高中数学必修二第六章 平面向量的概念 知识点总结及练习

知识点一向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度（或称模）零向量长度为零的向量叫作零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量表示两个向量的有向线段所在的直线平仃或重合贝U这两个向量叫作平仃向量，平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量易误提醒1•对于平行向量易忽视两点：（1）零向量与任一向量平行.（2）两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.2•单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制.［自测练习］1•若向量a与b不相等，则a与b—定（）A•有不相等的模B•不共线C•不可能都是零向量D•不可能都是单位向量解析：若a与b都是零向量，则a二b,故选项C正确.答案：C2.若miin,niik,则向量m与向量k（）A•共线B•不共线C•共线且同向D•不一定共线解析：可举特例，当n二0时，满足miin,niik,故A,B,C选项都不正确，故D正确.答案：D

知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律(1)交换律：a+b=b+a；加法求两个向量和的运算三角形法则(2)结合律：43(a+b)+c=a+平行四边形法则(b+c)减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫作a-b=a+(-b)aa与b的差三角形法则数乘求实数入与向量a的积的运算|入a|=|入||a|；当入＞0时，入a的方向与a的方向相同；当入＜0时，入a的方向与a的方向相反；当入二0时，入a二0入(pa)二(入p)a；(入+p)a二入a+pa；入(a+b)二入a+入b易误提醒1•作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点.2•数乘向量仍为向量只是模与方向发生变化，易认为数乘向量为实数.［自测练习］3•已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是()1A.AB+AC二BCb.AB二-BC+DA2C.AD-DC二ACD.2CD+BA二CA解析：本题考查向量的线性运算.A错，应为AB+AC二2AD；8错，应为1BC+DA二

BD+DA二BA；c错，应为AC二AD+DC；d正确，2CD+bA=cB+bA=cA,故选d.答案：d知识点三共线向量定理向量a（a/0）与b共线的充要条件是存在唯__个实数入，使得b二入a.易误提醒1•在向量共线的重要条件中易忽视“azo”，否则入可能不存在，也可能有无数个.2•要注意向量共线与三点共线的区别与联系.必记结论三点共线等价关系：P,B三点共线oAP二XAB（入H0）oOP二（1-t）・OA+tOB（O为平面内异于A,P,B的任一点，teR）oOP二xOA+yOB（0为平面内异于A,P,B的任一点,xeR,yeR,x+y二1）.［自测练习］4•已知a与b是两个不共线向量，且向量a+入b与-（b-3a）共线，贝叭二.解析：由题意知a+入b二k［-（b-3a）］,'入二-k'入二-k,所以｛1=3k,<解得1k=3,答案•-考点一向量的基本概念王拽徑［题组训练］1•已知a,b,c是任意向量，给出下列命题：若aiib,biic，则aiic；若aiib,则a,b方向相同或相反；若a二-b,则|a|二|b|;若a,b不共线，则a,b中至少有一个为零向量，其中正确命题的个数是()A.4B.3C.2D.1解析：按照平面向量的概念逐一判断•若b二0,则①②都错误；若a二-b侧|a|二|b|,③正确；若a,b不共线，则a,b中一定没有零向量，④错误，所以正确命题只有1个.答案：Dab•设a,b都是非零向量，下列四个条件中，一定能使同+両二0成立的是()A.a二2bB.aiib1C.a二-3bD.a丄bababb解析：由面+面二0得jOj二-面H0,即a二-jbfla|H0,则a,b共线且方向相反，ab因此当向量a,b共线且方向相反时，能使+■二0成立•对照各个选项可知，选项A|a||b|中向量a,b的方向相同，选项B中向量a,b共线，方向相同或相反，选项C中向量a,b的方向相反，选项D中向量a,b互相垂直，故选C.答案：CTOC\o"1-5"\h\z!解决向量的概念问题应关注五点!!(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.I|(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.|(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关.|(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量•解题时，不要把它与函数图象|1移动混为一谈.TOC\o"1-5"\h\z!aa!（5）非零向量a与百的关系：口是a方向上的单位向量.|a||a|考点二平面向量的线性运算|［典题悟法］翹I（1）设。为^ABC所在平面内一点，BC二3CD,则（）4AD二--AB+-AC34AD二-AB--AC31AD二—AB+-AC331Dad二AB--AC331114［解析］由题意得AD二AC+CD二AC+3BC二AC+§AC-3AAB二-§AB+§AC，故选A.［答案］A⑵（2015・东北三校联考（二））已知在SBC中，D是AB边上的一点，若AD二2DB,CD二^ca+入CB，贝叭二.122［解析］因为也2觅4尹+入电所以cD=cA+aD=cA+3ab=cA+3(Cb122-CA)二3CA+3CB，所以入2［答案］3TOC\o"1-5"\h\z|平面向量线性运算问题的两种类型及解题策略||(1)向量加法或减法的几何意义•向量加法和减法均适合平行四边形法则.||(2)求已知向量的和•一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；|I求首尾相连向量的和用三角形法则.Iii［演练冲关］1•设0为aABC内部的一点，且OA+OB+2OC=0,则aAOC的面积与aBOC的面积之比为()35a.b.—3C.2D.1解析：取AB的中点E，连接0E,则有OA+OB+2OC二2(Ot+Ot)二0,Ot+Ot二0,所以E,O,C三点共线，所以有△AE0与aBE0面积相等，因此△AOC的面积与aBOC的面积之比为1,故选D.答案：D考点三共线向量定理的应用|

［典题悟法］SS2设向量a,b不平行，向量入a+b与a+2b平行，则实数入二.［解析］由于入a+b与a+2b平行，所以存在阻R，使得入a+b=p(a+2b)，即(入-p)a1+(1-2p)b二0,因为向量a,b不平行，所以入-p=0,1-2p=0,解得入=2-1［答案］2TOC\o"1-5"\h\z|1•共线向量定理的应用||(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值.|i(2)若a，b不共线，则入a+pb=0的充要条件是入=M=0,这一结论结合待定系数法应iI用非常广泛.I|2•证明三点共线的方法||若AB二XAC,则A、B、C三点共线.|［演练冲关］•设两个非零向量e］和e2不共线.⑴如果AB=ex-e2,BC=3ex+2e2,CD=-8ex-2e2,求证：A,C,D三点共线;(2)如果AB=ex+e2,BC二2e］-3e2,AF二3e］-ke2,且A,C,F三点共线，求k的值.解：(1)证明：＞AB=e1-e2,BC=3ex+2e2,.•.AC二AB+BC二4勺+為，又CD二-8ex-2e2,.CD二-2AC,.AC与CD共线.又tAC与CD有公共点C,.A,C,D三点共线.(2)tAB二e］+e2,BC=2ex-3e2,..AC二AB+BC二3e】-2e?.•••A,C,F三点共线.

•••ACiiAF，从而存在实数入，使得AC二XAF.A3el-2e2二3Ael-入ke2,又e1,e2是不共线的非零向量，3二3入，辽「入「因此“••实数k的值为2.13•方程思想在平面向量呈线性运算中的应用11【典例】如图所示，在△ABO中，O>4°A，OD二2©B，ad与BC相交于点M，设OA二a,OB二b.试用a和b表示向量OMl.［思路点拨］(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.⑵既然OM能用a,b表示，那我们不妨设出OM二ma+nb.(3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解.［解］设OM二ma+nb,贝gAMl二OM-OA二ma+mb-a二(m-l)a+nb.1iAD二OD-OA二^OB-OA二-a+尹又tA,M,D三点共线，「.AM与AD共线.•••存在实数t,使得AM二tAD,(1)即(m-1)a+nb二t-a+jb.

.•.(m-l)a+nb二-ta+jtb.m_1二_t,t消去t得，m-1=-2n,n=■,即m+2n二1.①又v又vcM=OM-(5t=fi)m—-a+nb,4k丿11CBS-兄b-4a「4a+b又vC,M,B三点共线，•••CM与CB共线.••存在实数J,使得CM二jCB,f1)f1)m--a+nb=t——a+bk41k4丿11•C-4=-4t1，t!消去J得，4m+n二1•②13^13由①②得m二7,n二7，.OM二7a芍b［方法点评］(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，旦解题过程复杂，有一定的难度.(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有"形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与

技巧•如本题易忽视A,M,D三点共线和B,M,C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．［跟踪练习］如图,^ABC中，GA+GB+GC=O,CA二a,CB二b.若CP二ma,CQ二11nb,CGnPQ=H,CG二2CH,贝怙+斤二.解析：由GA+GB+GC二0,知G为aABC的重心，取AB的中点D(图略)，则CH二1111111=3CD=6(CA+CB)=6mCp+6nCQ^由P，H，。三点共线，得帝+乔二1,则m6.答案：6课时跟踪检测A组考点能力演练1.关于平面向量，下列说法正确的是()A•零向量是唯一没有方向的向量B•平面内的单位向量是唯一的C•方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D•共线向量就是相等向量解析：对于A,零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B,单位向量的模为1,其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C,方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C.答案：C•已知O,A,B,C为同一平面内的四个点，若2AC+CB二0,则向量OC等于()12b12b.-3oA+3Ob笃氣3况C.2C.2OA-OBDOA+2OB解析：因为AC二OC-OA,CB二OB-OC,所以2AC+CB二2（Ot-OA）+（OB-Ot）二OC-20A+O）B二0,所以0C二2OA-O）B，故选C.答案：C•已知在△ABC中，M是BC的中点，设CB二a,CA二b,则AM=（1B.^1B.^a+bA.^-b1C.a-尹11解析：AM-AC+CMl--CA+2CB--b+尹答案：A4.（2015・海淀期中）如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD二2DC,若AC二mAfe+nAD(m,nwR),贝gm-n=()B.-2D.-1313解析：AC=AB+BC=AB+^BD—AB+^(AD-AB)~-^AB+^AD，贝m—3二2,所以m-n—-2.答案：B1•若a,b是两个不共线的非零向量，a与b的起点相同，已知a,tb,ja+b）三个向量的终点在同一条直线上，贝Ut—（）解析：设0A二a21-3a+3b解析：设0A二a21-3a+3b,AB二OB-OA二ta-a•要使A,B,C三点共线，只需AC二AAB,即-213a+3b二入tb-入a即可，又a,-入，b是两个不共线的非零向量，1-二入上，<解得1

丘巧，•••当三个向量的终点11A，B.-2C・2D--21OB二tb,OC二3（a+b），贝yAC二OC-OA二1在同一条直线上时,t=2-答案：A-（2016•长沙一模）在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC=5ei,DC=3e2,则OC—•（用ei,弓表示）111解析：在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC二2处二2（AB+AD）二2（DC+BC）=2（5ei+3e2）-1答案：2（5ei+3e2）•已知向量e1,e2是两个不共线的向量，若a=2e1-e2与b二e】+入e2共线，贝叭二|x二2,1解析：因为a与b共线’所以a=xb,L=-1,故入二-7

答案•-8•已知点G是aABC的外心,GAIGB,GC是三个单位向量，且2GA+AB+AC二o,如图所示，△abc的顶点b，C分别在X轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则|OA|的最大值为解析：因为点G是aABC的外心，且2GA+AB+AC二0,所以点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且zBAC是直角•又GA,GB,GC是三个单位向量，所以BC=2,又△abc的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，所以点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧•又|GA|二1,所以当OA经过BC的中点G时，|OA|取得最大值，且最大值为2|GA|二2.答案：29•已知a,b不共线，OA二a,OB二b,OC二c,OD二d,OE二e,设teR,如果3a二c,2b二d,e二t(a+b)，是否存在实数t使C,D,E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.解：由题设知,CD=d-c=2b-3a,CE=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CE二kCD,即(t-3)a+tb二-3ka+2kb,整理得(t-3+3k)a二(2k-t)b.因为a,b不共线，[t因为a,b不共线，所以有]t-2k.0,解之得t二亍6故存在实数t二口使c,d,e三点在一条直线上.

10•设0是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足OP=OA+ABACA—+—，入丘［0,+8）.求点P的轨迹，并判断点P的轨迹通过下述哪一个定点:\AB||AC|丿①aABC的外心；②aABC的内心；③△ABC的重心；④△ABC的垂心.解：如图，记am=-AB,an^Ac,则am,an都是单位向量，IABIiacia|AM|=|AN|,AQ二AM+AN，则四边形AMQN是菱形，・.AQ平分zBAC.•••0P二OA+AP,由条件知0P二(oA+AAQ,.•.AP二AAQ（入曰o,+8））,••点P的轨迹是射线AQ,且AQ通过aABC的内心.B组高考题型专练1.)设D,E,F分别为SBC的三边BC,CA,AB的中点，则EB+FC=()a.Bcb-2aDc.ADd.2bcc.AD(i)(i)b，从而EB+FC二-2b+ak2丿解析：设AB二a,Ac二b,则EB=-2b+a,FC=_2a+士+寸二2（a+b）二AD，故选ck2丿2答