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微积分极限思想推导圆周长面积公式1.积分法在平面直角坐标下圆的方程是x^2+y^2=r^2x=r*Costy=r*Sintt∈[0,2π](x'(t))^2+(y'(t))^2)dt（Q:此处x,y对t为什么都要导A:将一个圆的周长分成n份，x'(t)=△x=xn-x(n-1),y'(t)=△y=yn-y(n-1).当n→∞,△x，△y→0(x'(t))^2+(y'(t))^2).所以C就是√((x'(t))^2+(y'(t))^2)从0到2π的积分.虽然不导得出的结果是一样的，但原理方面就解释不通了.）(-rSint)^2+(rCost)^2)dt=∫(0到2π)rdt2.极限法其底边长为2*r*sin(π/n)，所以等n边形周长为n*2*r*sin(π/n)lim[n*2*r*sin(π/n)]运用等价无穷小规则，当x→0时，有sinx→x所以lim[n*2*r*sin(π/n)]=lim[n*2*r*π/n]=2πr.应用圆周长C=2πr1.可以将圆分成两个半圆两个半圆，再将两个半圆分成无数个面积相等的扇形并展开，在拼接起来，底边可以以直代曲，那么就是一个底边长为πr，高2.积分法r，为自变量.设每个圆环厚度为dr→0，则圆环周长可看为2πr，圆面积为所有这些圆环的面积之和.所以S=∫2πrdr,从0积到R.所以S=2π[1/2(R^2-0^2)]=πR^2.(球体积公式推导方法中的“球壳法ShellMethod”与此法是类似的.)1.积分法(1)圆方程为x^2+y^2=r^2.只需算出第一象限(0积到r)，然后乘以4.方法和求曲边梯形面积类似，具体不再叙述.(2)我们回过头来看到上面周长推导中的Q和A.C/n=√(△x^2+△y^2)=√((x'(t))^2+(y'(t))^2)，每份C/n与两条半径组成的扇形的底面角形，每个面积就是r*C/n*1/2=1/2*r*√(△x^2+△y^2)=1/2*r*√((x'(t))^2+(y'(t))^2).S=∫(0到2π)1/2*r*√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=1/2*r*∫(0到2π)√((x'(t))^2+(y'(t))^2)dt=1/2*r*C=1/2*r*2πr=πr^2.2.极限法根据正弦定理，其面积为1/2*r*r*sin(2*π/n)，所以等n边形面积为n*1/2*r^2*sin(2*π/n)lim[n*1/2*r^2*sin(2*π/n)]运用等价无穷小规则，当

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