高考数列专题讲解(含答案)

数列题型一、数列的综合问题3【例1】已知首项为2的等比数列｛an｝不是递减数列，其前n项和为Sn(n$N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列｛an｝的通项公式；⑵设Tn=Sn—£(n$N*),求数列｛Tn｝的最大项的值与最小项的值.n解(1)设等比数列｛an｝的公比为q,因为S2＋a2，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，所以S5+a5—S3—a2=S4+a4—S5—a5，艮卩4a5=a2，于是q2于是q2=aa314.31又｛an｝不是递减数列且a=2,所以9=—23(1\n—1故等比数列｛an｝的通项公式为an=2x(—2j=(—1)n—1(2)由⑴得S”(2)由⑴得S”=l—(271<、1”为奇数,”为偶数,当n为奇数时，Sn随n的增大而减小,3所以1vSnWS]=2，亠…1—1325故0<S—云WS[・=了一：=乙nSn1S1236当n为偶数时，Sn随n的增大而增大,3所以4=S2WS”v1,故0>Sn1134故0>Sn，三S———=————=S八2S243n2

715综上，对于n^N*，总有一i2<Sn_s<6-n所以数列｛Tn｝最大项的值为5最小项的值为一£.【分析】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【即时应用】已知数列｛an｝是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5-2a2=25，且a,a4,a13恰为等比数列｛化｝的前三项.⑴求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；f1]1⑵设Tn是数列[产厂｝的前n项和，是否存在k^N*，使得等式1-2T产決成立？Inn+1Juk若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.解(1)设等差数列｛an｝的公差为d(dHO),.(5。12~d—2(a]+d)=25,\(Q]+3d)2=Q](a]+12d)，解得。]=3，d=2，・・dn=2n+1.•b]=a]=3,勿2=。4=9,・••等比数列｛bn｝的公比q=3,：・bn=3n.(2)不存在.理由如下：•=1=1f_^—^^•叽+1(2n+1)(2n+3)2°n+12n+3丿'1Tn=25)1Tn=25)+(51)+…+2n+11Y2n+3人1卩2(31]2n+3丿'•1—2Tk=l+2k^(keN*)?f1〕易知数列f2k百〔为单调递减数列‘・・・1<1-2吨，又b=3H0,:==3・•・不存在k^N*，使得等式1—2T产b1成立.k题型二、数列的通项、求和求和要善于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常用求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.【例2】设等差数列｛an｝的公差为d,前n项和为S”，等比数列｛bn｝的公比为q,已知b]=a],b?=2,q=d,S10—100.⑴求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式；⑵当d>1时，记cn=穿，求数列｛cn｝的前n项和Tn.n(1)解由题意有(1)解由题意有10a1＋45d=100,a1d=2,[2a〔+9d=20,即IClQ]d=2,「a〕=1,解得仃=「a〕=1,解得仃=2a】=9,或]_2d=9a=2n—1,nb=2n—1nan也=9・(2n+79),(F1(2)解由d>1,知a=2n—1,b=2n—1,nn2n—1c—Cn2n—1于是Tn=于是Tn=1卜3+A+2+2+22+23+2n—12n—12n2n—12n•②1=1+_3+丄+Z+92Tn=2十五十53十24十25①—②可得11112n—12Tn=2+2+22+矿2n+32n

故T故Tn=62n+32n—1【分析】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列｛an•bn｝是由等差数列｛an｝与等比数列｛bn｝(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.第二步：(乘公比)设｛an•bn｝的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.第三步：(错位相减)乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k$N*)的项对应，然后两边同时作差.第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出Tn.【即时应用】设数列｛a｝的前n项和为S,已知a,=1,a2=2，且a2=3S—Snn12n+2nn]+3,n^N*.+1⑴证明:%+2=3an；⑵求Sn⑴证明由条件，对任意nN*,有a”+2=3Sn—S”+1+3,因而对任意n^N*,n三2,有a1=3S1—S+3.n+1n—1n两式相减，得an+2—an+1=3an—an+「即°”+2=3an,n±2.又a1=1,勺=2,所以°3=3S]—S2+3—3%1—(°1+。2)+3=3。1,故对一切n^N*,a2—3a.n+2n⑵解由(1)知，anHO,所以a0^—3.于是数列｛a2nJ是首项a1—1,公比为3的—n等比数列；数列｛a2n｝是首项a2—2,公比为3的等比数列.因止匕a?n1—3n—1,a2n—2X3n—1.于是S2n=a1+a2+…+a2n—(%+a3a2n—1)+(a2+a4++a2n)—(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(]+3+…+3n_l)=2(3n—1).题型三、数列的综合应用3.1数列与函数的综合问题【例3】设等差数列｛an｝的公差为〃，点(an，bn)在函数fx)=2x的图象上(n^N*).⑴若a]=_2,点(a8,4b7)在函数fx)的图象上，求数列｛a」的前n项和S”；⑵若a]=1，函数fx)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2—in音，求数列普的前n项和Tn.、nJ解(1)由已知，b7=2a7，b8=2a8=4b7，有2勺=4X2a7=2a7+2，解^得d=a$—a?=2.所以，Sn所以，Sn=na1n1n(n_1)2__d=_2n+n(n_1)=n2—3n.(2)函数fx)=2x在(a2，b2)处的切线方程为y_2a2=(2a2ln2)(x_a2),它在x轴上的截距为a2_m^.由题意知，a?—g2=2—g2，解得a2=2.所以，d=a2—a.=1.从而a=n，b=2n，21nn123n—1n所以Tn=2+22+23++2n—1+2^，2T=1+|+¥n1222因此，2T因此，2Tn—Tn=1+l+lGW1n2"+1—n—22n—12n2n所以，T所以，Tn=2n+1一n—22n热点3.2数列与不等式的综合问题【例4】在等差数列｛an｝中，a2=6，a3+a6=27.

⑴求数列｛an｝的通项公式；S⑵记数列｛an｝的前n项和为Sn，且Tn=321，若对于一切正整数n总有T”Wnnn3•2n—1nm成立，求实数m的取值范围.解（1）设公差为d,由题意得:a】+a】+d=6,2。］+7d=27,[a】—3,解得仏3,:.an—3n.3(2)°・°Sn=3(1+2+3+