第三章 勾股定理单元检测卷（含解析）

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第3章《勾股定理》单元检测卷

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2023春余姚市期末）如图，一块边长为18dm的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为4dm的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为（）

A．100dm2B．128dm2C．162dm2D．180dm2

2．（2023秋余姚市校级期中）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）

A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4

C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定

3．（2023春东丽区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（）

A．6B．8C．12D．

4．（2023春深圳校级期末）如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（）

A．15mB．9mC．7mD．8m

5．（2023春应县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积是（）

A．194B．144C．122D．110

6．（2023张家口模拟）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：

甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明；

乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．

对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（）

A．甲、乙均对B．甲对、乙不对

C．甲不对，乙对D．甲、乙均不对

7．（2022秋长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（）

A．2mB．2.5mC．2.6mD．2.7m

8．（2023春庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

9．（2023春汉寿县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）

A．6B．5C．8D．7

10．（2022秋卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）m．

A．B．C．6D．

二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）

11．（2023都昌县校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为尺．

12．（2023春太平区期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．

13．（2022秋亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为．

14．（2022秋衡东县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝cm2．

15．（2023春漳平市期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝．他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为km．

16．（2022秋阳泉期末）如图所示，已知△ABC中，BC＝16cm，AC＝20cm，AB＝12cm，点P是BC边上的一个动点，点P从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t＝．

17．（2023秋峨边县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝．

18．（2023春罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为．

19．（2023春蚌埠月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为．

三．解答题（共8小题，满分62分）

20．（6分）（2023春海珠区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，AD平分∠CAB交BC于点D．

（1）求△ABC的面积；

（2）求BD的长．

21．（8分）（2023春榆树市期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．

22．（8分）（2023春武威期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．

（1）求证：△ADC是直角三角形；

（2）求BC的长．

23．（8分）（2022秋高碑店市期末）在一条绳子下端系着一艘小船，其示意图如图所示，其中CD为靠水一侧的河岸，垂直于水面，小明在河岸上拽着绳子上端向后退，绳端从点C水平移动到点E，同时小船从A移动到B，AB平行于水面，延长AB交CD于点F，绳长始终保持不变，回答下列问题：

（1）ACBC+CE（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小明向后移动的距离．（结果保留根号）

24．（8分）（2023春岚山区期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题

（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．

（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

25．（8分）（2023春阳泉期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处1m．

（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？

（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？

26．（8分）（2023春蒙城县校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长；

（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；

（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

27．（8分）（2022秋内江期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．

（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝米．

（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；

（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．

①求∠MPN的度数；

②求丙房间的宽AB．

解析卷

一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）

1．（2023春余姚市期末）如图，一块边长为18dm的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为4dm的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为（）

A．100dm2B．128dm2C．162dm2D．180dm2

解：如图，由题可知剪完最大的正方形，会剩下8个直角三角形，

这8个直角三角形可以拼出4个长10dm，宽4dm的长方形，

∴正方形的面积为18×18﹣4×4×4﹣10×4×4＝180（dm2），

故选：D．

2．（2023秋余姚市校级期中）如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）

A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4

C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定

解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，

∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，

∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，

∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，

∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，

∵c2＝a2+b2，

∴S1+S3＝S2+S4，

故选：C．

3．（2023春东丽区期末）直角三角形的两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为（）

A．6B．8C．12D．

解：由勾股定理可得：直角三角形斜边长为：，

∵直角三角形的面积＝×6×8＝×10×斜边上的高，

∴其斜边上的高为：，

故选：D．

4．（2023春深圳校级期末）如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（）

A．15mB．9mC．7mD．8m

解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），

顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），

15﹣7＝8（m）．

故选：D．

5．（2023春应县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，则正方形ACFG的面积是（）

A．194B．144C．122D．110

解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，

∴AB2+AC2＝BC2，

∵正方形ABIH的面积为25，正方形BDEC的面积为169，

∴AB2＝25，BC2＝169，

∴AC2＝BC2﹣AB2＝169﹣25＝144，

∴正方形ACFG的面积＝AC2＝144，

故选：B．

6．（2023张家口模拟）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方案：

甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形ABDE和四边形CFGH均是正方形，通过用两种方法表示正方形ABDE的面积来进行证明；

乙：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，通过用两种方法表示四边形ACBE的面积来进行证明．

对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（）

A．甲、乙均对B．甲对、乙不对

C．甲不对，乙对D．甲、乙均不对

甲：证明：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设AC＝b，BC＝a，AB＝c．

由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG

∵S正方形ABDE＝c2，S△ABC＝ab，正方形FCHG边长为a﹣b，

∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2

即c2＝a2+b2．故甲对；

乙：证明：∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝ABDG+ABEG＝AB（DG+EG）＝ABDE＝c2，

四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）CF+BFEF＝（b+a）b+（a﹣b）a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，

∴c2＝a2+b2，

即a2+b2＝c2．故乙对，

故选：A．

7．（2022秋长安区校级期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5m，则小巷的宽为（）

A．2mB．2.5mC．2.6mD．2.7m

解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2.5（m），

∴A′B＝AB＝2.5米，

在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝＝＝2（m），

∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m），

即小巷的宽为2.7米，

故选：D．

8．（2023春庐阳区期末）△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

解：①由∠A＝∠B﹣∠C，可知：∠B＝90°，是直角三角形．

②由a2＝（b+c）（b﹣c），可得a2+c2＝b2，是直角三角形．

③由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可知不是直角三角形．

④由a：b：c＝5：12：13，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形．

故选：C．

9．（2023春汉寿县期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）

A．6B．5C．8D．7

解：如图所示，由题意，ED＝a，AE＝b，

∵大正方形的面积为13，

∴AD2＝13，

∵AD2＝AE2+ED2＝a2+b2，

∴a2+b2＝13，

∵（a+b）2＝21，

∴（a﹣b）2＝2（a2+b2）﹣（a+b）2＝2×13﹣21＝5，

∵EF＝ED﹣EF＝a﹣b，

∴小正方形的面积为EF2＝（a﹣b）2＝5，

故选：B．

10．（2022秋卧龙区校级期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．

如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）m．

A．B．C．6D．

解：设绳长为x米，

在Rt△ADC中，

AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米，

DC＝6m，AC＝x米，

∴AB2+DC2＝AC2，

根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62，

解得：x＝，

∴绳索AC的长是．

故选：B．

二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）

11．（2023都昌县校级模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目，大致意思是：有一竖立着的木杆，在木杆的上端系有绳索，绳索从木杆上端顺着木杆下垂后，堆在地面上的部分有3尺，牵着绳索头（绳索头与地面接触）退行，在离木杆底部8尺处时，绳索用尽．问绳索长为多少．绳索长为尺．

解：设绳索AC的长为x尺，则木柱AB的长为（x﹣3）尺，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2﹣AB2＝BC2，

即x2﹣（x﹣3）2＝82，

解得，

答：绳索长为尺．

故答案为：．

12．（2023春太平区期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．

解：∵BD⊥AC，

∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，

∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，

∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，

∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；

故答案为：136．

13．（2022秋亭湖区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQ∥CA交PO的延长线于点Q，OM⊥PQ交BC边于点M．当CP＝1时，BM的长为2.5或1．

解：如图，设BM＝x，

在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝6，

∴BC＝＝＝8，

∵QB∥AP，

∴∠A＝∠OBQ，

∵O是AB的中点，

∴OA＝OB，

在△OAP和△OBQ中，

，

∴△OAP≌△OBQ（ASA），

∴PA＝BQ＝6﹣1＝5，OQ＝OP，

∵OM⊥PQ，

∴MQ＝MP，

∴52+x2＝12+（8﹣x）2，

解得x＝2.5．

当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x2＝12+（8﹣x）2，

解得x＝1，

综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1．

故答案为：2.5或1．

14．（2022秋衡东县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝16cm2．

解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，

由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2＝16，

则S1+S2＝AC2+BC2＝16（cm2），

故答案为：16．

15．（2023春漳平市期中）暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝．他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为10km．

解：过点B作BD⊥AC于点D，

根据题意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8千米，

在Rt△ADB中，由勾股定理得AB＝＝10千米．

答：登陆点到埋宝藏点的直线距离为10千米．

故答案为：10．

16．（2022秋阳泉期末）如图所示，已知△ABC中，BC＝16cm，AC＝20cm，AB＝12cm，点P是BC边上的一个动点，点P从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t（s），若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，则运动时间t＝6s或12s或10.8s．

解：∵BC＝16cm，AC＝20cm，AB＝12cm，

∴BC2+AB2＝AC2，

∴∠B＝90°，

如图1，AB＝PB＝12cm，

∴t＝12÷2＝6s；

如图2，AP＝AB＝12cm，

∴BC+PC＝（16+20﹣12）cm＝24cm，

∴t＝24÷2＝12s；

如图3，AB＝BP＝12cm，

过点B作BD⊥AC于D，则AD＝PD，

∵S△ABC＝×AB×BC＝×AC×BD，

∴12×16＝20BD，

∴BD＝9.6cm，

由勾股定理得：AD＝＝＝7.2cm，

∴AP＝2AD＝14.4cm，

∴t＝（16+20﹣14.4）÷2＝10.8s，

综上所述，t的值是6s或12s或10.8s．

故答案为：6s或12s或10.8s．

17．（2023秋峨边县期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝2.5．

解：∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形，

∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，

设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，

∵a2+b2＝c2，

∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，

∴S1+m+n+S4＝S2+S3+m+n，

∴S4＝3.5+5.5﹣6.5＝2.5

故答案为：2.5．

18．（2023春罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为8．

解：如图，作CE⊥AD交AD的延长线于E．

∵∠BAD＝∠E＝90°，∠ADB＝∠EDC，BD＝DC，

∴△ADB≌△EDC（AAS），

∴AB＝EC＝4，

∵∠BAC＝120°，

∠EAC＝30°，

∴AC＝2EC＝8，

故答案为8．

19．（2023春蚌埠月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰三角形ABD，使扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为3或或2．

解：分三种情况：

①如图1所示：

当AD＝AB时，

由AC⊥BD，可得CD＝BC＝3；

②如图2所示：

当AD＝BD时，

设CD＝x，则AD＝x+3，

在Rt△ADC中，由勾股定理得：

（x+3）2＝x2+42，

解得：x＝，

∴CD＝；

③如图3所示：

当BD＝AB时，

在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，

∴BD＝5，

∴CD＝5﹣3＝2；

综上所述：CD的长为3或或2．

故答案为：3或或2．

三．解答题（共8小题，满分62分）

20．（6分）（2023春海珠区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，AD平分∠CAB交BC于点D．

（1）求△ABC的面积；

（2）求BD的长．

解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，

∴AB＝＝4，

∴△ABC的面积＝；

（2）过D作DE⊥AC于E，

∵AD平分∠CAB，∠B＝90°，

∴BD＝DE，

在Rt△ADE与Rt△ADB中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADB（HL），

∴AE＝AB＝4，

∴CE＝1，

∵CD2＝DE2+CE2，

∴（3﹣BD）2＝BD2+1，

解得BD＝．

21．（8分）（2023春榆树市期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，“折竹抵地“问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．

解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，

根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．

解得：x＝4.2，

∴折断处离地面的高度为4.2尺，

答：AC的长为4.2尺．

22．（8分）（2023春武威期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一点，且CD＝12cm，BD＝8cm．

（1）求证：△ADC是直角三角形；

（2）求BC的长．

（1）证明：∵AB＝13ccm，BD＝8cm，

∴AD＝AB﹣BD＝5cm，

∴AC＝13cm，CD＝12cm，

∴AD2+CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，

即△ADC是直角三角形；

（2）解：在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，BD＝8cm，CD＝12cm，

由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm），

即BC的长是4cm．

23．（8分）（2022秋高碑店市期末）在一条绳子下端系着一艘小船，其示意图如图所示，其中CD为靠水一侧的河岸，垂直于水面，小明在河岸上拽着绳子上端向后退，绳端从点C水平移动到点E，同时小船从A移动到B，AB平行于水面，延长AB交CD于点F，绳长始终保持不变，回答下列问题：

（1）AC＝BC+CE（填“＞”“＜”或“＝”）；

（2）若CF＝5米，AF＝12米，AB＝8米，求小明向后移动的距离．（结果保留根号）

解：（1）∵AC的长度是小明未拽之前的绳子长，（BC+CE）的长度是小明拽之后的绳子长，绳长始终保持不变，

∴AC＝BC+CE，

故答案为：＝；

（2）在Rt△CFA中，由勾股定理得：AC＝＝＝13（米），

∵AF＝12米，AB＝8米，

∴BF＝AF﹣AB＝12﹣8＝4（米），

在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC＝＝＝（米），

由（1）可知，AC＝BC+CE，

∴CE＝AC﹣BC＝（13﹣）（米），

答：小明向后移动的距离为（13﹣）米．

24．（8分）（2023春岚山区期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式c2＝，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．现在，请你用“双求法”解决下面两个问题

（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝3，BC＝4，求CD的长度．

（2）如图3，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．

解：（1）在Rt△ABC中，

由面积的两种算法可得：，

解得：CD＝．

（2）在Rt△ABD中AD2＝42﹣x2＝16﹣x2，

在Rt△ADC中AD2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2，

所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，

解得＝．

25．（8分）（2023春阳泉期末）如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处1m．

（1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？

（2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？

解：（1）由题意得：AD＝1m，∠DNE＝90°，DE＝5m，NE＝3m，

∴DN＝＝＝4（m），

∴AN＝AD+DN＝1+4＝5（m），

答：该火车站墙面破损处A距离地面有5m高；

（2）梯子顶部到地面的距离为4.8m，即m时，梯子底部与墙角的距离为：＝1.4（m），

则梯子底部需要向墙角方向移动的距离为：3﹣1.4＝1.6（m），

答：梯子底部需要向墙角方向移动1.6m．

26．（8分）（2023春蒙城县校级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长；

（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；

（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴有勾股定理得AC＝8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP＝2cm，那么AP＝6cm．

∵∠C＝90°，

∴由勾股定理得PB＝2cm

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝6+10+2＝（16+2）cm；

（2）如图2所示，过点P作PD⊥A