浙江理工大学2011

浙江理工大学2011—2012学年第二学期(11级)《线性代数A》期末试卷(A)卷本人郑重承诺：本人已阅读并且透彻地理解《浙江理工大学考场规则》，愿意在考试中自觉遵守这些规定，保证按规定的程序和要求参加考试，如有违反，自愿按《浙江理工大学学生违纪处分规定》有关条款接受处理。承诺人签名： 学号： 班级： 题号三四总分得分一、选择题(每小题4分，共24分)TOC\o"1-5"\h\z设A、B为n阶矩阵，且AB二0，则下面必成立的是( ).(A)A=0或B=0 (B)A+B=0(C) |A|=0或冋=0 (D) +|B=02-已知向量组a，，，线性无关，则下列向量组相性无关的是( )1234(A)a+a，+a,a+a,a+a12233 44 1(B)a-a，a-a，a-a，a-a12233441(C)a+a，a+a，a+a，a-a1 2 2 3 3 4 4 1(D)a+a，a+a，a-a，a-a1 2 2 3 3 4 4 1设A是mxn矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是( )•(A)A的列向量组相性无关 (B)A的列向量组相性相关(C)A的行向量组相性无关 (D)A的行向量组相性相关若n阶可逆阵A的一个特征值为九，则它的伴随矩阵A*必有一个特征值( ).(A)X-i|A|n (B)X-i|A| (C)九|A| (D)九|A|n

).5•若A,B均为n阶方阵，且A,B相似，E为n阶单位矩阵，则().(A)九E-A二九E-B; (B)A,B有相同的特征值和特征向量；(C)A，B相似于同一个对角阵；(D)对于任意的t，tE-A和tE-B相似。6.二次型f（x +bx2+2cxx+ax2为正定二次型，则（ ）.12312133（A）a>0,b>0,c<a （B）a>0,b>0,a<c（C）a>0,b>0,a>c| （D）a>0,b<0,a<|c二、填空题（每小题4分，共24分）1.设a,a,a,p,p是四维列向量，且la,a,a,p|=m,|P,a,a,a|=n,TOC\o"1-5"\h\z12312 123 1 丨2123则la,p十卩，a,a= .1 1 1 2 2 32.矩阵A为3阶方阵，且|A|=-，则|（3A）-1-2A*= ,1 -2-45003.设方阵A=—2a—2与对角阵A=0b0相似，则a= ，b= 。—4—2 100—44.向量组p=4-2k1,a=b35I,a=b7 8^,a=1-61-1,若123「2—1「2—15.若g=11-』是矩阵A=5a—1b九= ，a=，b=0「1九—1"6.若矩阵A=九12是正定矩阵，则九—125p可由a1，a2，a3线性表示，则k=——三、计算题(共42分)23的一个特征向量，则E对应的特征值-2‘100、‘011、1・（5分）已知矩阵A=110，B=1011111丄丄丄丿<11 0>AXA+BXB=AXB+BXA+E，这里E为三阶单位，求X.2・（6分）求向量组a =1-20 3丄,a =^2 -5-3 6丄,a=\o 130丄,122a4=b-147〕，的秩与一个极大线性无关组，并把其他向量用这个极大无关组线性表示.x+x+x+x=0TOC\o"1-5"\h\z3.（10分）a,b为何值时非齐次线性方程组J 2 3 4-—x+（a—3）x—2x=b3x+2x+x+ax=—11 2 3 4（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无数多个解.并且在方程组有无数多个解时，用该方程组的一个特解及对应齐次线性方程组的基础解系表示其通解.4.（11分）已知二次型f（x，x，x）=xtAx=ax2+2x2—2x2+2bxx （b>0）,其中1 2 3 1 2 3 23二次型矩阵A的特征值之和等于1，特征值的积等于-12；（1）求ab的值；（2）用正交变换把f化为标准形并写出相应的正交变换和对应的正交矩阵.5.(10分)设三阶实对称矩阵A的秩为2,九=九=6是A的二重特征值，且向量12(-1]g21丿2，均为A的属于特征值6的特征向量，<-g21丿(1)求A的另一个特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵A.四、证明题(6+4=10分)1.设A与B为n阶方矩阵，若AB二0，则R(A)+R(B)<n.设A，B均为n阶正交矩阵，证明：AB也为正交矩阵.

浙江理工大学2011—2012学年第二学期（11级）《线性代数A》期末试卷（B）卷答案与评分标准三、选择题（每小题4分，共24分）C2.C3.A4.B 5．D6.C二、填空题（每小题4分，共24分）1641.m-n_2.- 3.a=4_，=丄.4.兰。5.九=-1，=-3，b=0.6.-5＜九＜0三、计算题（共42分）2.因为A-B二且(A-B)-1=2．3.1-100-1-11可知|A—B\=1丰0所以A-B可逆 2分3分可得X=+A2.因为A-B二且(A-B)-1=2．3.1-100-1-11可知|A—B\=1丰0所以A-B可逆 2分3分可得X=+A-B)-15分6分）解：对A施行初等行变换变成行最简形，「1202-「1020—-2-51-1r01-100-3349/000136070000A二1，a2,a4是A的列向量组的最大无关组，3分所以R（A）=3,A的前三列a且a二2a—a3 1 -6分「11110-「11110_01221012210-1a-3-2b00a-10b+1321a-1000a-10（10分）解：用初等行变换将增广矩阵A化成阶梯型为A=[ab\=5分4分由阶梯型矩阵1)当ah—i时，RA=r（a）=4此时方程组有唯一解；6分当a二1但bh—11)当ah—i时，RA=r（a）=4此时方程组有唯一解；6分当a=1但b=—1时，R~=R(A)=2<4故此时方程组有无穷多组解。此时增广矩阵可以进一步化为「1001A—0000-1-1-1221「1001A—0000-1-1-1221000000由此得方程组的解为彳1 3 4C,x为自由未知量)349分x1x2—11+k1—2+k1—2x0C,x为自由未知量)349分x1x2—11+k1—2+k1—2x011203x0014即方程组的解为：x—k1，k2为任意常数。10分4.(11分)解(1)二次型的矩阵为A—b0—21分设A的特征值为九，九，九123则由题意得九+九+九—1—a+2+(—2)123九九九123—1220 ——4a一2b2 因此有a—1,b—23分;九-1⑵由矩阵A的特征多项式0—20—2九—20—（九一2）2（九+3）；0九+2得矩阵A的特征值为九—九—2,九—-3………5分1 2 ，3r2「r01当九1…2时，解方程组(2E-A)X-0，得基础解系匸11-011J，E12—1i0丿

（1]当九3二3时，解方程组（3E-A）X二0,得基础解系g21=0 7分2丿由于g由于g,,111221已经是正交向量组，只需将其单位化可得(2)75019(2)75019分UTAU=00-3且二次型的标准型为f=2y+2y-3y12311分(1]3,,0,2耳J为正交矩阵，在正交变换x=Uy下有(C]1c2Ic丿35.（10分）解：（1）因为A(C]1c2Ic丿3则导0………2分 设对应于导0的—个特征向量为P=因为:6是A的二重特征值，则属于特征值6的线性无关的特征向量只有两个，设£，g2为属于特征值6的线性无关的特征向量。Icc 0因为A为实对称矩阵，则P与g,g均正交，即｛1 2 ，其基础解系为1 2 12c+c+c=0123(-1]1<1丿,k丰0 4分，所以对应于九=0的特征向量是kg=k33(-1]1<1丿5分(2)取P=(g,g,g)，则P-1AP=123(60,00]00丿6分01-1则P-1=1123-33111「333丿所以，8分‘60O'‘4 2 2'A二P060P-1二2 4 -200?2一2 410分四、证明题(6+4=10分)1.证：分两种情况：TOC\o"1-5"\h\zA二0，贝0R(A)=0，此时有R(A)+R(B)=R(B)S 2 分A丰0,有已知AB二0可知：3分矩阵B的列向量P,P，…，B中每一个向量均为方程组AX二0的解向量。3分1 2 n若R(A)—n，则方程组AX—0仅有零解，即B=B=…=0,1 2 n也就是说B二0，此时R(A)+R(B)=n 4分若R(A)<n，令方程组AX二0的基础解系