由y=0，得—x2+x-—=0x1=-3x2=1与x轴交点A（-3，0）B（1，0）(3)当x＜-1时，y随x的增大而减少;当x=-1时，y有最小值为y最小值=-2（4）由对称性可知MA=MB=√22+22=2√2AB=|x1-x2|=4∴ΔMAB的周长=2MA+AB=2√2×2+4=4√2+4ΔMAB的面积=—AB×MD=—×4×2=40•(-1,-2)••(0,-–)••(-3,0)(1,0)3

2yx由图象可知

当x<-3或x>1时，y>0当-3<x<1时，y<0(5)解:（1）∵a=—>00•(-1,-2)••(0,-–)•2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)

(a≠0)求抛物线解析式的三种方法2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为__练习

1、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：__________，对称轴为_____，顶点为______12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)

2、已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。120练习1、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1∴顶点坐标为（1，2）∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x例1、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值4、a，b，c符号的确定aa,bc△a决定开口方向：a＞０时开口向上，

a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧

a、b异号时对称轴在y轴右侧

b＝０时对称轴是y轴c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴

c＝０时抛物线过原点

c＜０时抛物线交于y轴的负半轴△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点

△＝０时抛物线与x轴有一个交点△＜０时抛物线与x轴没有交点(上正、下负）(左同、右异)

(上正、下负)△=

b2-4ac

4、a，b，c符号的确定aa,bc△a决定开口方向：a＞０时xy１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）

A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<0xy

2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为（）

A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=0xy

3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c、△的符号为（）

A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0BACooo练习：熟练掌握a，b，c，△与抛物线图象的关系(上正、下负）(左同、右异)

·cxy１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图xy4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：

a

0,b

0,c

0.

xyo<=<5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,

且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足的条件是：a

0,b

0,c

0.xyo>=[1999中考]6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，那么这个二次函数图象的顶点必在第

象限先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）xy[2000中考]四>4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和xy3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：⑴a+b+c=0⑵a-b+c﹥0⑶abc﹥0⑷b=2a其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：Dx-110y要点5、抛物线的平移法则左加右减，上加下减练习⑴二次函数y=2x2的图象向

平移

个单位可得到y=2x2-3的图象；二次函数y=2x2的图象向

平移

个单位可得到y=2(x-3)2的图象。⑵二次函数y=2x2的图象先向

平移

个单位，再向

平移

个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。下3右3左1上2引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+25、抛物线的平移法则左加右减，上加下减练习下3右3左1上2引练习：（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+6

y=x2y=x2-5x+6y=x26二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.6二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b²-4判别式：b2-4ac二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根xyO与x轴有两个不同的交点（x1，0）（x2，0）有两个不同的解x=x1，x=x2b2-4ac＞0xyO与x轴有唯一个交点有两个相等的解x1=x2=b2-4ac=0xyO与x轴没有交点没有实数根b2-4ac＜0判别式：二次函数图象一元二次方程ax2+bx+c=0xyO与例(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有＿＿＿＿个交点.(2)已知抛物线y=x2–8x+c的顶点在x轴上,则c=＿＿＿＿.1116

(3)一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.（-2、0）（5/3、0）例(1)如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同