吉林省长春市农安县伏龙泉镇中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

吉林省长春市农安县伏龙泉镇中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，，则此抛物线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.向量，夹角为，且，，则(A)1.

(B).

(C)3.

(D)2.参考答案：D略3.已知为虚数单位，复数，则A.

B.

C.

D.参考答案：C4.设函数f（x）满足（n∈N*）且f（1）=2，则f（20）为

（

）

A．95

B．97

C．105

D．192参考答案：B5.将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为减函数，则正实数ω的最大值为（）A． B．1 C． D．3参考答案：B【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用诱导公式，正弦函数的单调性，求得实数ω的最大值．【解答】解：将函数f（x）=cos2ωx的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=cos2ω（x﹣）=cos（2ωx﹣）=﹣sin2ωx的图象，若y=g（x）在上为减函数，则sin2ωx在上为增函数，∴2ω?（﹣）≥﹣，且2ω?≤，求得ω≤1，故正实数ω的最大值为1，故选：B6.在△ABC中，已知，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.已知是定义在实数集上的增函数，且，函数在上为增函数，在上为减函数，且，则集合=

（A）（B）（C）（D）参考答案：A8.已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．9.

已知两条直线∶ax＋by＋c＝0，直线∶mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：答案:C10.等差数列中，，则A．10

B．20

C．40

D．2+log25参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在直角坐标中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数，)与的交点的直角坐标为

.参考答案：12.已知3a=5b=A，且，则A=________。参考答案：略13.已知向量，，若，则实数k=

．参考答案：－8

14.将20个数平均分为两组，第一组的平均数为50，方差为33；第二组的平均数为40，方差为45，则整个数组的标准差是

．参考答案：815.曲线在点处的切线方程为________________.参考答案：16.已知抛物线y2=16x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的方程是．参考答案：【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程即可．【解答】解：抛物线y2=16x的准线x=﹣4过双曲线的一个焦点（﹣4，0），双曲线的一条渐近线为，可得b=，c=，解得a=2，b=2，所求双曲线方程为：．故答案为：．17.（5分）双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点．设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为．参考答案：1+【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线C的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=﹣1，双曲线的离心率e==1+．故答案为：1+．【点评】：本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，求实数a的值．参考答案：∵椭圆C的极坐标方程为ρ2=，焦距为2，∴，由=1，得a=12．略19.（本小题满分12分）已知，若且。⑴确定k的值；⑵求的最小值及对应的值。参考答案：解：⑴由题设有，∴∵a≠1，∴log2a≠0，由②得log2a－1＝0，∴a=2，代入①解得k＝2。⑵∵k=2，∴f(x)=x2－x+2=(x－)2+>0。∴＝f(x)+≥＝6。当且仅当f(x)＝，即[f(x)]2=9时取等号。∵f(x)>0，∴f(x)＝3时取等号。即x2－x+2＝3，解得x＝。当x＝时，取最小值。20.（本题满分14分）设数列的各项均为正数，前项和为，已知．（1）证明数列是等差数列，并求其通项公式；（2）证明：对任意，都有；（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．参考答案：(1)∵，∴当时，．两式相减得，∴∵，∴，又，∴∴是以为首项，为公差的等差数列．∴(2)由(1)知，∴于是∴(3)结论成立，证明如下：设等差数列的首项为，公差为，则于是将代入得，，∴又∴．21.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC﹣b﹣c=0（1）求A的大小

（2）若a=2，b=，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理化简已知等式可得sin（A﹣30°）=，结合A的范围即可得解A的值．（2）由余弦定理可解得c的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，?sinAcosC﹣sinAsinC=sinB+sinC?sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC?sinA﹣cosA=1?sin（A﹣30°）=?A﹣30°=30°?A=60°，…（2）由余弦定理可得：a2=b2+c