2022-2023学年安徽省宣城市南湖中学高三数学文模拟试卷含解析

2022-2023学年安徽省宣城市南湖中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上函数f（x）满足xf′（x）＞f（x）恒成立，则有（）A．f（﹣5）＞f（﹣3） B．f（﹣5）＜f（﹣3） C．3f（﹣5）＞5f（﹣3） D．3f（﹣5）＜5f（﹣3）参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x），求出g（x）的导数，从而判断出答案即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，而xf′（x）＞f（x）恒成立，故g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）递增，故g（﹣5）＜g（﹣3），即3f（﹣5）＞5f（﹣3），故选：C．2.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（

）A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则参考答案：C3.

若函数f(x)=㏒a(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间()内单调递增，则a的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：答案:B4.设为可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线率为A．2

B．-1

C．1

D．-2参考答案：答案：B5.设函数f（x）=+lnx则（

）A．x=为f(x)的极大值点

B．x=为f(x)的极小值点C．x=2为f(x)的极大值点

D．x=2为f(x)的极小值点参考答案：D6.已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的模等于（）A．

B．

C．

D．参考答案：D略7.对于直角坐标平面内的任意两点A（x,y）、B（x，y），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱。给出下列三个命题：

①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;

②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；

③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖．

其中真命题的个数为

（

）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：A8.已知函数f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，则lg2m+lg2n的最小值为(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得函数的极大值或极小值等于0，求得m、n的关系，再取对数得lgn=+lgm，即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论．解答： 解：f′（x）=6mx2﹣6nx=6x（mx﹣n），∴由f′（x）=0得x=0或x=，∵f（x）=2mx3﹣3nx2+10（m＞0）有且仅有两个不同的零点，又f（0）=10，∴f（）=0，即2m?﹣3n?+10=0，整理得n3=10m2，两边取对数得3lgn=1+2lgm，∴lgn=+lgm，∴lg2m+lg2n=lg2m+（+lgm）2=（13lg2m+4lgm+1）=（lgm+）2+，∴当lgm=﹣时，lg2m+lg2n有最小值为．故选D．点评：本题考查函数的零点的判断及利用导数研究函数的极值知识，考查学生的等价转化能力及运算求解能力，属于中档题．9.复数A.

2i

B.22i

C.1+i

D.1i

参考答案：D，故选D.10.函数在上为减函数，则实数的取值范围A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是

。参考答案：

解析：12.函数=

参考答案： 13.已知A，B是求O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则求O的表面积为．参考答案：64π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO﹣ABC=VC﹣AOB==，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．14.已知：若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域是_________.参考答案：（0，1）

15.设直线与双曲线（）两条渐近线分别交于点，若点满足,则该双曲线的离心率是__________参考答案：

16.各项均为正数的等比数列{an}中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，则a4的取值范围是．参考答案：【考点】简单线性规划；等比数列；等比数列的通项公式．【分析】根据题中的不等式组，联想到运用线性规划的知识解决问题．因此，将所得的不等式的两边都取常用对数，得到关于lga1和lgq的一次不等式组，换元：令lga1=x，lgq=y，lga4=t，得到关于x、y的二次一次不等式组，再利用直线平移法进行观察，即可得到a4的取值范围．【解答】解：设等比数列的公比为q，根据题意得：，∴各不式的两边取常用对数，得令lga1=x，lgq=y，lga4=t将不等式组化为：，作出以上不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部其中A（0，lg2），B（2lg2﹣lg3，lg3﹣lg2），C（0，lg3）将直线l：t=x+3y进行平移，可得当l经过点A时，t=3lg2取得最大值；当l经过点B时，t=﹣lg2+2lg3取得最小值∴t=lga4∈[﹣lg2+2lg3，3lg2]，即lga4∈[lg，lg8]由此可得a4的取值范围是故答案为：17.将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n．向量=(m,n),=(3,6)，则向量与共线的概率为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），直线l经过点P（1，2），倾斜角α=．（Ⅰ）写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|?|PB|的值．参考答案：考点：参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）利用同角的三角函数的平方关系消去θ，得到圆的普通方程，再由直线过定点和倾斜角确定直线的参数方程；（Ⅱ）把直线方程代入圆的方程，得到关于t的方程，利用根与系数的关系得到所求．解答： 解：（I）消去θ，得圆的标准方程为x2+y2=16．…直线l的参数方程为，即（t为参数）

…（Ⅱ）把直线的方程代入x2+y2=16，得（1+t）2+（2+t）2=16，即t2+（2+）t﹣11=0，…所以t1t2=﹣11，即|PA|?|PB|=11．

…点评：本题考查了圆的参数方程化为普通方程、直线的参数方程以及直线与圆的位置关系问题，属于基础题．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知csinA=acosC．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，且sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HR：余弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，可得sinC=cosC，结合C是三角形的内角，得出C=60°；（Ⅱ）利用三角函数间的关系将条件转化为：sinBcosA=3sinAcosA．再分两种情况cosA=0与cosA≠0讨论，利用正余弦定理，结合解方程组与三角形的面积公式，即可求得△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC结合sinA＞0，可得sinC=cosC，得tanC=∵C是三角形的内角，∴C=60°；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而3sin2A=6sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=3sin2A，得sinBcosA=3sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==，可得三角△ABC的面积S==当cosA≠0时，得sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a…①，∵c=，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=7…②，联解①①得a=1，b=3，∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×sin60°=．综上所述，△ABC的面积等于或．20.（本小题满分10分）如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.（1）求的值；（2）若△的面积为，四边形的面积为，求的值．

参考答案：21.（本小题满分12分）已知数列中,.（1）求证：是等比数列,并求的通项公式；（2）数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切恒成立,求的取值范围.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）证明等比数列，一般从定义出发，即证相邻项的比值是一个与项数无关的非零常数，即，由通项得（2）先代入化简得，所以用错位相减法求和，对不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，由于有符号数列，所以分类讨论：若为偶数,则；若为奇数,则，因此求交集得的取值范围试题解析：（1）由数列中,,可得,是首项为,公比为的等比数列,.考点：等比数列定义，错位相减法求和，不等式恒成立【方法点睛】证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列；(2)等比中项法：在数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列；(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列.22.（本小题满分13分）

已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.（1）

求曲线的方程；（2）若直线是曲线的一条动切线,当点到直线的距离最短时,求直线的方程.

参考答案：解:设点的坐标为,则点的坐标为.

∵,

∴.

当时,得,化简得.

……2分当时,、、三点共线，不符合题意，故.∴曲线的方程为.

……4分(2)解法1:∵直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.

设直线的方程为,

……5分

由

得.

∵直线与曲线相切,

∴,即.

……6分点到直线的距离

……7分

……8分

……9分

.

……10分

当且仅当，即时，等号成立.此时.

……12分∴直线的方程为或.

……13分

解法2：由，得，

……5分

∵直线与曲线相切,设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得.

……6分点到直线的距离

……7分

.

当且仅当，即时，等号成立.