导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问答

.导数结合“洛必达法则”巧解恒成立问题第一部分：历届导数高考压轴题1.2006年全国2理设函数f(x)＝(x＋1)·ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．精品文档放心下载2.2006全国1理已知函数fx1xeax.1x（Ⅰ）设a0，讨论yfx的单调性；谢谢阅读（Ⅱ）若对任意x0,1恒有fx1，求a的取值范围.精品文档放心下载3.2007全国1理设函数f(x)exex．（Ⅰ）证明：f(x)的导数f(x)≥2；谢谢阅读（Ⅱ）若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．谢谢阅读4.2008全国2理设函数f(x)sinx．2cosx（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．5.2008辽宁理设函数f(x)lnxlnxln(x1).1x⑴求f(x)的单调区间和极值;⑵是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)a的解集为(0,)?若存在,求a的取值范.围;若不存在,试说明理由.6.2010新课标理设函数f(x)=ex1xax2.感谢阅读（Ⅰ）若a0，求f(x)的单调区间;感谢阅读（Ⅱ）若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围谢谢阅读7.2010新课标文已知函数f(x)x(ex1)ax2.精品文档放心下载（Ⅰ）若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式；谢谢阅读（Ⅱ）当x0时，f(x)0，求a的取值范围.谢谢阅读8.2010全国大纲理设函数f(x)1ex.（Ⅰ）证明：当x1时，fxx1()x；（Ⅱ）设当x0时，()x，求a的取值范围.fxax19.2011新课标理已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30.x1x（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f(x)lnxk，求k的取值范围.x1x10.自编自编：若不等式sinxxax3对于x(0,2)恒成立，求a的取值范围.精品文档放心下载第二部分：新课标高考命题趋势及方法1.新课标高考命题趋势近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化，坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分精品文档放心下载.发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入精品文档放心下载高校继续学习的潜能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景谢谢阅读的命题形式成为了热点.2.分类讨论和假设反证许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查感谢阅读的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题感谢阅读在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分精品文档放心下载类讨论和假设反证的方法.3.洛必达法则——0型及型函数未定式的一种解法精品文档放心下载虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁谢谢阅读杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出精品文档放心下载现了0”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必精品文档放心下载0达法则.第三部分：洛必达法则及其用法1.洛必达法则洛必达法则：设函数f(x)、g(x)满足：精品文档放心下载（1）limf(x)limg(x)0；感谢阅读xa xa（2）在U(a)内，f(x)和g(x)都存在，且g(x)0；感谢阅读limf(x)A（3）xag(x)（A可为实数，也可以是）.limf(x)limf(x)A则xag(x)xag(x).（可连环使用）.注意 使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再谢谢阅读求极限得最值。2.2011新课标理的常规解法已知函数f(x)alnxb，曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x2y30.x1x（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当x0，且x1lnxk时，f(x)x1x

，求k的取值范围.（Ⅰ）略解得a1，b1.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法lnx1，所以f(x)(lnxk)1(2lnx(k1)(x21)由（Ⅰ）知f(x)).x1xx1x1x2x考虑函数h(x)2lnx(k1)(x21)(x0)，则h'(x)(k1)(x21)2xxx2(i)当k0时，由h'(x)k(x21)(x1)2知，当x1时，h'(x)0.因为h(1)0，x2所以当x(0,1)时，h(x)0，可得1h(x)0；当x(1,)时，h(x)0，可得1x21h(x)0，从而当x0且x1时，f(x)(lnxk)0，即f(x)lnxk；1x2x1xx1x（ii）当0k1时，由于当x(1,1)时，(k1)(x21)2x0，故h'(x)0，而1kh(1)0，故当x(1,1)时，h(x)0，可得1h(x)0，与题设矛盾.1k1x2（iii）当k1时， h'(x)0，而h(1)0，故当x(1,)时，h(x)0，可得感谢阅读1 h(x)0，与题设矛盾.综上可得，k的取值范围为(，0].感谢阅读1x2注：分三种情况讨论：①k0；②0k1；③k1不易想到.尤其是②0k1时，精品文档放心下载许多考生都停留在此层面，举反例x(1,1)更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法1k精品文档放心下载也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.精品文档放心下载3.运用洛必达和导数解2011年新课标理.当x0，且x1时，f(x)lnxk，即lnx1lnxk，x1xx1xx1x也即kxlnx1xlnx2xlnx1，记g(x)2xlnx1，x0，且x1x1xx11x21x2g'(x)2(x21)lnx2(1x2)=2(x21)(lnx1x2)，感谢阅读(1x2)2(1x2)2x211x21+4x=(1x2)2记h(x)lnx，则h'(x)(1+x2)20，x21xx(1+x2)2从而h(x)在(0,)上单调递增，且h(1)0，因此当x(0,1)时，h(x)0，当x(1,)感谢阅读时，h(x)0；当x(0,1)时，g'(x)0，当x(1,)时，g'(x)0，所以g(x)在(0,1)谢谢阅读上单调递减，在(1,)上单调递增.由洛必达法则有limg(x)lim(2xlnx1)1lim2xlnx1lim2lnx20，x1x11x2x11x2x12x即当x0，且x1时，g(x)0.因为kg(x)恒成立，所以k0.综上所述，当x0，感谢阅读x1时，f(x)lnxk成立，k的取值范围为(，0].感谢阅读1x注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数k分离出来.然后对分离出来的函感谢阅读2xlnx数g(x) 1求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当x=1时，函数g(x)值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果精品文档放心下载考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效感谢阅读方法.当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调谢谢阅读（2）是0型。04.运用洛必达和导数解2010新课标理设函数f(x)ex1xax2.谢谢阅读（Ⅰ）若a0，求f(x)的单调区间；感谢阅读.（Ⅱ）当x0时，f(x)0，求a的取值范围.精品文档放心下载应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当x0时，f(x)0，即ex1xax2.谢谢阅读①当x0时，aR；②当x0时，ex1xax2等价于aex1x.x2记g(x)ex1x，(x2)exx2x2x(0+)，则g'(x)x3.记()(x2)xx2，x1，当x，hxex(0+)，则h'(x)(x1)e(0+)时，h''(x)xex0，所以h'(x)(x1)ex1在(0，+)上单调递增，且h'(x)h'(0)0，感谢阅读所以()(x2)xx2，，hxe在(0+)上单调递增，且h(x)h(0)0，因此当x(0+)时，h(x)ex1x，x2x3由洛必达法则有，limg(x)limex1xlimex1limex1x0x0x2x02xx022即当x0时，1，11g(x)，因此a.222综上所述，当a1且x0时，f(x)0成立.25.运用洛必达和导数解自编题自编：若不等式sinxxax3对于x(0,2)恒成立，求a的取值范围.谢谢阅读解：应用洛必达法则和导数当x(0,)时，原不等式等价于axsinx.2x3f(x)xsinx，则f'(x)3sinxxcosx2x.精品文档放心下载x3x4记g(x)3sinxxcosx2x，则g'(x)2cosxxsinx2.谢谢阅读.因为g''(x)xcosxsinxcosx(xtanx)，感谢阅读g'''(x)xsinx0，所以g''(x)在(0,2)上单调递减，且g''(x)0，精品文档放心下载所以g'(x)在(0,)上单调递减，且g'(x)0.因此g(x)在(0,)上单调递减，谢谢阅读2 2g(x)0，故f'(x)g(x)0，因此f(x)xsinx在(0,)上单调递减.感谢阅读4x32由洛必达法则有limf(x)limxsinxlim1cosxlimsinxlimcosx1，x0x0x3x03x2x06xx066即当x0时，g(x)1，即有f(x)1.66故a1时，不等式sinxxax3对于x(0,)恒成立.62通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：感谢阅读可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“0”型式子.06.运用洛必达和导数解2010年新课标文2010海南宁夏文（21）已知函数f(x)x(ex1)ax2.谢谢阅读（Ⅰ）若f(x)在x1时有极值，求函数f(x)的解析式；谢谢阅读（Ⅱ）当x0时，f(x)0，求a的取值范围.感谢阅读解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数x0时，f(x)0，即x(ex1)ax2.①当x0时，aR；感谢阅读②当x0时，x(ex1)ax2等价于ex1ax，也即aex1.感谢阅读xg(x)ex1，x(0,)，则g'(x)(x1)ex1.谢谢阅读xxh(x)(x1)ex1，x(0,)，则h'(x)xex0，因此h(x)(谢谢阅读上单调递增，且h(x)h(0)0，所以g'(x)h(xx)0，从而g(x)精品文档放心下载单调递增.由洛必达法则有limg(x)limex1limex，1x0x0xx01即当x0时，g(x)1所以g(x)1，即有a1.综上所述，当a1，x0时，f(x)0成立.精品文档放心下载7.运用洛必达和导数解2010年大纲理

.1)ex1在(0,)ex1在(0,)上x2010全国大纲理（22）设函数f(x)1ex.（Ⅰ）证明：当x1时，f（Ⅱ）设当x0时，f(x)解：（Ⅰ）略（Ⅱ）应用洛必达法则和导数

(x) x ；x1x，求a的取值范围.ax1由题设x0，此时f(x)0.谢谢阅读.①当a0时，若x1，则x0，f(x)x不成立；aax1ax1②当a0时，当x0时，f(x)x，即1exx；ax1ax1x0，则aR；若x0，则1exx等价于1ex1，即axexex1.ax1xax1xexxg(x)xexex1g'(x)e2xx2ex2ex1=exx2e)记xexx，则(xexx)2(xexx)2(ex2x.h(x)exx22ex，则h'(x)ex2xex，h''(x)ex+ex20谢谢阅读因此，h'(x)ex2xex在(0，)上单调递增，且h'(0)0，所以h'(x)0，谢谢阅读h(x)在(0，)上单调递增，且h(0)0，所以h(x)0.谢谢阅读因此g'(x)=exh(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增.(xexx)2由洛必达法则有limg(x)limxexex1limxexlimexxex1，即当x0时，x0x0xexxx0exxex1x02exxex2g(x)1，即有g(x)1，所以a1.综上所述，a的取值范围是(,1].22228.运用洛必达和导数解2008年全国2理sinx设函数f(x)2cosx．（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f(x)(2cosx)cosxsinx(sinx)2cosx1．(2cosx)2(2cosx)22kπ23πx2kπ23π（kZ）时，cosx