第5章极限定理初步

PAGEPAGE103第5章极限定理初步5.1内容框图大数定理大数定理中心极限定理辛钦大数定理贝努里大数定理林德贝格－列维极限定理德莫哇佛－拉普拉斯极限定理应用5.2基本要求（1）了解贝努里大数定理和辛钦大数定理.（2）理解并掌握独立同分布的中心极限定理及二项分布的中心极限定理.5.3内容概要1）大数定理概率论中用来阐明随机试验的平均结果具有稳定性的一系列定理都叫大数定理，这里大数指试验次数足够多，试验的平均结果用随机变量表示就是，那么稳定性是指稳定在哪里呢？当然是稳定在它的期望值，而稳定的含义就是以概率收敛，即一定条件下有：对任意特别地，当独立服从相同分布（i=1,2，…）且期望有限时，就得到辛钦大数定理.当相互独立且服从相同的两点分布时，得到的就是贝努里大数定理.贝努里大数定理设是在次独立重复试验（重贝努里试验）中事件发生的次数，是每次试验时事件发生的概率，则对任何，有。贝努里大数定理表明，频率作为概率的近似。辛钦大数定理设是相互独立的服从同一分布的随机变量序列，它们的数学期望是一个有限值（），则对任何，有。贝努里大数定理是辛钦大数定理的特例，辛钦大数定理是贝努里大数定理的推广。2）中心极限定理中心极限定理就是用来阐述，一定条件下大量的随机变量的和近似服从正态分布的一系列定理.即和的标准化近似服从标准正态分布..我们在求解有关中心极限定理的各类问题时，主要是用到上面的这个式子.特别地，当（i=1,2,…)独立同分布且E=μ,D=σ2时，上式可化简为这就是林德贝格列维中心极限定理.当相互独立且都服从两点分布P{=1}=p,P{=0}=1－p时，上式可简化为这就是二项分布的中心极限定理.在概率论中还有其他许多的中心极限定理.求解有关中心极限定理问题的关键就是要凑出上面的式子（参见本章5.2节例2）.林德贝格-列维中心极限定理（独立同分布中心极限定理）设是相互独立的服从同一分布的随机变量序列，它们的数学期望和方差都存在，分别为和（），则对任何，当时，有。当充分大时，近似有～。≈。德莫哇佛-拉普拉斯极限定理（二项分布中心极限定理）若是次独立重复试验（重贝努里试验）中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，，，则（1）对任意的有限区间，当及时，有；（2）对任何，当时，有。～。德莫哇佛-拉普拉斯极限定理的一些应用用正态分布近似计算二项分布的概率：≈，≈。5.4自测题五一、判断题（正确用“+”，错误用“－”）1.设,,…,…为一列相互独立的且均服从参数λ=3的指数分布的随机变量，则.()2.把一枚硬币抛n次，只要n充分大，正面向上发生的频率与0.5的误差就可以小于任意给定的一个正数.()3.设为n重贝努里试验中事件A发生的次数，p为事件A每次发生的概率，则当n充分大时，有.()4.把一枚硬币连抛2000次，根据中心极限定理，出现正面向上不超过1000次的概率约为Φ(0)等于.()5.设相互独立且~∪(-1,1)(i=1,2,…),则.()6.设为重贝努里试验中事件A发生的次数，则当很大时，近似服从正态分布.()7.设为抛一个骰子次出现点数为5的次数，则.()8.设服从参数为λ的普阿松分布，相互独立，则当很大时，近似服从正态分布.()9.n重贝努里试验中，当n充分大时，事件A发生的频率与其发生的概率p的误差不超过的概率约为.()二、选择题1.设为次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，ε为大于零的数，则().(A)0(B)1(C)(D)2.设,，…独立同服从于指数分布E(λ)，则()正确.(A)(B)(C)(D)3.设为次独立重复试验中事件A出现的次数，p为事件A在每次试验中出现的概率，为大于零的数，则().(A)(B)(C)1(D)04.设~U(-1,1)(i=1,2,…)且相互独立，则（）是不正确的.（A）,,…,…序列服从大数定理（B）,,…,…序列服从中心极限定理（C）（）(D)5.设~P(λ)(i=1,2,…)且相互独立，则对＞0有（）.（A）（B）（C）（D）6.设独立同分布，其概率密度均为，则当n充分大时，近似地有（）.(A)(B)(C)(D)7.设(i=1,2,…，100)相互独立，且均服从P（0.03），则（）(A)1-Φ(3)(B)Φ(3)(C)0.5(D)1-Φ(0.03)8.设是独立同分布的，且,则下面不正确的是（）.（A）(B)(C)（D）9.设,,…,…为一列独立同分布的随机变量，且E=0，D=σ2，则对有（）.（A）（B）（C）(D)三、填空题1.设,,…为相互独立的随机变量序列，且(i=1，2…)服从参数为λ的普阿松分布，记，则_______.2.设ξ表示n次独立重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中的出现概率，记，则_______.3.设,,…,,…是独立同分布的随机变量序列，且～U（0,a）（i=1,2,…）.则当n充分大时，近似服从_______.4.设,,…,,…是相互独立同分布的随机变量序列，且（i=1,2,…），则对任意ε＞0，_____.5.测量某一长度为的物体，假定各次测量结果相互独立，且服从正态分布，若以表示次测量结果的平均值，为使，则应不小于_______.6.设,,…,,…是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为λ的普阿松分布，则当充分大时，近似服从_______.7.从一大批次品率为0.03的产品中随机抽取1000件该种产品，则其中的次品数X的精确分布为________；其近似分布为_______；若利用德莫哇佛拉普拉斯中心极限定理计算，则P{20≤X≤40}＝________.8.某厂产品次品率为1%，今任取500个，则根据中心极限定理估计其中次品不超过5个的概率为_______.9.设,,…,…独立同分布，且，则当充分大时根据中心极限定理有_______.5.5自测题五答案一、1.＋；2.－；3.＋；4.＋；5.－；6.＋；7.－；8.－；9.＋二、1.B；2.A；3.A；4.D；5.A；6.B；7.C；8.B；9.C三、1.Φ(x)；2.；3.；4.1；5.15；6.；b(1000,0.03),N(30,29.1),；8.0.5；9.5.6典型例题例1作加法时，对每个加数四舍五入取整，各个加数的取整误差可以认为是相互独立的，都服从上的均匀分布。现在有1200个数相加，问取整误差总和的绝对值超过12的概率是多少？解设各个加数的取整误差为（）。因为～，所以，（）。设取整误差的总和为，因为数值很大，由定理可知，这时近似有～，其中，，。所以，取整误差总和的绝对值超过12的概率为≈。例2某互联网站有10000个相互独立的用户，已知每个用户在平时任一时刻访问该网站的概率为0.2。求：（1）在任一时刻，有1900～2100个用户访问该网站的概率；（2）在任一时刻，有2100个以上的用户访问该网站的概率。解这可以看作是一个独立重复试验序列，访问网站，不访问网站，，。设访问网站的用户数为，显然服从二项分布，即～。由于很大，由德莫哇佛-拉普拉斯极限定理可知，这时近似有～，其中，。（1）有1900～2100个用户访问该网站的概率为≈。（2）有2100个以上的用户访问该网站的概率为≈。例3某车间有200台独立工作的车床，各台车床开工的概率都是0.6，每台车床开工时要耗电1千瓦。问供电所至少要供给这个车间多少千瓦电力，才能以99.9％的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。解200台车床独立工作，可看作200次独立重复试验，事件车床开工，车床不开工，，。设是实际开工的车床数，～，由德莫哇佛-拉普拉斯极限定理可知，这时近似有～，其中，。设是供给电力的千瓦数，要不影响生产，开工车床数必须小于，这件事的概率为≈≈≈，由题意可知，要有≈，查表可得，所以。取，即供电千瓦，就能以99.9％的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产。换句话说，每天8小时的工作时间中最多只有0.1％的时间，即0.48分钟会受到影响。例4设在独立重复试验序列中，每次试验时事件发生的概率为，分别用切比雪夫不等式和德莫哇佛--拉普拉斯极限定理估计试验次数需多大，才能使事件发生的频率落在～之间的概率至少为。解设为在次独立重复试验中事件发生的次数，就是发生的频率。（1）用切比雪夫不等式估计。由于～，，因此，，由切比雪夫不等式可得=，因此，要，就要有，即。可见，用切比雪夫不等式估计，需做次重复试验，才能保证出现的频率在～之间的概率至少为