数学课程实用标准国际比较研究

数学课程标准国际比较研究对我国新世纪数学课程发展的启示香港大学教育学院梁贯成黄荣金近十年来，在“一纲多本”原则指导下，我国数学教育发生了一系列深刻的变化。首先，随着九年义务制教育的普及，面临着“让更多的人学习更多的数学”(Hoyles,1999,p.58)的困惑;其次，由于信息技术在社会各行各业中的广泛应用，对劳动者的要求发生了变化：从以技能为基础转变为对信息的处理(Wong,1997)；再次，信息技术对数学课程本身指出了挑战，如此等等。因此，从国际数学课程发展视角，来分析一下我国数学课程的现状及特点，探讨未来发展的走向，是十分有意义的。本文分成四个部分：1.简要分析我国此文中的“我国”或“中国”，仅指中国大陆。数学课程发展的发展概况；2.从第三次国际数学及科学研究来看我国数学课程一些特点；3.从九个国家及地区的数学课程的标准来分析我国数学课程成功及不足；4.对我国数学课程发展的一些思考。1.我国数学课程的基本特点建国以来，我国数学课程经历了如下几个发展阶段：全面学习前苏联模式期间；改革、巩固期间；文革期间；精减、增加和渗透期间：“一纲多本、多纲多本”九年制义务教育期间(Leung,1992;Liu,1996;黄和孔，1998，见表1)。表1数学课程发展的几个阶段综观历史，我国学校数学有如下主要特点(Liu,1996,p.113-114)：•强调计算能力为基本的能力；•高度重视逻辑能力和问题求解；•在中小学不断地引进一些基本的高等数学内容；•强调实用性或学科性摇摆不定，比如，在50年代和60年代极度强调实用性，而在70年代到90年代又极度强调学科性。根据“一纲多本”，及后来发展成为“多纲多本”的数学课程改革原则，北京、上海、广东、浙江、成都和河北等纷纷推出各自的大纲及教材。上海市进行的数学课程改革尤其令人注目，其主要特点为(黄和孔，1998)：九年义务教育一贯制；•按布卢姆目标分类法进行教学目标分类；•算术与代数结合；•直观几何、实验几何和论证几何相结合；课程由三大模块组成：必修课程、选修课程和活动课程。此外，上海推出了“面向二十一世纪学校数学行动纲领”，提出了以发展学生的能力为本的基本思想；国家教育委员会正在拟定面向新世纪的国家数学课程标准。这些举措预示着我国面向新世纪的数学课程改革即将来临2.从第三次国际数学与科学研究来看我国数学课程的特点第三次国际数学与科学研究是由国际教育成就评价协会倡导并由各参加国家具体负责的，大约有五大洲的50多种教育体系运作下的数学及科学教育的比较研究。 的目标是测量各参加国及地区的数学及科学的学业成就，同时评价影响这些学科学习的课程及课堂因素。这项研究，将为教育工作者及政策制定者提供关于数学及科学课程、教学实施、数学及科学的学生行为特征等方面的观点，以及各国的社会、经济和教育背景。中国大陆仅仅参加了 课程方面的研究，下面我们分析一下 课程研究报告 收集数据所用的文档都是年的。 中有关数学课程方面的发现，试图在国际比较背景下看一看我国数学课程的特点：2.数1学课程大纲的作用数学课程大纲在 国家权威性和功能是不同的。虽然，各国政府总是发布数学课程的目标及目的。但是，在有些国家的课程大纲对数学教学的实施有强大的约束力，而在另一些国家的课程大纲仅仅被视为一个建议——清楚地表明目标、重点及对使用教材的选择 1不难发现：东亚地区，以台湾、中国大陆、香港、日本、韩国和新加坡而言，它们拥有官方的、统一的课程是具有悠久的历史。而西方，如美国、英国、澳大利亚等国，一直并没有统一的课程（黄和黄，199。7而）深受儒家文化影响的中国大陆，更将大一统思想在数学教育中发挥得淋漓尽致：统一大纲、统一教材和统一考试，虽然，这些统一性有它的历史渊源及一定的现实指导作用，但却不能照顾到全民素质教育所面临的严重的个别差异 ；数学课程的流程数学课程通过各个学年的教学来实施。在这个意义上说，任何课程都有通过各年级的流程：主题引入、持续时间、主题结束。各国的流程的差异很大。主要表现在同一主题，不同国家在不同年级介绍以及不同国家同一主题持续的学年数不同。即使如此，我们还可以发现一些主题，他们是许多国家相继年级主要的学习对象（并非总是如此）：•一到三年级的课程主要是介绍数、测量和几何初步。“数据表示”也许是简单的表和图）也是共同的。•在四至六年级继续延伸数、测量和几何初步，通常还介绍估计、比例概念等新主题，在四年级，有关代数的材料也是共同介绍的主题。•七、八年级介绍了有理数和实数、高级代数和比例、全等和相似。随着将注意力转移到分数和估计主题，课程对整数主题的注意迅速减少。•九年级以上主要介绍代数、几何、比例、数据表示和概率方面更高级的主题，以及有关微分的主题。我国的情况如下：•有9个主题的介绍比平均水平迟至少3年，而没有一个主题比平均水平较早介绍 。比如，平面解析几何和立体几何大约迟年介绍,方程和公式几乎迟年介绍，而概率迟年介绍。•用于介绍主题的平均年数大约年，为所有参加 国家中之最少的mt ，比如，花在复数、周长、面积及体积主题上的时间比平均数多1到3年；而指数、立体几何及公式、模型、关系及函数比平均数少1至年，平面几何比平均数多年以上 。•我国每年介绍新主题的数量呈均匀分布，而大部分其他国家呈正态分布或偏态分布 。数学内容及行为期望各国追求数学领域主题的广度反映了该国对数学教育的设想和目标，各国对不同内容的强调程度大不一样。比如，在样本2样本是包括最多岁的两个相邻年级的学生小学〜年级）样本是包括最多岁学生的两个相邻年级的学生中学〜年级；样本是包括职业教育在内的所有中学最后一年学习的学生。高年级，有的国家将近2/篇3幅介绍数的主题，但中国没有介绍（保加利亚和以色列只占6%；）有关函数主题“块在分析教材时，把教材分成若干单元 ，然后，每个单元又细分若干段，即块 。”的占用率为4%瑞（典）至50%保（加利亚，西班牙，哥伦比亚，以色列和捷克共和国后；中国的教材80集%中在几何，另外20用%于代数，而西班牙几乎一半“块”用于数，另一半“块”用于代数 ， ， 。作为样本的数学大纲和教材揭示了在对学生在做具体数学内容的期望的广泛一致性：•在样本高年级的共同期望包括“了解”，“使用常规过程”和实际问题解决唯一共同的预期“行为期望”是“使用常规过程”。•样本2高年级的共同期望是变化的，关心几乎数学框架中的所有期望——数学地“表示情景”，“使用更为复杂的过程”，“一般化”，“证明”，讨论数学问题和结果及其他。然而，只有“回忆数学对象和性质”和“完成常规问题”得到重视。•对于样本3的数学专长子样，在大纲和教材中表达了许多行为期望。教材中行为期望要求比大纲中表达得更多样化——这与样本1的情形相反。比如，我国教材中，“有关方程”内容，25的%“块”要求达到“使用常规过程”，而65的%“块”要求达到“数学推理”；“多边形和圆”内容，45的%块要求达到“了解”，50的%“块”要求达到“调查及问题解决”；“几何中有关位置、直观及形状内容，的“块”要求达到“了解” 〜3这从一个侧面反映我国数学课程强调记忆及问题解决。2.4数学课程的重点数学课程并不是由各年级均等的系列组成的流程。每种课程有自己的“基石”——具体课程注的主要主题——分布在整个系数中。各国提供的数据显示了在哪个年级某些主题是具体课程关注的重点。通常，这种关注程度在不同的国家、不同的数学主题的差异较大。虽然，关于各年级覆盖的共同内容的数据显示，许多主题是许多国家感兴趣的，但是，只有很少主题引起广泛的注意。为确定关键年级（样本1，样本2和样本3的数学专长子样）的共同“基石”，使用课程大纲及教材的分析数据。这些关键年级的共同注意的主题的描述显示：•样本的高年级一般集中在数、测量和几何主题。这包括整数“意义”、整数“运算”、“分数”、测量“单位”、“周长，面积和体积”和部分平面几何。•样本2的高年级出现了更为分散关于“整数，有理数和实数”的主题；更多关于“周长，面积和体积”、“数据表示和分析”，以及广泛的几何主题，比如“立方体几何”、“坐标几何”和“变换几何”。代数主题和比例也在这个年段引起广泛兴趣。•样本3的数学专长通常探讨微积分主题，坐标几何和函数及方程的高级任务。用这些数据， 对课程大纲的预期和教材的预期进行比较，发现这两者在很大程度上是一致性的。 确定了同时被大纲和教材强调的主题，发现只有很少的主题以这种方式出现：•在样本的高年级，只有三个主题一一整数“意义”、整数“运算”和测量“单位”得到这样的强调，但是，这些内容几乎占样本教材“块”的。•在样本的高年级中有一个主题——方程相关的问题——被这样强调。这个主题只占教材的小部分（20。%）•对样本3的教学专长子样，在大纲和教材中都强调微分。两个有关微分的主题大约占这些专门教材的40。%一个评价课程关注或强调的标准是在关键年级主题是否在大纲和教材中都出现。从这个意义上来说，许多主题都受到相当程度的重视。比如，“负数，整数及它们的性质”和“有理数及其性质”出现在许多国家的样本2高年级的教材中。我国数学课程中，样本1十分重视数的意义及运算、周长、面积及体积9而在样本，多于的“块”用于介绍有关方程的知识 而从九个国家及地区数学课程标准看我国数学课程的成功与不足为了更详细地了解我国数学课程的目标，以及内容的深度和广度。首先，我们比较美国、英国、澳大利亚、新加坡、香港、日本、韩国、台湾及中国大陆等九个国家及地区数学课程标准，在此基础上，对我国数学课程标准中的目标及内容进行分析。3.1数学课程目标的比较数学课程不外乎两个互相补充的目标：促进社会的进步和个人的发展（Hoylesetal,1999）。基于十个国家和地区数学课程标准的详细分析，黄毅英等（黄和黄，1997）总结出数学课程的目标可分为三类：（1）实用知识；（2）学科知识；（3）文化素养。其中，实用的目的包括了：・以数学方式解决日常生活中遇到的问题；•提供将来大部分职业所需的数学训练；•为将来升读理科及有关学科所需的数学奠定基础。学科目的包括了：•数字、符号及其他数学对象的运算能力；数字感、符号感、空间感及结构与规律之意识；•推埋逻辑思维；数学构作与解决问题之能力；以数学方式表达及传递意念。文化目的包括了：•欣赏数学之美；及•认识古今数学在各地文化中之角色及与其他学科之关系。由于近几年各国纷纷推出面向21世纪的数学课程标准，无论是课程目标，还是内容选择及安排都发生了一些新的变化，因此，我们根据上述分析，并结合各地最新文件（见参考文献），对九个国家及地区的数学课程目标进行比较，并对中国大陆课程目标给予剖析。从九个国家及地区的数学课程目标（见附表1），及课程内容的分类（见附表2），我们可以发现中国大陆中小学数学课程目标有下列特点：十分强调实用性目的：如“基础知识和基本技能”、“解决简单的实际问题”等；•部分强调学科目的：如“培养运算能力，发展逻辑思维能力和空间观念”；•强调积极的学习态度：如“培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义的观点”但是，相对忽视：•“交流、建立、联系、表达”（美、英，澳，香港，新加坡等地强调）等过程能力；以及“数字感、符号感、度量感（美、英，澳，香港地强调）等数学意识；文化目的：如“欣赏数学美及力量”（美、英，澳，香港，台湾、韩国和新加坡等地强调）；以及“数学史及数学文化”（美、英，澳，香港等地强调）价值。由此，中国大陆数学课程比较重视“实用性与学科性目的”而较忽视“文化目的”，而如何结合我国数学课程的传统来平衡这几方面的目的还需做大量的工作。由附表2我们发现各国对内容的处理方面大同小异，而对过程的重视方面相去甚远，西方各国比东亚各国和地区较重视过程能力。尤其是美国，把“五个过程范畴”与“六个知识范畴”相提并论，从学前儿童到中学12年级。通过学习“知识”来促进“能力”的发展，进而，随着“过程”的发展反过来提升“知识”的学习（NCTM,1998）。不过东亚各国也越来越重视“知识”与“过程”的平衡，如新加坡的数学课程框架以问题解决能力为核心（CurriculumPlanningDiviison,1995），问题解决能力由五个关键部分组成：概念：数字概念、几何概念、代数概念、统计概念。技能：估计及近似；心算；交流；使用数学工具；算术运算；代数运算；数据处理；过程：归纳推理；演绎推理；问题解决的启发式策略；态度：享受做数学；欣赏数学美及力量；对使用数学有信心。元认知：完成任务过程中对所用策略的监控；寻求完成的方式选择；检查答案的合适性及合理性。事实上,“过程”与“内容”的划分,只是便于讨论,而在实际施教时，不只应只是两者并重（Cockcroft,1982）,更应理解“能力”实难抽离于“内容”割裂地培养的,问题在于“怎样在教授数学知识之同时,以之作为培养深层能力的基础”（黄和黄，1997）。我国数学课程大纲中对“过程”能力的强调不够，而且在教学过程中，炒“中段”的现象也十分普遍。我们应该平稳“过程”和“内容”。3.课2程内容的深度及广度上面，我们从宏观上对我国数学课程的目标进行了分析，接下来我们根据有关数据，进一步对九个国家及地区的数学课程内容进行深入分析，试图发现我国课程在内容处理方面的一些特点。根据的分析，我们主要集中在下列主题：代数；指数；测量；坐标几何；立体几何；模式、关系及函数；方程与公式；数据分析；概率等。九个国家及地区的数学内容及期望分布情况（见附表和，从这些附表，并结合原始文件，我们可以发现：关于数与运算•各国及地区都重视“整数'意义'、整数'运算'，分数”这与的结论一致）。但是，但中国大陆（以及香港和韩国）较重视运算技能，而西方国家及日本较重视它们的意义、表达及交流；•中国大陆不太重视“比率、比例及百分数”，而西方（还有香港）却很重视它们在解决实际问题中，数学表达与交流方面的作用；•通常负数在初中介绍，但由于其在日常生活中经常遇到，所以在小学引进负数也许反映世界改革趋势（像英国、澳大利亚、香港及上海）。•在“估计与数感”方面，中国大陆是十分忽视的。（2关）于测量•各国及地区都重视“测量'单位'、'周长、面积及体积与的结果一致），但在中国大陆只强调知识及解决问题的能力，而在西方则强调通过学习这些内容来培养“推理、表达、联系和交流”等过程能力。・中国大陆及台湾十分忽视“估计与误差”观念，而这种观念对处于信息技术发达时代的公民是十分有用的。解析几何•有多种处理解析几何的方式，通常坐标系在初中以上年级引进，作为建立代数与几何联系的工具。一个极端是，在小学就引进坐标系，作为表示位置的工具（像美国和英国）；另一个极端是直到高中（事实上在初中已介绍坐标系）介绍丰富的经典解析几何内容，如直线与圆的方程、圆锥曲线等（像中国大陆、台湾和韩国）。也许，“坐标系作为几何的代数化处理应该降低要求，而把它们用于描述位置关系应该加强 。（4关）于几何•平面几何：除中国大陆及台湾外，其他各地都不介绍经典的“欧氏”几何，而是把几何作为发展学生问题解决、推理、空间感的一种媒介来学习。虽然，我国几何教学的学习成就不错（田，198，9而）且上海教材对几何的处理方式取得较为理想的成效（张，199，8不）过是否有必要学习如此有系统的“平面几何”则是值得讨论的。•立体几何：同平面几何情形相似，只有中国大陆及台湾在高中介绍较系统的经典“立体几何”，而其他各地都把立体几何作为一种培养计算能力及空间观念的媒介来学习。（5关）于变换、全等及相似•一般认为，变换、全等及相似是发展问题解决、推理和证明的好主题，所以通常在初中介绍。•美国、英国、澳大利亚和韩国等从小学开始通过操作这些数学对象，来丰富对数学的体验，从而发展学生问题解决及推理的能力。而在中国大陆，到初中才介绍这些概念，而且主要为了几何证明，这样大大削弱了这些主题在数学学习中的作用。因此，我们觉得借助于互动几何学习软件，如几何画板等较早地介绍这些主题是有益的。（6关）于模式、关系与函数、方程与公式•中国大陆不重视对模式及关系的探索，事实上，通过对模式的探索有利于培养学生探索、猜测和说理能力。我们认为应该像美国、新加坡、日本和韩国等那样从小学开始模式与关系的探索。•另外，从小学开始探讨未知数的观念与表示（从符号到字母），实行算术和代数一体化（像上海教材）（黄与孔，199，8也）反映国际数学课程改革的趋势。（7关）于统计与概率•在信息化社会中，统计和概率的观念和知识是十分有用的。统计方面，中国大陆主要是介绍有关公式及解决相关问题（小学高年级开始），而其他各地大都从小学低段就开始非形式地介绍统计思想，注重发展学生的统计意识，及用统计方法解释数据、表达及交流信息的能力。•在概率方面，中国大陆（及台湾）尤其保守，直到高中才介绍，这同其他各地从小学就引进概率观念，并用于表达、交流信息的做法相去甚远。我们认为，我国应该借鉴其他各国的经验，从小学开始介绍概率知识。数学课程标准国际比较研究对我国新世纪数学课程发展的启示香港大学教育学院梁贯成黄荣金对于我国面向新世纪数学课程的思考4.1有关数学目的由上述分析，我们发现，我国数学课程目标强调“双基”有余而重视“过程”不足；强调“实用性”目的有余重视“文化性”目的不足。由于升学考试的压力，教育过程中，只注重“考高分、进重点学校”，而忽视“学生幸福的学习生活”体验的现象还很普遍（刘兼，1998）。张奠宙（1998）认为下列数学教学目标数学教学目标值得我们借鉴：数学教育的总体目标“在于让学生沉浸于如下的一个数学学习环境之中，在这里他们—一、能养成积极和有效的学习习惯，使得其能阅读及懂得如何获取知识；能够清楚地写及讲以求表达其含义及与人沟通。能思考、提问、质疑及进行探索。二、获得第一手的数学经验以认识数学既是精确科学也是赋有想象力之工作；认识到数学既是抽象的智性追求也是具有实际生活应用的双重本质；鉴赏数学之美、其意义之所在、其力量与数学之局限性。”再者，“在获得这些目标的过程中，学科内容必须以适当方式呈现，以便有利于学生学习基本数学概念和技能，学习怎样把知识应用于日常生活和未来升学或就业的生涯中。因此，数学不仅视作为技术工具（当然这是肯定的），而且更应视作为智性追求和思维模式。这将有助于学生形成数学观，而且让他们确信数学是一门智性的学科，并在更一般而言，在人类文化中起着主要的作用”（Fung&Wong,1997,l页）。4.2统一性与多样性从课程标准化而言，华人地区与英美情况迥异。英美历来没有统一课程，因此对散乱局面稍作约束是有必要的。但华人地区历来有统一及严格的课程，若再将课程进一步细化并加以控制将令情况雪上加霜。因此，华人地区课程发展的方向恐怕应是留给课程更多的弹性，让教师在取材、补充材料、进度、处理学习差异及激发学习兴趣等方面多点因材施教的空间（黄和黄，1997）。“一纲多本”及“多纲多本”的做法是值得积极探索的构思。此外，台湾、韩国已经实行由多家受权出版公司开发数学教材（香港及西方各国本来已经如此），向教材多元化向前迈出了一大步，我国是否也可以借鉴。4.3技术的使用近年来，世界各国纷纷将信息技术应用于数学课程，并且十分重视计算机辅助教与学的研究与实施。香港中学数学大纲强调“资讯科技可在多方面应用于数学课，包括数据分析、模拟工具、图像显示、符号运算及观察规律等”(TheCurriculumDevelopmentCouncil,1998,p.3)。英国国家数学课程标准要求给学生“提供适当的机会来发展并应用信息技术学习数学的能力”(DepartmentofEducationandS