圆锥曲线的综合经典例题(有答案)

经典例题精析类型一：求曲线的标准方程1.求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横坐标为的椭圆标准方程.思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置〔定位〕，选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、〔定量〕.解析：方法一：因为有焦点为，所以设椭圆方程为，,由，消去得，所以解得故椭圆标准方程为方法二：设椭圆方程,,,因为弦AB中点,所以，由得,〔点差法〕所以又仅供学习参考故椭圆标准方程为.举一反三：该焦点与长轴上较近的端点的距离为【答案】依题意设椭圆标准方程为()，并有，解之得，,∴椭圆标准方程为2．根据以下条件，求双曲线的标准方程.〔1〕与双曲线有共同的渐近线，且过点；〔2〕与双曲线有公共焦点，且过点解析：〔1〕解法一：设双曲线的方程为由题意，得，解得，所以双曲线的方程为解法二：设所求双曲线方程为〔〕，仅供学习参考将点代入得，所以双曲线方程为即〔2〕解法一：设双曲线方程为－=1由题意易求又双曲线过点，∴又∵，∴，故所求双曲线的方程为.解法二：设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为.总结升华：先根据条件确定双曲线标准方程的焦点的位置〔定位〕，选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第〔1〕小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程.然后代点坐标求得方法简便.第〔2〕小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程.(1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素〔、、、及准线〕之间的关系，并注意方程思想的应用.(2)假设双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为〔〕.举一反三：【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足以下条件的双曲线的标准方程.〔1〕一渐近线方程为，且双曲线过点〔2〕虚轴长实与轴长的比为，焦距为10..仅供学习参考【答案】〔1〕依题意知双曲线两渐近线的方程是,故设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，解得，∴所求双曲线方程为.(〔2〕由设,,那么)依题意，解得.∴双曲线方程为或.3．求满足以下条件的〔1〕过点；〔2〕焦点在直线：抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：上思路点拨：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否那么，应展开相应的讨论解析：〔1〕∵点在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为〔〕，∵过点，∴，∴，∴，开口方向上时，当抛物线设所求的抛物线方程为〔〕，∵过点，∴，仅供学习参考∴，∴，∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.〔2〕令得，令得，∴抛物线的焦点为或当焦点为时，，∴，此时抛物线方程；焦点为时，，∴，此时抛物线方程为∴所求的抛物线的方程为或，对应的准线方程分别是，.总结升华：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P.举一反三：【变式1】分别求满足以下条件的抛物线的标准方程.〔1〕焦点为F(4,0)；〔2〕准线为；〔3〕焦点到原点的距离为1；〔4〕过点〔1，－2〕；〔5〕焦点在直线x-3y+6=0上.【答案】〔1〕所求抛物线的方程为y=16x2；〔2〕所求抛物线的标准方程为x=2y；2〔3〕所求抛物线的方程y=2±4x或x2=±4y；仅供学习参考〔4〕所求抛物线的方程为或；〔5〕所求抛物线的标准方程为y=2－24x或x2=8y.【变式2】抛物线的顶点在原点，焦点在轴负半轴上，过顶点且倾角为的弦长为，求抛物线的方程.【答案】设抛物线方程为()，又弦所在直线方程为由∴，解得两交点坐标,，解得.∴抛物线方程为.类型二：圆锥曲线的焦点三角形4．、是椭圆〔〕的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.思路点拨：如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有，易求之.,由余弦定理有解析：设,,依题意有，即.仅供学习参考∴.举一反三：【变式1】设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，假设，那么的面积为〔〕A．B．C．D．【答案】依据双曲线的定义有，由又得、，，那么，即，所以，应选A.【变式2】双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【答案】：由双曲线的定义有:，，两式左、右分别相加得(即.∴.故的周长.【变式3】椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】仅供学习参考①.②设那么，又.【变式4】双曲线的方程是.〔1〕求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；〔2〕设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小【答案】〔1〕由得，∴，，.焦点、，离心率，渐近线方程为.〔2〕，∴∴仅供学习参考【变式5】中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与双曲线有共同焦点和，且，又椭圆长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比.〔1〕求椭圆与双曲线的方程；〔2〕假设为这两曲线的一个交点，求的余弦值.【答案】〔1〕设椭圆方程为()，双曲线方程，那么，解得∵,∴,.故所求椭圆方程为，双曲线方程为.〔2〕由对称性不妨设交点在第一象限.设、.由椭圆、双曲线的定义有:解得由余弦定理有.类型三：离心率5．椭圆上的点和左焦点，椭圆的右顶点和上顶点，当，〔O为椭圆中心〕时，求椭圆的离心率.思路点拨：因为，所以此题应建立、的齐次方程，使问题得以解决.仅供学习参考那么，即.∵，∴，即，∴又∵.，∴.总结升华：求椭圆的离心率，即求的比值，那么可由如下方法求.〔1〕可直接求出、；〔2〕在不好直接求出、的情况下，找到一个关于、的齐次等式或、用同一个量表示；〔3〕假设求的取值范围，那么想方法找不等关系.举一反三：【变式1】如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且那么双曲线的离心率为〔〕是等边三角形，A．B．C．D．【答案】连接，那么是直角三角形，且，令，那么，，仅供学习参考即，，所以，应选D.【变式2】椭圆〔〕与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵又,∴,,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略〕【变式3】如图，椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,过其右焦点F作斜率为1的直线,交椭圆于A、B两点,假设椭圆上存在一点C,使.求椭圆的离心率.仅供学习参考【答案】设椭圆的方程为〔〕，焦距为,那么直线l的方程为:,由，消去得,设点、那么,∵＋,∴C点坐标为.∵C点在椭圆上,∴.∴又∴∴∴【变式4】设、为椭圆的离心率为_____.，且两个焦点，点是以为直径的圆与椭圆的交点，假设，那么椭圆【答案】如图，点满足.在中，有：∵，∴,令此椭圆方程为那么由椭圆的定义有,,仅供学习参考∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；解析：如图，令,,,那么在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),那么,,∴即〔〕，∴∵,∴,,且为三角形内角，∴，∴,仅供学习参考∴,∴.即此椭圆离心率的取值范围为.举一反三：【变式1】椭圆，F1，F2是两个焦点，假设椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△FPF中，，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，12由余弦定理：4c=|PF1|+|2PF2|-2|2PF1||PF2|cos120°①2又|PF1|+|PF2|=2a②联立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，假设，那么该椭圆离心率的取值范围是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【变式3】椭圆中心在坐标系原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F的直线交椭圆P、仅供学习参考Q两点，且OP⊥OQ，求其离心率e的取值范围．【答案】e∈[,1)【变式4】双曲线(a＞1,b＞0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)到直线的距离之和s≥c．求双曲线的离心率e的取值范围．【答案】直线的方程为bx+ay-ab=0．由点到直线的距离公式,且a＞1,得到点(1,0)到直线的距离．同理得到点(-1,0)到直线的距离=．．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．≥2e2．于是得5即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范围是．类型五：轨迹方程7．中，,,为动点，假设、边上两中线长的和为定值15.求动点的轨迹方程.思路点拨：充分利用定义直接写出方程是求轨迹的直接法之一.应给以重视仅供学习参考解法一：设动点,且,那么、边上两中点、的坐标分别为,.∵,∴,即.从上式知，动点到两定点,的距离之和为常数30，故动点的轨迹是以,为焦点且,,的椭圆，挖去点.∴动点的轨迹方程是().解法二：设的重心，,动点,且，那么.∴点的轨迹是以,为焦点的椭圆〔挖去点〕，且,,.其方程为().又,代入上式，得()为所求.总结升华：求动点的轨迹，首先要分析形成轨迹的点和条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，建立等式，利用直接法或间接法得到轨迹方程.举一反三：【变式1】求过定点且和圆:的轨迹方程.【答案】设动圆圆心,动圆半径为,.〔1〕动圆与圆外切时，〔2〕动圆与圆内切时，，，1〕、〔2〕有∴动圆圆心M的轨迹是以、为焦点的双曲线，且,,.故动圆圆心的轨迹方程为.【变式3】圆的圆心为M，圆的圆心为M，一动21圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】设动圆圆心P〔x，y〕，动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得：，.∴.∴动圆圆心P的