初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题（每题3分,共18分）1、如果,，则( )。A

B

C

D2、如果，，则

15（）.A 整除B不整除C等于D不一定感谢阅读3、在整数中正素数的个数（)。A 有1个 B 有限多C无限多D不一定谢谢阅读4、如果，是任意整数,则A B C D5、如果( ),则不定方程有解.A B C D6、整数5874192能被（ ）整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）。2、同余式有解的充分必要条件是（ )。3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为（ )。谢谢阅读4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者( ）。谢谢阅读5、的公倍数是它们最小公倍数的( )。6、如果是两个正整数，则存在（ ）整数，使，.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=？2、求解不定方程。3、解同余式。4、求,其中563是素数。(8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32谢谢阅读分）1、证明对于任意整数,数是整数。2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除。3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题（每题3分，共18分）1、D.2、A 3、C 4、A 5、A 6、B二、填空题（每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）。2、同余式有解的充分必要条件是（).3、如果是两个正整数,则不大于而为的倍数的正整数的个数为( )。精品文档放心下载4、如果是素数,是任意一个整数,则被整除或者(与互素 ).精品文档放心下载5、的公倍数是它们最小公倍数的（倍数 ).6、如果是两个正整数,则存在（唯一)整数，使,.感谢阅读三、计算题（每题8分，共32分)1、 求［136,221，391]=？（8分）解[136,221，391]=［［136,221］,391］=［]=[1768，391] ——————-——-——(4分）==104391=40664。

--——--——--—-（4分）2、求解不定方程。(8分)解 ： 因 为 (9,21

）

=3

，，

所 以 有

解

；————--——-—-——--—-—-—----———-（2精品文档放心下载

分）化简得；

—-—----—-—-——---—--(1分）考虑，有，

——-—-—--—-—--——-———（2分)所 以 原 方

程 的

特 解 为

，——-—--——--—---——-—-（1

分）因此，所求的解是。

—-———-—-———-——--—--（2

分）3、解同余式.

（8

分)解因为(12,45）=3¦5，所以同余式有解,而且解的个数为3。 -感谢阅读————---—-(1分）又同余式等价于，即. —————----———（1分）精品文档放心下载我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是（10,3）,—-——谢谢阅读----—-（2分）即定理4.1中的。 ——--——(1分）因此同余式的3个解为， —-----—-—（1分）——---———-—-————-—（1分）.-——-———--(1分）4、求，其中563是素数。（8分）解把看成Jacobi符号,我们有—-——-—--—-——-——（3分)—————-—-—————----感谢阅读————-(2分）,——-----—---—-————(2分)即429是563的平方剩余. ——-———---——感谢阅读——-—（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分,共32分)精品文档放心下载1、证明对于任意整数，数是整数。（10分）证明因为==, —---—-(3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数，3个连续整数的乘积是3的倍数，—-—-—（2分）精品文档放心下载并 且 (2 ， 3 ） =1 ，--———（1分）所以从和有，-—--—（3分）即是整数.

-—-——（1

分)2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5

整除。

(11

分)证明因为， --—-———----—-（3所以只需证明.而我们知道模5的完全剩余系由—2,—1，0,1,2构成,谢谢阅读所以这只需将n=0,±1，±2代入分别得值1,7,1,19，7。感谢阅读

分）对于模5，的值1，7，1，19，7只与1,2，4等同余，感谢阅读所以

-- —-——-—-（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被

5

整除。

—-—--——-（1分）3、证明形如的整数不能写成两个平方数的和。证明设是正数，并且，谢谢阅读

(11

分）——-—----—-（3分）如果，

------——-（1分)则因为对于模4,只与0,1，2，-1等同余,所以只能与0,1同余,所以, —-—----—-（4分）而这与的假设不符， —-——--——-(2分）即 定

理

的 结

论 成

立

.—---—-（1分)初等数论考试试卷二一、单项选择题1、(）。A B C D 02、如果，则=（).A B C D3、小于30的素数的个数（）。A 10 B 9 C 8 D 74、如果，是任意整数，则A B C D5、不定方程（）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D有负数解6、整数5874192能被（ )整除.A3B3与9C9D3或97、如果，，则( )。A B C D8、公因数是最大公因数的（)。A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定9、大于20且小于40的素数有(）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ）。A -3，-2,-1,0，1,2，3 B —6，-5,—4,—3,—2，-1C1,2,3,4,5,6谢谢阅读D 0，1，2,3，4，5，611、因为( ）,所以不定方程没有解。A［12，15］不整除C7不整除(12，15)感谢阅读

7

B（12,15）不整除D7不整除［12，15］精品文档放心下载

712、同余式(）。A 有解

B无解

C 无法确定

D 有无限个解二、填空题1、有理数,,能写成循环小数的条件是（).2、同余式有解，而且解的个数为(

）。3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为（ ）。感谢阅读4、设是一正整数，Euler函数表示所有（ )，而且与（）的正整数精品文档放心下载的个数。5、设整数，则（)=.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除。谢谢阅读7、（）.8、同余式有解，而且解的个数（ ）。9、在176与545之间有( ）是17的倍数。谢谢阅读10、如果,则=( ）。11、的最小公倍数是它们公倍数的（ ).12、如果,那么=（ ）。三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数？2、求解不定方程.（8分)3、求，其中563是素数.（8分）4、解同余式。（8分）5、求［525,231]=？6、求解不定方程.7、判断同余式是否有解?8、求11的平方剩余与平方非剩余。四、证明题1、任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数。（11谢谢