集中量数课件

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用次数分布表和次数分布图来表现分数的分布情况，简单、明了、形象直观，但是还不能说明已经非常概括。 因此人们想到用一些具有特殊性质的数来描绘数据群的分布特征，习惯上称这些为特征量数:1.总体参数(常数，用希腊字母来表示)2.样本统计量（用英文字母来表示）CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室一个随机变量取值分布有什么特征呢？

1、中心位置：用来描述一组数据分布中大量数据向某方向集中的程度。如：算术平均数、中数、众数、加权平均数、几何平均数、调和平均数等。2、离散性：就是对一组数据的变异性特点进行度量的描述的统计量，也称离散量数（measuresofdispersion）。如：全距、四分位差、百分位差、平均差、标准差与方差等等。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室集中量数（中心位置）与差异量数（离散性）的关系图CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室第一节集中量数一、算术平均数的概念及适用条件（一）概念 是一组同质数据值的总和除以数据总个数所得的商。亦称均数，均值，用表示。样本总体CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

例1某班选八名同学参加年级数学竞赛，成绩分别为82，90，95，88，90，94，80，93。求其平均成绩。

CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室1、适用于同质数据。2、要求一组数据中每个数据都比较准确、可靠，若数据模糊不清或分组资料有不确定组限是时，不能计算平均数。3、无极端值出现。4、需要得到一个相对精确可靠的集中量数或进一步参与其他运算时。（二）适用条件CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

有时每个数据在其整体中的所占的权重（重要程度）不同。它是指一组数据中每个数据与其权数乘积的总和除以权数总和所得之商，用符号表示。２.加权平均数CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

例2某年级四个班的学生人数分别为50人，52人，48人，51人，期末数学考试各班的平均成绩分别为90分，85分，88分，92分，求年级的平均成绩。解：=88.74CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室组别组中值Xc次数ffXc90-9492327685-89871087080-848215123075-7977861670-7472536065-6967320160-6462424855-59572114∑503915表3-1某班50人外语成绩次数分布表CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

对于已列成次数分布表的分组数据，其算术平均数的计算公式为（3.3）

式中Xc为组中值；f为各组次数，即权数；N为总次数=∑f。

例3某班50人外语期末考试成绩的次数分布如下，求全班学生的平均成绩。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室解：将表中数据代入公式（3.3），得说明：利用次数分布求得的算术平均数是一个近似值。因为我们先假设组内的数据是均匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室平均数的特点

（1）在一组数据中每个变量与平均数之差（称为离均差）的总和等于0，即：（2）在一组数据中，每一个数都加上一个常数C，则所得的平均数为原来的平均数加常数C，即（3）在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C所得的平均数为原来的平均数乘以常数C，即（４）各观察值与算术平均数之差的平方和为最小，即设X0为非的任意值。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室平均数的意义算术平均数是真值（总体均值）的最好估计值，数学证明设：观测值与平均数的差为

与真值的差为：

对离均差分别求和则：因为：即：代入得当n时，趋近于0故CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室算术平均数的优缺点1、反应灵敏是算术平均数的重要优点2、严密确定是算术平均数的另一个优点3、算术平均数适合进一步的代数运算4、与其他集中量数指标相比，算术平均数受抽样变动的影响较小。样本的平均数的抽样误差小，它是总体均数的最好估计值5、算术平均数也有缺点：如容易受极端数值的影响，如果某一个数值大小无法确定时无法计算CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室计算和应用平均数的原则1、同质性的原则2、平均数与个体数值相结合的原则3、平均数与标准差、方差相结合的原则CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室第二节中位数一、中位数的概念及适用条件 （一）概念 中位数是位于一组有序数据中间位置的量数。也称中数，用Mdn表示。它是将一组有序数据的个数分为相等两部分的那个数据，它可能是原始数据中的一个，也可能是通过计算得到的一个数。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室 1、当一组数据有极端值出现时。

2、当一组有序数据两端有个别数据模糊不清或分组资料有不确定组限时。

3、当需要快速估计一组数据的代表值时。二、中位数的计算方法 （一）未分组数据中位数的计算方法一组数据未分组，先排序，中位数取决于数据的个数是奇数还是偶数。（二）适用条件CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

当数据的个数为奇数时，则以第（N+1）/2个位置上的数据作为中位数。 当数据的个数为偶数时，则取居中间的两个数据的平均数为中位数。即取第（N+1）/2处作为中位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为中位数。 例如求80，93，90，81，85，88，92，84的中位数时，先排序：80，81，84，85，88，90，92，93，再求（N+1）/2=4.5，这说明中位数的位置在第四个和第五个数的中间，即（85+88）/2=86.5。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室对分组数据常将N/2位置对应的数据看成中位数。计算公式为：（3.4）（二）分组数据中位数的计算方法CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

计算步骤： （1）求N/2； （2）确定中位数所在组，由下向上累积次数，直到大于或等于N/2一组为止，该组就是中位数所在组； （3）求出中位数所在组的精确下限； （4）求出中位数所在组以下的累积次数Fb;

（5）确定组距及中位数所在组的次数f;

（6）将以上各值代入公式（3.4）中。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

例5求表3-1的中位数。 解：（1）N/2=50/2=25； （2）由下向上累积次数，75-79组对应的累积次数为22，80-84组对应的累积次数为37，故中位数在80-84组； （3）Lb=79.5； （4）Fb=2+4+3+5+8=22;

（5）i=5,f=15； （6）将上述值代入（3.4），得

Mdn=79.5+(25-22)/15*5=80.5CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室第二节中数(Md)与众数(Mo)1、中数(median)：一组数据由小到大排列后，处于中间位置的那个数叫中数。它可以是原数列中的某数也可能不是。2、中数求法

用原始数据求中数，采用观察法，又分几种情况。①数据分数是奇数，中数附近无重复例.5,3,7,4,1Mdn=4②数据个数是偶数，中数附近无重复例.2，3，3，6，7，8，10，11Mdn=(6+7)/2=6.5③中数附近有重复，找代表点

奇数个：中数位置两旁有一个与它自己相等即有重复。偶数个：中数位置两旁两数相等为有重复。如：2，4，5，5，6，8，10CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室用归类数据求中数，采用公式法。级别次数93-9590-9287-8984-8681-8378-805451211441合计表1：某班成绩分布其中L为中数所在组精下限；Fb为中数所在组下一组的累积次数；f为中数所在组简单次数；

i为组距，N为总次数如右表其中位数为：CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室中数的评价1、根据观测数据计算而来2、计算简单，概念简单明了3、观察结果中有极端值及不清楚或模糊数时可使用4、反应不够灵敏，极端值的变化对中数无影响5、不如平均数稳定，受抽样影响大6、中数不能作进一步的代数运算CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室众数（Mode)1、众数：指次数分布中出现次数最多的那个数值2、计算众数的方法A、直接观察法B、用公式求众数皮尔逊经验法CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室众数的评价

概念简单明了，容易理解，不受极端及模糊数据影响，但反应不够灵敏，易受分组的影响，不能进一步代数运算，受抽样变动的影响较大，所以使用的范围较小CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室平均数、中数与众数的关系1、在正态分布中，这三者是相等的2、在正偏态分布中，M>Md>Mo在负偏态分布中，M<Md<Mo皮尔逊的研究发现，它们之间有这样的关系：CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室其它的集中量数1、加权平均数（单位权重不相等时）2、计算公式：1、2、9860829680659688省区号人数平均分12345678627268400670411314610500合计3800665例：某课题进行了一项调查，各省区的取样人数及平均分如右表：求这次课题的总平均分CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室使用次数分布表计算平均数根据次数分布表计算平均数，需要用各组区间的组中值来代表落入该区间的各个原始数据，并假设各区组内的数据是围绕这个数均匀分布的。基于这个假设可得出以下公式：用上面的公式计算可能其值比较大，我们可以用下面的估计公式，其计算可能要简便很多其中：CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室例解：根据公式可得：9表1：某班成绩分布区间f93-9590-9287-8984-8681-8378-805451211441合计dfdXc949188858279_3210-1-2315850-11-8fXc47036444010209023163512根据另一个公式：可得：CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室第三节几何平均数一、几何平均数的概念及应用时机 （一）概念 它是N个数值连乘积的N次方根，用符号MG表示(3.5)CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室1、求一组等比或近似等比数据的平均数时。2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数据，数据分布呈现偏态，求平均数时。3、在教育上，主要应用几何平均数求平均发展速度或对某项目标进行预测估计。（二）应用时机CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室（一）直接公式法例6求2，8，32，125，502的几何平均数。解：由于这组数属于近似等比数列，故应用公式（3.5），得=31.72二、几何平均数的计算方法CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室例7已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年的1.12倍，1.09倍，1.08倍和1.06倍，求每年的平均增长率。解：先求出平均发展速度

然后用公式：平均增长率=平均发展速度-1，求出年平均增长率。平均增长率=1.09-1=0.09故所求的年平均增长率为9%。CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室设a0,a1,…,aN是N个年度中各年度某种数量值，其中a0是初期量，

aN是末期量。X1,X2,…,XN为各年度发展速度，即

（3.6）（二）只用首末项求几何平均数CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

例8某重点高中1994-1999年招收新生人数如下表，求年平均增长率。年份199419951996199719981999人数594600612630650700表3-2某高中招生人数统计表解：由于a0=594,aN=700,N=5,所以年平均发展速度为

故年平均增长率为（10.3-1)*100%=3%CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室

例10某校办工厂在1984年创产值10万元，该厂计划以年平均增长率为5%的速度递增，试估计到2004年该厂可创产值多少万元。解：由得：aN=a0(1+平均增长率）N=10×（1+0.05）20=26.53（万元）CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室作业1、某班60名学生的外语成绩列成次数分布如下，试求其算术平均数和中位数。组别人数向上累积次数90-9426085-8935880-8455575-7985070-7494265-69163360-64101755-594750-542345-4911∑60

CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室2、某县教师人数1990年为2000人，1994年为2800人，求其平均增长率；若照此速度增长，试估计2002年该县的教师人数为多少？CompanyLogo集美大学教师教育学院应用心理教研室几何平均数1、计算公式：2、几何平均数的应用

A：一组数据中有少数数据偏大或偏小，数据分布呈偏态、心理物理学中等距与等比量表实验数据

B：一组数据彼此间变异较大